版二轮复习数学理重点生通用版专题跟踪检测十四 圆锥曲线的综合问题.docx

版二轮复习数学理重点生通用版专题跟踪检测十四 圆锥曲线的综合问题.docx

《版二轮复习数学理重点生通用版专题跟踪检测十四 圆锥曲线的综合问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版二轮复习数学理重点生通用版专题跟踪检测十四 圆锥曲线的综合问题.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

版二轮复习数学理重点生通用版专题跟踪检测十四圆锥曲线的综合问题

专题跟踪检测（十四）圆锥曲线的综合问题

1．（2018·武汉调研）已知抛物线C：

x2＝2py（p>0）和定点M（0,1），设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.

（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

（2）若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解：

设直线AB：

y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，

则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①

（1）由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，

∵点N在以AB为直径的圆上，

∴AN⊥BN，

∴－＝－1，∴p＝2.

（2）易得直线AN：

y－y1＝（x－x1），

直线BN：

y－y2＝（x－x2），

联立结合①式，

解得即N（pk，－1）．

所以|AB|＝|x2－x1|

＝·

＝·，

点N到直线AB的距离d＝，

则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，

当k＝0时，取等号，

∵△ABN的面积的最小值为4，

∴2＝4，∴p＝2，

故抛物线C的方程为x2＝4y.

2．（2019届高三·河北“五个一名校联盟”模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋y2＝1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.

（1）求证：

k1·k2＝－；

（2）试探求△POQ的面积S是否为定值，并说明理由．

解：

（1）证明：

∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，

∵m·n＝0，∴＋y1y2＝0，

∴k1·k2＝＝－.

（2）①当直线PQ的斜率不存在，

即x1＝x2，y1＝－y2时，

由＝－，得－y＝0，

又由P（x1，y1）在椭圆上，

得＋y＝1，

∴|x1|＝，|y1|＝，

∴S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.

②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b（b≠0）．

由得（4k2＋1）x2＋8kbx＋4b2－4＝0，

Δ＝64k2b2－4（4k2＋1）（4b2－4）＝16（4k2＋1－b2）>0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝.

∵＋y1y2＝0，

∴＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝0，

得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.

∴S△POQ＝·|PQ|

＝|b|

＝2|b|·＝1.

∴△POQ的面积S为定值．

3.（2018·长春质检）如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：

＋＝1（a>b>0）上．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

解：

（1）设AQ与BP的交点为G（x，y），P（－2，y1），Q（x1,2），

由题可知，＝.

∵kAG＝kAQ，kBG＝kBP，

∴＝，＝－，

从而有＝－＝－，整理得＋y2＝1，

即椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）由

（1）知R（2,0），设M（x0，y0），则y0＝，

从而梯形ORMN的面积S＝（2＋x0）y0＝，

令t＝2＋x0，则2

令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2（3－t），

当t∈（2,3）时，u′>0，u＝4t3－t4单调递增，

当t∈（3,4）时，u′<0，u＝4t3－t4单调递减，

所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为.

4．已知抛物线E：

y2＝2px（p>0），直线x＝my＋3与E交于A，B两点，且·＝6，其中O为坐标原点．

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知点C的坐标为（－3,0），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：

＋－2m2为定值．

解：

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立消去x，整理得y2－2pmy－6p＝0，

则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－6p，x1x2＝＝9，

由·＝x1x2＋y1y2＝9－6p＝6，

解得p＝，所以y2＝x.

（2）证明：

由题意得k1＝＝，

k2＝＝，

所以＝m＋，＝m＋，

所以＋－2m2＝2＋2－2m2

＝2m2＋12m＋36－2m2

＝12m·＋36·.

由

（1）可知：

y1＋y2＝2pm＝m，y1y2＝－6p＝－3，

所以＋－2m2＝12m·＋36·＝24，

所以＋－2m2为定值．

5．（2018·惠州调研）已知C为圆（x＋1）2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1,0）和AP上的点M，满足·＝0，＝2.

（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

（2）若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与

（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤，求k的取值范围．

解：

（1）由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，

所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2，

所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，

所以a＝，c＝1，b＝＝1，

故点Q的轨迹方程是＋y2＝1.

