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常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史
摘要：
常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：
随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：
常微分方程起源发展
一、常微分方程的思想萌芽
微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地,客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的,而这种联系,用数学语言表述出来,即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为,变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程,一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1常微分方程的产生背景
随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
Newton和Lebinitz创立的微积分是不严格的,在解决实际问题的前提下，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径,一方面往往又在应用上大胆前进,大大地扩展了微积分的应用范围。
尤其是微积分与力学的有机结合,极大地拓展了微积分的应用范围，并促进了微积分的萌芽。
微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求。
一般地,事物的规律很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不可能观测到所有运动的全过程，但是运动又的确是服从一定的客观规律的：
把这个规律的式子用数学结构写下来就是微分方程。
这就给我们提供了一种研究问题的新思路,先写出能表示运动关系的微分方程，然后通过对微分方程的求解来确定各个研究因素之间的关系，进而弄清楚变量之间的规律和动力学行为。
常微分方程是伴随着微积分发展起来的,微积分是它的母体,生产生活实践是它生命的源泉。
300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，Newton和Lebinitz都处理过与常微分方程有关的问题。
成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法，在日常生活和生产中起着十分重要的作用。
1.2常微分方程与海王星的发现
海王星的发现可以看成是微分方程诞生及使用的一个重要标志，在这个事件中，正是由于先对微分方程的求解才让人们找到海王星这颗行星，这个事件也可以看成是理论指导实践的一个经典案例。
1781年发现天王星后,人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结不符,于是有人怀疑万有引力定律的正确性.但也有人认为这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致.当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气.23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务,他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程来求解和推算这颗未知行星的轨道。
1843年10月21日他把计算结果寄给格林威治天文台台长艾利，但艾利不相信“小人物”的成果置之不理。
两年后，法国青年勒威耶也开始从事这项研究1846年9月18日，他把计算结果告诉了柏林天文台助理员卡勒，23日晚，卡勒果然在勒威耶预言的位置上发现了海王星。
海王星的发现是人类智慧的结晶，也是微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。
二、常微分方程的发展
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响。
对常微分方程来讲，它的发展主要精力了经典、适定性理论和定性理论三个主要的阶段。
其标志分别为求微分方程的通解（函数的解析解）；李普希兹条件的提出（级数解法求微分方程）和雅普诺夫的微分方程稳定性理论的建立（解空间成了微分方程研究的主要内容）。
2.1常微分方程经典阶段------以通解为主要研究内容
就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中。
而且通信中所提到的解法可能仅仅是对某个特例的说明，所以现在很难确切地说是谁首先得到某些概念或结论的。
1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”这个数学名词。
常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明还早。
纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程，牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性。
实际上是解决了最简单的微分方程
的求解问题。
此外，牛顿，莱布尼茨也都用无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程。
最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨。
他用这种方法解决了形如
的方程，因为只要把它写成
就在两边进行积分。
但莱布尼茨并没有建立一般的方法，1691年他把自己在这方面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯。
同年他又解出了一阶齐次方程
：
他令
代入方程就可以使变量分离。
1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程，而莱布尼茨同年则在同一家杂志的另一篇文章中，称微分方程为特征三角形的边的函数，并给出了线性方程
的通解表达式：
其中c是任意常数.
