大一下学期高等数学考试题新编.docx
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大一下学期高等数学考试题新编
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大一下学期高等数学考试题新编
一、单项选择题（6×3分）
1、设直线
，平面
，那么
与
之间的夹角为（）
B.
C.
D.
2、二元函数
在点
处的两个偏导数都存在是
在点
处可微的（）
A.充分条件B.充分必要条件
C.必要条件D.既非充分又非必要条件
3、设函数
，则
等于（）
A.
B.
C．
D.
4、二次积分
交换次序后为（）
A.
B.
C.
D.
5、若幂级数
在
处收敛，则该级数在
处（）
A.绝对收敛B.条件收敛
C.发散C.不能确定其敛散性
6、设
是方程
的一个解，若
，则
在
处（）
A.某邻域内单调减少B.取极小值
C.某邻域内单调增加D.取极大值
二、填空题（7×3分）
1、设
＝（4，-3，4），
＝（2，2，1），则向量
在
上的投影
＝
2、设
，
，那么
3、D为
，
时，
4、设
是球面
，则
＝
5、函数
展开为
的幂级数为
6、
＝
7、
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题（4×7分）
1、设
，其中
具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求
。
2、求过曲线
上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分
，其中
4、求曲线积分
，其中是
沿曲线
由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数
的和。
四、综合题（10分）
曲线上任一点的切线在
轴上的截距与法线在
轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题（6分）
设
收敛，证明级数
绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）
1、A2、C3、C4、B5、A6、D
二、填空题（7×3分）
1、22、
3、
4、
5、
6、07、
三、计算题（5×9分）
1、解：
令
则
，
故
2、解：
令
则
所以切平面的法向量为：
切平面方程为：
3、解：
＝
＝
＝
4、解：
令
，
则
当
，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择
由（0，1）到（2，1）则
＝
＝
＝
5、解：
令
则
，
即
令
，则有
＝
四、综合题（10分）
解：
设曲线
上任一点为
，则
过
的切线方程为：
在
轴上的截距为
过
的法线方程为：
在
轴上的截距为
依题意有
由
的任意性，即
，得到
这是一阶齐次微分方程，变形为：
……………………..
（1）
令
则
，代入
（1）
得：
分离变量得：
解得：
即
为所求的曲线方程。
五、证明题（6分）
证明：
即
而
与
都收敛，由比较法及其性质知：
收敛
故
绝对收敛。
一，单项选择题（6×4分）
1、直线
一定（）
A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴
C.不过原点，但垂直于x轴D.不过原点，但平行于x轴
2、二元函数
在点
处
①连续②两个偏导数连续③可微④两个偏导数都存在
那么下面关系正确的是（）
A②
③
①?
B.③
②
①
C.③
④
①?
D.③
①
④
3、设
，则
等于（）
B.
C.
D.
4、设
，改变其积分次序，则I＝（）
A.
B.
C.
D.
5、若
与
都收敛，则
（）
A.条件收敛B.绝对收敛
C.发散C.不能确定其敛散性
6、二元函数
的极大值点为（）
A.（1,0）B.（1,2）C.（-3,0）D.（-3,2）
二、填空题（8×4分）
1、过点
（1，3，－2）且与直线
垂直的平面方程为
2、设
，则
＝
3、设D：
，
，则
4、设
为球面
，则
＝
5、幂级数
的和函数为
6、以
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
7、若
收敛，则
＝
8、
平面上的曲线
绕
轴旋转所得到的旋转面的方程为
三、计算题（4×7分）
1、设
可微，
由
确定，求
及
。
2、计算二重积分
，其中
。
3、求幂级数
的收敛半径与收敛域。
4、求曲线积分
，其中
是由
所围成区域边界取顺时针方向。
四、综合题（10分）
曲线
上点
的横坐标的平方是过
点的切线与
轴交点的纵坐标，求此曲线方程。
五、证明题（6分）
设正项级数
收敛，证明级数
也收敛。
一、单项选择题（6×4分）
1、A2、A3、C4、B5、B6、D
二、填空题（8×4分）
1、
2、
3、44、
5、
6、
7、18、
三、计算题（4×7分）
1、解：
令
2、解：
＝
＝
=
=
=
3、解：
令
对于
，
当
时
＝
发散
当
时，
＝
也发散
所以
在
时收敛，在该区间以外发散，即
解得
故所求幂级数的收敛半径
为2，收敛域为（0，4）
4、解：
令
，
则
，由格林公式得到
＝
＝
＝
＝4
四、综合题（10分）
解：
过
的切线方程为：
令X＝0，得
依题意有：
即
…………………………..
（1）
对应的齐次方程解为
令所求解为
将
代入
（1）得：
故
（1）的解为：
五、证明题（6分）
证明：
由于
收敛，所以
也收敛，
而
由比较法及收敛的性质得：
收敛。
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