（2）设直线l：

y＝kx＋t，F（x1，y1），H（x2，y2），

直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1.

联立⇒（1＋2k2）x2＋4ktx＋2t2－2＝0，

则Δ＝16k2t2－4（1＋2k2）（2t2－2）＝8（2k2－t2＋1）＝8k2>0⇒k≠0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以·＝x1x2＋y1y2

＝（1＋k2）x1x2＋kt（x1＋x2）＋t2

＝＋kt＋t2

＝－＋k2＋1

＝，

所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤，

所以－≤k≤－或≤k≤.

故k的取值范围是∪.

6.如图所示，设椭圆M：

＋＝1（a>b>0）的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P，且AP⊥OP.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；

（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：

直线DE过定点．

解：

（1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1.

又点A的坐标为（－a,0），

所以·＝－1，解得a＝1.

又因为椭圆M过点P，所以＋＝1，解得b2＝，

所以椭圆M的方程为x2＋＝1.

（2）由题意易求直线AP的方程为＝，

即x－y＋1＝0.

因为点Q在椭圆M上，故可设Q，

又|AP|＝，

所以S△APQ＝××

＝×cos＋1.

当θ＋＝2kπ（k∈Z），即θ＝2kπ－（k∈Z）时，

S△APQ取得最大值＋.

（3）证明：

法一：

由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，得（3k＋1）x2＋6kx＋3k－1＝0.

设D（xD，yD），则（－1）·xD＝，

即xD＝，yD＝k1＝.

设E（xE，yE），同理可得xE＝，yE＝.

又k1k2＝1且k1≠k2，可得k2＝且k1≠±1，

所以xE＝，yE＝，

所以kDE＝＝＝，

故直线DE的方程为y－＝.

令y＝0，可得x＝－＝－2.

故直线DE过定点（－2,0）．

法二：

设D（xD，yD），E（xE，yE）．

若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD，此时k1k2＝·＝＝＝与题设矛盾，

若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x，得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，

则yD＋yE＝，yDyE＝.

又k1k2＝·

＝

＝1，

可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，

所以（t2－1）·＋t（s＋1）·＋（s＋1）2＝0，

可得s＝－2或s＝－1.

又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2.

所以DE的方程为x＝ty－2.

故直线DE过定点（－2,0）．

7．（2018·南昌模拟）如图，已知直线l：

y＝kx＋1（k>0）关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：

＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.

（1）求k·k1的值；

（2）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？

若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

解：

（1）设直线l上任意一点P（x，y）关于直线y＝x＋1对称的点为P0（x0，y0），

直线l与直线l1的交点为（0,1），

∴l：

y＝kx＋1，l1：

y＝k1x＋1，

k＝，k1＝，

由＝＋1，

得y＋y0＝x＋x0＋2，①

由＝－1，得y－y0＝x0－x，②

由①②得

∴k·k1＝

＝＝1.

（2）由得（4k2＋1）x2＋8kx＝0，

设M（xM，yM），N（xN，yN），

∴xM＝，yM＝.

同理可得xN＝＝，yN＝＝.

kMN＝＝＝＝－，

直线MN：

y－yM＝kMN（x－xM），

即y－＝－，

即y＝－x－＋＝－x－.

∴当k变化时，直线MN过定点.

8．（2019届高三·湘东五校联考）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，已知P（2,3），Q（2，－3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？

请说明理由．

解：

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0），

∵抛物线的焦点为（0,2）．

∴b＝2.

由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

①设直线AB的方程为y＝x＋t，

代入＋＝1，

得x2＋tx＋t2－12＝0，

由Δ>0，解得－4

∴x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，

∴|x1－x2|＝

＝

＝.

∴四边形APBQ的面积

S＝×6×|x1－x2|＝3.

∴当t＝0时，S取得最大值，且Smax＝12.

②若∠APQ＝∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k（x－2），

由消去y，

得（3＋4k2）x2＋8k（3－2k）x＋4（3－2k）2－48＝0，

∴x1＋2＝，

将k换成－k可得x2＋2＝＝，

∴x1＋x2＝，x1－x2＝，

∴kAB＝＝

＝＝，

∴直线AB的斜率为定值.