常微分方程试题库.docx
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常微分方程试题库
常微分方程
一、填空题
i•微分方程（dy）ndyyx2o的阶数是
dxdx
答：
1
2.若M（x,y）和N（x,y）在矩形区域R内是（x,y）的连续函数,且有连续的一阶偏导数，则方程M（x,y）dxN（x,y）dy0有只与y有关的积分因子的充要条件是
3.为齐次方程.
答：
形如dyg（=）的方程
dxx
4•如果f（x,y）dyf（x,y）存在
dx
唯一的解y（x）,定义于区间xx0h上，连续且满足初始条件yo（xo），其中
h.
答：
在R上连续且关于y满足利普希兹条件hmin（a,^）
m
5•对于任意的（x,如），（x,y2）R（R为某一矩形区域）,若存在常数N（N0）使
则称f（x,y）在R上关于y满足利普希兹条件.
答：
f（x,yjf（x,y2）Ny!
y?
6.方程dyx2y2定义在矩形区域R:
2x2,2y2上，则经过点（0,0）的解的
dx
存在区间是
1
答：
1
1
x_
4
7.若Xj（t）（i
4
1,2,.•…n）是齐次线性方程的n个解,w（t）为其伏朗斯基行列式，则w（t）满足
一阶线性方程
答：
wa1（t）w0
8•若人（t）（i1,2,••…n）为齐次线性方程的一个基本解组，X（t）为非齐次线性方程的一个
特解,则非齐次线性方程的所有解可表为
n
答：
xcixix
i1
9•若（X）为毕卡逼近序列n（X）的极限，则有（X）.（刈
10.为黎卡提方程，若它有一个特解y（x），则经过变换
，可化为伯努利方程.
答：
形如dyp（x）y2q（x）yr（x）的方程yzy
dx
11.一个不可延展解的存在区间一定是区间.
答：
开
12•方程dy、y1满足解的存在唯一性定理条件的区域是.
dx
答：
D{（x,y）R2y0},（或不含x轴的上半平面）
13.方程x2siny的所有常数解是.
dx
答：
yk,k0,1,2,
14.函数组1（x）,2（x）,,n（x）在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零.
答：
充分
15.二阶线性齐次微分方程的两个解y1（x）,y2（x）为方程的基本解组充分必要条件
是.
答：
线性无关（或：
它们的朗斯基行列式不等于零）
16.方程y2yy0的基本解组是
xx
答：
e,xe
17.若y（x）在（,）上连续，则方程dy（x）y的任一非零解与
dxx轴相交.
答：
不能
18.在方程yp（x）yq（x）y0中，如果p（x），q（x）在（,）上连续，那么它的
任一非零解在xoy平面上与x轴相切.
答：
不能
19.若y,x）,y2（x）是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同
零点・
答：
没有
20.方程矽..1一y2的常数解是.
dx
答：
y1
21.向量函数组Y1（x）,Y2（x）,,Yn（x）在其定义区间I上线性相关的条件是
它们的朗斯基行列式W（x）0，xI.
答：
必要
22.方程dyx2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是
dx
答：
xoy平面
23.方程x（y21）dxy（x21）dy0所有常数解是.
答：
y1,x1
24.方程y4y0的基本解组是.
答:
sin2x,cos2x
25.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.
答：
2
二、单项选择题
1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A）个.
（A）n
（B）n-1
（C）n+1
（D）n+2
2.如果f（x,y）,
都在xoy平面上连续，那么方程
y
dyf（x,y）的任一解的存在
dx
区间（D）.
（A）必为（
（B）必为（0,
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
（C）必为（
1
方程dyx3
dx
0）
（D）将因解而定
y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D）.
（A）上半平面（B）xoy平面
（C）下半平面（D）除y轴外的全平面
一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（
（A）不是其对应齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解
方程dyJ_y2
dx
（A）一
方程dy.xy
dx
（A）有三个
过点（―，1）共有（
（B）无数
2（B）奇解.
（B）无
n阶线性齐次方程的所有解构成一个（
（A）n维（B）n1维
方程dx3y3过点（a）.
（A）有无数个解
C）.
（B）是非齐次微分方程组的解
（D）是非齐次微分方程组的通解
）个解.
（C）两
（D）
（C）有一个
（D）有两个
（C）
）线性空间.
n1维
（D）n2维
（B）只有三个解
（C）只有解
0（D）只有两个解
fy（x,y）连续是保证f（x,y）对y满足李普希兹条件的（
）条件.
（A）充分（B）充分必要
10.二阶线性非齐次微分方程的所有解
（A）构成一个2维线性空间
（C）不能构成一个线性空间
（C）必要
（D）必要非充分
（B）
）.