1740年欧拉用自变量代换
把欧拉方程线性化而求
的通解，其中
是常数。
通解与特解的概念是1743年欧拉定义的，同时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根解法。
微分方程的解有时也称该方程的积分，因为求微分方程解的问题在某种意义上正是普通积分问题的一种推广。
1694年，瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》上对分离变量法与齐次方程的求解做了更加完整的说明。
他的哥哥雅科布·伯努利发表了关于等时问题的解答，虽然莱布尼茨已经给出了这个问题的一个分析解。
微分方程教材中所见到的伯努利方程，最初就是雅科布·伯努利于1695年提出的.1696年莱布尼茨证明：
利用变量替换
，可以将方程化为线性方程（
与
的一次方程）同年，雅科布·伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程，约翰·伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容。
在这一阶段，还出现了许多精彩的成果。
例如1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络.1718年泰勒提出奇解的概念，克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉哥朗日，凯莱和达布等人。
2.2常微分方程适定性理论阶段-----以定解问题的适定性理论为研究内容
1685年，伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程（黎卡提方程的特例）
的通解的挑战性问题，且直言自己研究多年未果。
这个方程虽形式简单，但经150年几代数学家的全力冲击仍不得其解.1841年法国数学家刘维尔证明意大利数学家黎卡提1724年提出的黎卡提方程
的解一般不能通过初等函数的积分来表达,从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求出的。
由于碰了黎卡提方程的钉子，从18世纪下半叶到19世纪，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程定解问题的适定性理论，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段。
19世纪20年代，柯西建立了柯西问题
解的存在唯一性定理。
1873年，德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”对柯西的存在唯一性定理作了改进。
在适定性的研究中，与柯西，李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法，皮亚拿在仅仅要求
在
点邻域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性。
后来这方面的理论有了很大发展，这些基本理论包括：
解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性，奇解等等。
这些问题是微分方程的一般基础理论问题。
2.3常微分方程解析理论段----------以解析理论为研究内容
19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些特殊函数。
1816年贝塞尔研究行星运动时，开始系统地研究贝塞尔方程
这个方程的特殊情形早在1703年雅科布·伯努利给莱布尼茨的信中就已提到。
后来丹尼尔·伯努利和欧拉也都讨论过这一方程，傅立叶与泊松也讨论过它。
贝塞尔得到了此方程的两个基本解
和
，
称为第一类贝塞尔函数或
阶贝塞尔函数,
称为第二类贝塞尔函数或,
阶贝塞尔函数。
初等函数之外的函数，称为特殊函数。
贝塞尔函数就是特别重要的特殊函数之一，贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解
令贝塞尔方程有形如
的级数解，代入贝塞尔方程得到
且得到了系数
的递推公式
，
进而得到了系数
的表达式，
。
1818年，贝塞尔证明了
有无穷个零点。
1824年，贝塞尔给出递推公式
后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式。
1944年，剑桥大学出版了G.N.Watson的巨著《贝塞尔函数教程》，是贝塞尔函数研究成果的集成。
由此可见，贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献。
在解析理论中另一个极重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面成果。
1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程
给出了幂级数解的形式。
与此同时，厄米特研究了方程：
得到了其幂级数解，当
是非负偶数即为著名的厄米特多项式。
切比雪夫在研究方程
（
是常数）时，得出
时的两个线性无关解（基本解），且证明当
是非负整数时，此方程有一个解为n次多项式，此多项式即为著名的切比雪夫多项式。
另外，在常微分方程的解析理论研究中，也有数学王子高斯的成果。
1821年，他研究了高斯几何方程
得到级数解
这个级数称为超几何级数。
同时他还建立了公式
并指出对
的不同值，此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数。
19世纪方程解析理论中一个重点成果是关于奇点的富克斯理论,他看到著名的贝塞尔方程,勒让德方程和高斯几何方程等，如果表成形如
的形式，则系数有奇异性!
