试论常微分方程的奇解.docx
《试论常微分方程的奇解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《试论常微分方程的奇解.docx（7页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解
摘要:
一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通
解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否
适用于求每一个一阶微分方程的奇解?
此文中举了几个例子来说明这个问题.并
给出另外三种求奇解的方法.
关键词:
一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.
DiscussingSingularSolutionaboutFirstOrder
DifferentialEquation
ZHUYong-wang
（Class1,Grade2006,CollegeofMathematicsandInformationScience）
Advisor:
ProfessorLIJian-min
Abstract:
Firstorderdifferentialequationhasageneralsolutionwhichcontainsanarbitraryconstant,butsometimesithasspecialsolutionthatissingularsolution,whichcanbesolvedbytheP-judgmentmethodandC-judgmentmethod（While
whetherthetwojudgmentscanbeappliedtogeteverysingularsolutiontothefirstorderdifferentialequation?
Thispaperintendstoillustratethisproblemwithseveralexamples（
Keywords:
Singularsolution,P-judgment,C-judgment,C-Peliminationmethod,Thesupplementmethod,Naturalmethod.
1（引言
一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的
特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一
性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络
和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.
2（奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出
近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.
奇解的定义:
微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.
包络的定义:
设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,
**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，
,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，
络.
从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.
对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.
1,,1定理:
设函数F（x,y,p）对（x,y,p）G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微
'''Fxyy（,,）0,商和,若函数y=（x）（xJ）,,是微分方程的一个奇解,并且FFyp
'x.（x）.（x）G（xJ）,,,,,则奇解y=（x）满足一个称之为P-判别式的联立方程，，
'Fxyp（,,）0,py,,其中.Fxyp,,0,，，p
1,,'2Fxyy（,,）0,定理:
设微分方程有通积分Vxyc（,,）0,又设积分曲线Vxyc（,,）0,y=（x）,有包络为则奇解满足C,判别式的联y=（x）xJ,,，，
'立方程,.Vxyc（,,）0,Vxyc（,,）0,c
以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,,
知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:
',Fxyp（,,）0,y,,,''Fxyp（,,）0,,pp,
用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:
'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,,,''VV,0,0,，，，，,xy,
则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式（C,判别式和P,判别式）对所有一阶微分方程求奇解都有效?
3（几个例子
利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?
2'yyx，,,0【例1】:
求的奇解，，
'yp,解:
令,利用P,判别式:
2,pyx，,,0;,20p,,
yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解,所以原方程无奇解.
我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?
我们接着看下一个例子.
2,3'3,yy【例2】:
求的奇解.5
3
5解:
原方程的通解为:
yxc,，，，
C,判别式为:
3,5yxc,，,0，，,;,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解.y=0
以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.
2xy'，，yyye,,1【例3】:
求微分方程的奇解.，，，，
解:
原方程的P,判别式为:
2xy2,ypye,,,10，，,;,2210py,,，，,,消去P得y=0
易知是微分方程的解.y=0
而且:
',Fxyp（,,）10,,,y,,''Fxyp（,,）20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.
1,,24'，，【例4】:
求.yyy,,1，，，，9
解:
首先我们不难求出微分方程的通积分:
22xcyy,,,,30（）,，，，，由C,判别式:
22,xcyy,,,,30，，，，,（其中C为任意常数）,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:
y,0:
xc,,,,,,c，，1
y,3:
xc,,,,,,c，，2
容易验证满足相应的非蜕化条件:
1
'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,,,''VV,0,0,，，，，,xy,
因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解.（）,1
,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22
（）,,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2
微分方程的解.
从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程
出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解
为奇解,则此解一定满足:
用P,判别式时满足:
',Fxyp（,,）0,y,;,''Fxyp（,,）0,,pp,
用C,判别式时满足:
'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,.,''VV,0,0,，，，，,xy,
对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看
一道例题.
5,,2dydy,,，,,xy0【例5】:
求的奇解（,,dxdx,,
dy解:
法一:
令,则P-判别式:
pdx
2,pxpy，,,0;,20px，,,
2xy,,消去P得.4
2ycxc,，法二:
方程的通解为
C,判别式:
2,ycxc,,,0;,xc，,20,
2x消去C得y,,,满足非蜕化条件:
4
'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，,,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,xy,
2xy,,所以是奇解.4
由例5知:
既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢?
4（新判别法
在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.
4.1.C,P消去法
9,,2348''【例6】:
求的奇解.xyyy,,,，，，，927
'yp,解:
令
P,判别式:
48,23xypp,,,,,927;,82,pp,,0，，,9,
消去P得:
4yx,及yx,,27
方程的通解为:
23ycxc,,,，，，，
C,判别式:
23,ycxc,,,,0，，，，,;,2230ycxc,,,,，，，，,,
44消去C得.则为奇解.yx,,yx,,2727
例6中介绍了一种新方法,C,P消去法:
:
联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，
中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解.别式得到解,xy,0,，，
4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,
444,它们的公共单因式为,令其为零,即.yx,,yx,，,0yx,，,0272727
2xpxpy，,,20【例7】:
求的奇解.
2xpxpy，,,20解:
从和中消去P得:
y=-x220xpx，,
2yxpxp,，2再求通解,将方程写成
112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，（222）pp
dxdp,,即2xp
2（）4ycxc,,通积分为:
从
2（）4ycxc,,
,,2（）4ycc和
中消去C得:
yx,,及x,0
yx,,按C,P消去法知是奇解.
就特殊方程:
dy,fxy,，，dx
假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法.fxy,，，
6,,
4.2.自然法
,,f定义:
当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则yx,,（,）|xy,,，，,,,y,,
可能是奇解.yx,,，，
fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx
f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性.,，,,y
'2,yy,,1【例8】:
求（|y|1）的奇解.
,fy2fxyy,1,,,解:
，，2,y1,y
f当y,,1时,,，,,y
所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解.y,,1
验证:
（1）显然是方程的解.y,,1
,
（2）由分离变量法求得通解是:
yxc,，sin（）（）,,，,xc22
在y,1上任取一点通解表达式中有解x,1yxxxx,，,,,sin（）cos（），，0002
'y,0通过点且其上导数,即此解与y,1相切,故y,1是奇解.x,1，，0
同理:
y,,1也是方程的奇解.
7,,
4.3.拾遗法
dy定义:
当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx
需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.
因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.
2x,1【例9】:
求的奇解.xxdydx10,,,，，
2解:
除以因式得:
xx1,
dxdy,2xx1,
积分后得通解:
xyc,，ln||211，,x
2但令消去因子为零,即得;xx10,,x,0x,,1
验证:
（1）它们都是方程的解;
xlimln||,,,
（2）有2x,011，,x
xxlimln||limln||0,,22xx,,11,，1111，,，,xx
前者说明通解表达式中没有解与相交;x,0
后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1
'y,,,都是因此得结论:
是正常解,是奇解.x,0x,,1
5（结论
以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式
求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:
（1）P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;
（2）P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;
（3）当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但
C,判别式未必失效;
（4）当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇
解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.
参考文献
丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年.1M,,,,
钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年.2M,,,,
王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年.3M,,,,
何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:
1,3.
路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:
207,211.
张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:
5,10.6J,,,,
谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:
27,31.
曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报8J,,,,
2004第5、6期第225页.
张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:
1339,,,,
136.
升级会员 