构成一个3维线性空间
（D）
构成一个无限维线性空间
11.方程dy,y的奇解是（D）.
（A）yx
（B）y1
（C）y1
（D）y0
12.若y,x）,y2（x）是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的
通解可用这两个解表示为（C
）•
13.
14.
15.
三、
（A）1（x）2（x）
（C）C（1（x）2（x））
1（x）
fy（x,y）连续是方程2
（B）必要非充分
（A）必要
方程屯、y
dx
（A）有一个
（B）1（x）2（x）
（D）C,x）
2（X）
f（x,y）初值解唯一的（D）条件.
（C）充分必要
（D）充分
C）奇解.
（B）有两个
（C）
（D）有无数个
方程dy3y3过点（0,0）有（A
dx
）.
（A）无数个解（B）只有一个解
（C）
只有两个解（D）
只有三个解
求下列方程的通解或通积分
解：
竺」
dyy
xy2，则
y
1
—dy
ey（
1
—dy
ydyc）所以
3
y
xcy
2
另外y0也是方程的解
2.求方程芸
xy2经过（0,0）的第三次近似解
解：
0（X）
0
1（x）
x
x
0
2
0（x）dx
2（X）
x
x
0
2
1（x）dx
12_x2
12
—x
2
15
一x
20
1511118
—xxx
204400160
3.讨论方程
dy
dx
y（i）
1的解的存在区间
dx
两边积分所以方程的通解为
故过y（i）1的解为
所以解的存在区间为（，2）
4.求方程（汐『10的奇解
解：
利用p判别曲线得
p2y210
2p0
消去p得y21即y
所以方程的通解为ysin（xc）
所以y
1是方程的奇解
11x
5.（cosx）dx
（2）dy0
yyy
故原方程的解为sinx仝Inyc
―=—,所以方程是恰当方程yx
（y）
6.yy22ysinxcosxsin2x
解：
yy22ysinxcosxsin2x故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
y
sinx,令yz
sinx,
则方程可化为
dz
21z,z
dx
xc
即
1
ysinx
故
1ysinx
xc
xc
232
7.（2xy3y）dx（73xy）dy0
解：
两边同除以y2得
2xdx
3ydx
7~2y
dy
3xdy0
dx2
d3xy
d-
y
0
所以
2x
3xy
7
y
c,另外y0也是方程的解
8史dx
xy
1x2
解当y0时，分离变量得
dy
y
等式两端积分得
即通解为
yC1x2
3x
yCe
令非齐次方程的特解为
yC（x）e
3x
代入原方程'确定出C（x）1e5xC
原方程的通解为
Ce
3x,12x
+—e
5
解方程两端同乘以y5，得
5
dx
4
y
dx
y
x
令y4z，则
4y
5dy
史，代入上式，得
dx
dx
1
dz
zx
4dx
通解为
Ce4
原方程通解为
y4Ce4xx-
4
22
112xydx（xy）dy0
解因为卫2x—，所以原方程是全微分方程.yx
取（X。
，yo）（0,0），原方程的通积分为
xy2
o2xydxoydyC
1
即x2y-y3C
3
12.掘ylny
dx
解：
当y0,y1时，分离变量取不定积分，得
通积分为
出dxCyiny
inyCex
22
13.yy（y）3x0
解原方程可化为
（yyx2）0
于是y矽x2C
dx
积分得通积分为
y2C1x-x3C2
23
14.d21（y）2上
dx,xx
分离变量，取不定积分，得
通积分为：
y
arcsinlnCx
x
y
tan
y
x
x
u,则
dy
du
ux
代入原方程，得
dx
dx
du
du
u
x
utanu
，xtanu
dx
dx
15.业dx
解令1
x
当tanu0时，分离变量，再积分，得
InsinuInxInC
即通积分为：
sin#Cx
x
16.鱼工1dxx
解：
齐次方程的通解为
yCx
令非齐次方程的特解为
yC（x）x
代入原方程，确定出C（x）lnxC
原方程的通解为
yCx+xlnx
17.（x2eyy）dxxdy0
解积分因子为
（x）丄
x
原方程的通积分为
xxyy
1（e^2）dx0dy&
x
即ex-C,CeCi
x
18.yy（y）20
解：
原方程为恰当导数方程，可改写为
（yy）0
即
yyCi
分离变量得
ydyC1dx
积分得通积分
—y?
C1xC2
2
19.y（xIny）1
解令yp，则原方程的参数形式为
1.
xInp
P
yp
由基本关系式y,有
dx
1
（1）dp
P
积分得ypInpC
得原方程参数形式通解为
1.
xInp
p
ypInpC
2
20.yyy2x0
解原方程可化为
（yyx2）o
于是x2C1
dx
积分得通积分为
1y2Gx1x3C2
23
21.