于是富克斯深入研究这种齐次线性方程在奇异点邻域内解的性质。
他把x改成z在复平面上讨论此种方程，得出许多成果。
随后，经斯图姆和刘维尔各自相应的研究，丰富了方程解析理论的内容。
1877年希尔研究二阶方程
，其中
以
为周期，用他研究的结论证实月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究，庞加莱也参与了希尔方程的研究，并在希尔工作的启发下开创了微分方程定性研究的新时代。
2.4常微分方程定性理论阶段-------以定性与稳定性理论为研究内容
早在19世纪，庞加莱开创了微分方程定性理论研究，李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究。
到了20世纪是微分方程的定性理论阶段。
自从1841年刘维尔证明黎卡提方程
不存在初等函数积分表示的解之后，研究方程的方法有了明显变化，数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质。
法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到。
庞加莱终于找到了从方程本身找出答案的诀窍，1881年到1886年，他在《Jour，deMath》杂志上用同一标题《关于由微分方程确定的曲线的报告》发表了4篇论文，他说：
“要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？
它是否永远逗留在平面某一部分内部？
换句话说，并且用天文学的话来说，我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？
从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论。
此后，为了寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起关键作用，并把奇点分为四类（焦点，鞍点，结点，中心），讨论了解在各种奇点附近的性状，同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环，极限环等，同时，庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的开端。
美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究。
另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊从1900年起，他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作，1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》。
常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运动稳定性理论.1892年李雅普诺夫的博士论文《关于运动稳定性的一般问题》给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础。
关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的。
到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念，并严格证明了其充要条件，使动力系统的研究向大范围转化。
总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自1693年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的内容。
随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展。
可以预测：
随着依赖数学为基础的其它学科的发展，微分方程还会继续扩展。
三、常微分方程的应用
微分方程无论是在工程技术、自动控制理论、物理等自然科学领域，还是在经济、金融、保险等社会科学领域中，都有着广泛的应用。
微分方程不仅可以描述某些实际问题的演化规律，而且可以明确解释在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象产生的原因。
因此我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程，进而建立数学模型解决实际问题。
例如：
人口增长规律问题，游击战模型问题，混合站模型车间空气清洁问题，减肥问题，单种种群增长问题，多物种相互作用问题，生产计划的制定，运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行问题等。
本部分将举出种群演化和饿狼追兔两个问题来具体说明微分方程的使用方法，并且对微分方程的一般使用方法进行总结。
3.1饿狼扑兔问题
问题说明
狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。
当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。
当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。
狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。
狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
饿狼扑兔
要求：
（1）建立狼的运动轨迹微分模型。
（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
通过对改运动规律的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的微分方程，并使用应用数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序对微分方程进行求解，进而解决实际问题。
模型假设
1．狼和兔子是匀速运动的。
2．狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P的轨迹看作一条曲线。
3．在兔子未达到巢穴前狼和兔子都是运动的。
4．狼在追击过程中始终朝向兔子
确定变量和参数:
V:
狼的速度
V0:
兔子的速度
S1：
兔子运动的路程
S2:
狼运动的路程
T:
狼追击兔子的时刻
P：
T时刻兔子的坐标
Q：
T时刻狼的坐标
模型的建立与求解:
狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。
当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。
当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。
狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。
狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
（1）建立狼的运动轨迹微分模型。