（x3xy2）dx（x2yy3）dy0
取（xo,yo）（0,0），原方程的通积分为
x32y3
0（xxy）dx0ydyC1
即x42x2y2y4C
四、计算题
1
1.求方程yy—ex的通解.
2
解对应的齐次方程的特征方程为：
特征根为:
1,
故齐次方程的通解为：
yC1exC?
ex
因为1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为
AE
1
3
2
4
即
2
3
2
0
特征根为
1
1,
2
2
方程组的特征方程为
解
0
11对应的解为
x1a1
Y1d
12a10
41b0
可解得a11,d
所以，原方程组的通解为
3.求方程y5ysin5x的通解.
解：
方程的特征根为10,25
齐次方程的通解为yCiC2e5x
因为i5i不是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
y1（x）Asin5xBcos5x
代入原方程，比较系数得
25A
25B1
25A
25B0
1
确定出A—，
1
B
50
50
原方程的通解为
yC1
5x1
C2e（cos5xsin5x）
50
4.求方程y5y
5x2的通解.
解对应齐次方程的特征方程为250，
特征根为i0，25，
齐次方程的通解为yCiC2e5x
因为0是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
2
y1（x）x（AxBxC）
代入原方程，比较系数确定出
2
25
原方程的通解为
13
12
2
x
x
x
3
5
25
yC5C2e5x
五、证明题
1.
）上连续，且
（1）0.求
在方程dyf（y）（y）中，已知f（y），（x）在（
dx
证：
对任意x0和
y。
1，满足初值条件y（x。
）yo的解y（x）的存在区间必为（
证明：
由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y1是方程的两个常数解.
任取初值（xo,yo），其中xo（,）,yo1•记过该点的解为yy（x），由
上面分析可知，一方面yy（x）可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿
过y1，下方不能穿过y1，否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（，）.
2.设y1（x）和y2（x）是方程yq（x）y0的任意两个解，求证：
它们的朗斯基行列式W（x）C,其中C为常数.
证明：
如果y1（x）和y2（x）是二阶线性齐次方程
yP（x）yq（x）yo
的解，那么由刘维尔公式有
x
P（t）dt
W（x）W（xo）exo
现在，p（x）o故有
bdt
W（x）W（xo）exoW（xo）C
3.在方程yp（x）yq（x）yo中，已知p（x），q（x）在（，）上连续.求证：
该方
程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
证明：
由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存
在区间都是（，）.
显然，该方程有零解y（x）o.
假设该方程的任一非零解ydx）在x轴上某点Xo处与x轴相切，即有
y,xo）yMxo）=o，那么由解的惟一性及该方程有零解y（x）o可知
yi（x）0,x（
），这是因为零解也满足初值条件yi（xg）yi（xg）=0,于是由解的
惟一性，有y,x）y（x）0,x（,）.这与yi（x）是非零解矛盾.
4•在方程yp（x）yq（x）y0中，p（x）,q（x）在（，）上连续，求证：
若p（x）恒
不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W（x）是（，）上的严格单调函
数.
证明：
设yi（x）,y2（x）是方程的基本解组，则对任意x（,），它们朗斯基行
列式在（，）上有定义，且W（x）0.又由刘维尔公式
x
p（s）ds
W（x）W（xo）ex0，xo（,）
x
p（s）ds
W（x）W（x0）exop（x）
由于W（Xo）0，p（x）0，于是对一切x（,），有
W（x）0或W（x）0
故W（x）是（，）上的严格单调函数.
5.试证:
若已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求它的通解
证明
:
设黎卡提方程的一个特解为
y
y
令y
zy
dydzdy
J...
又
dy
2
p（x）yq（x）yr（x）
dxdxdx
dx
dz
—2—
dy
dxp（x）（z
y）q（x）（zy）
r（x）
dx
由假设
dy
2
p（x）yq（x）y
r（x）
得
生p（x）z22p（x）yq（x）z
dx
dx
此方程是一个n2的伯努利方程,可用初等积分法求解
6.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明：
一阶线性方程虫P（x）yQ（x）,当
dx
P（x）,Q（x）在，上连续时，其解存在唯一
证明：
令R:
x,,yR
P（x）,Q（x）在,上连续,贝U
f（x,y）P（x）yQ（x）显然在R上连续，
因为P（x）为，上的连续函数，
故P（x）在，上也连续且存在最大植，记为L
即P（x）L,x,
yi,y2R|f（x,yjf（x』2）|P（x）y“P（x）y2=P（x）|yiyL%y
因此一阶线性方程当P（x）,Q（x）在，上连续时,其解存在唯一
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