初始时刻（t=0）兔子位于原点（0,0），饿狼位于（100,0）；兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为（x,y），其速度为v=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则从运动规律可以得到：
饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为
Y-y=（dy/dx）*（X-x）=[（dy/dt）/（dx/dt）]*（X-x）
又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子（0,v0t）在切线上，所以
v0t-y=[（dy/dt）/（dx/dt）]*（0-x）
其中（X,Y）为切线上动点。
从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定
（dx/dt）*（v0t-y）=（dy/dt）*（-x）
（1）
（dx/dt）2+（dy/dt）2=v12
（2）
（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。
为了画出图形需要对方程进行求解，
由
（1）有（dy/dx）*（-x）=v0t-y，两边对t求导并化简
（d2y/dx2）*（dx/dt）*（-x）=v0（3）
由
（2）有（dx/dt）2{1+[（dy/dt）/（dx/dt）]2}=v12
即dx/dt=-v1/[1+（dy/dx）2]1/2
代入（3），并把v1=2v0代入并化简得
（d2y/dx2）*x=[1+（dy/dx）2]1/2/2（4）
functiondy=rigid（t,y）
dy=zeros（3,1）;%acolumnvector
dy
（1）=y
（2）*y（3）;
dy
（2）=-y
（1）*y（3）;
dy（3）=-0.51*y
（1）*y
（2）;
设置选项：
options=odeset（'RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-5]）;
求解得：
[t,Y]=ode45（@rigid,[012],[011],options）;
画出解函数曲线图形：
追击问题的追击曲线
plot（T,Y（:
1）,'-',T,Y（:
2）,'-.',T,Y（:
3）,'.'）tspan=100:
-0.1:
0.1;%以狼的x坐标为自变量
y0=[00];
下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离
那么：
[T,Y]=ode45（'odefunlt',tspan,y0）;
n=size（Y,1）;
disp（'狼的坐标（x=0.1）'）
disp（Y（n,1））%
通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1（即tspan=0.1）时，狼的纵坐标。
（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y（100）=0
令p=dy/dx，这dp/dx=d2y/dx2，这（4）化为
（dp/dx）*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得
ln{p+[1+p2]1/2/2}=0.5*lnx+c，又p（100）=0，所以c=-ln10，从而
p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10，这p=（x1/2/10-10/x1/2）/2
即dy/dx=（x1/2/10-10/x1/2）/2，从而
y=（x-300）*x1/2/30+c，又y（100）=0，则
y=（x-300）*x1/2/30+200/3
令x=0，得y（0）=200/3<66
故兔子无危险。
（4）用数值方法求解
狼追赶兔子的过程可以用计算机模拟。
以1秒钟为一个时间步长，模拟狼和兔子的运动过程。
根据题设，初始时刻的狼、兔距离为100米。
所以，初始时刻Q点和P点的坐标分别为Q（0，0），P（100，0）。
让兔子跑60米后结束，观察狼追赶时的路线以及追赶结束时狼兔的距离。
编写程序如下
xy=[100,0];uv=[0,0];
e=[-1,0];d=100;
fork=1:
60
xy（k+1,:
）=xy（k,:
）+2*e;
uv（k+1,2）=k;
e=uv（k+1,:
）-xy（k+1,:
）;
d=norm（e）;e=e/d;
x=xy（:
1）;y=xy（:
2）;
u=uv（k,1）;v=uv（k,2）;
plot（x,y,'black*',u,v,'blacko',0,60,'o'）,pause（.5）
end
运行后狼的运动轨迹如下图：
狼的运动轨迹图1
程序运行后，当兔子跑回窝时，狼兔距离为：
d=8.0953，这说明狼不能追上兔子。
下面简单对问题进行推广：
在初始条件不变时（即狼、兔距离为100米，兔子在洞穴南60米），狼的奔跑速度应该为兔子奔跑速度的多少倍，才能使狼在兔跑回洞穴之前追赶上兔子。
修改程序，设狼奔跑速度为兔子奔跑速度的z倍，将其取为程序的输入参数，对不同的z，计算机模拟的结果是不一样的。
z=input（'inputz='）;
xy=[100,0];uv=[0,0];
e=[-1,0];d=100;k=1;
whiled>0.5
xy（k+1,:
）=xy（k,:
）+z*e;
uv（k+1,2）=k;
e=uv（k+1,:
）-xy（k+1,:
）;
d=norm（e）;e=e/d;k=k+1;
x=xy（:
1）;y=xy（:
2）;
u=uv（k,1）;v=uv（k,2）;
plot（x,y,'black*',u,v,'blacko',0,60,'o'）,pause（.5）
end
disp（[z,d]）
通过实验确知：
运行程序，输入参数z等于2.2，程序运行结果为：
d=0.4989（米），此时狼以兔子速度的2.2倍速度追赶，能追上兔子。
运行后得狼的运动轨迹
狼的运动轨迹图2
3.2微分方程的一般使用方法
微分方程的使用包括建立微分方程，模型的求解以及推广三个部分，下面就这三阶段的注意事项做一下总结。
微分方程的建立
为了建立研究问题的微分方程，首先要确定系统的输入量和输出量。
齐次要尽力建立系统的线性化数学模型，然后再将模型推广到非线性层面。
具体考虑的因素有：
1.方程能描述研究事物之间的规律；
2.基本模型对问题的描述准确、合理、推导严谨，理论性强；
3.模型结合实际，具有很高的实用价值；
4.方程尽可能简单，并且有较强的可扩展性。
模型的求解
尽量使用比较新的知识进行求解，比如先研究方程的稳定性状况，如果有稳定解，再求方程的解析解或级数解或数值解。
一般来讲，当模型比较复杂时候，使用稳定性加数值解的方法更有优势。
具体注意事项有：
1.首先研究问题的解的稳定性及存在状况；
2.如果有解就选取合适的方法求解，此时可以用任意的方法来求解；
3.结合实际情况，对方程的解作出解读（如果不符合实际情况，是方程的问题还是解的时候丢根造成的等）；
4.用方程的解对实际问题作出解读。
方程的推广
建立模型以后，只要要我们对方程做细微的调整，就可以使方程更贴合实际问题或将方程用于同一类问题，这就是方程的推广，具体需要注意的有：
1.研究
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