BlackScholesMerton model 的今生.docx

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BlackScholesMertonmodel的今生

Black–Scholes–Mertonmodel的今生

这一次,照例是要写大boss,但是写正题之前,笔者想稍微说一下看上一篇文章留言和跟网友讨论是一件很好玩的事情,为什么呢.因为可以学习到不同的知识.例如,我看到有人留言说会六种Black–Scholes–Merton的推导方式,有的人说四种,这个让我很嫉妒呐.因为不是所有的人都会看完文章,所以把这个写在开头,谁要是知道4,5,6种请务必告知楼主学习.Iamallears.

先秀下限,鄙人大概知道这么几种推导Black–Scholes–Merton模型的方法.第一种,当然是最简单的二叉树方法,用二项分布的极限与中心极限定理结合,最后按照布朗运动的定义推出来的.第二种,BlackandScholes在最初给的推导方法,假定存在riskpremium用itolemma微分以后等于期权的期望收益,最后化简成Black–ScholesPDE,最后用Feynman–Kac方法求解PDE.第三种是用鞅方法,还是Black–ScholesPDE,但是用鞅去鼓捣折现后的投资组合到第一期,最后化成一个积分,积分完就是Black–Scholes–Mertonformula.然后咧,鄙人还会Merton的方法,按照delta对冲的方法构建一个投资组合,continuoushedging的方法最后也可以导出Black–ScholesPDE.但是本质上来说,这个方法其实就是鞅方法,但是从原作者的想法来说,是对BlackandScholes 文章的另外一种解释,但是蕴含比较深刻的东西,所以姑且算0.5种方法方法.然后就是传说中的Girsanovtheorem风险中性定价,但是这种方法无非是前面两种方法的推论,而且这个风险中性定价误导了哥好多年,所以哥还在生它的气,姑且只算0.25中方法.所以,总的来说,哥只会3.75种推导方法.然后此处略去2000字,就得到大boss了:

然后,接下来,当然是讨论鄙人在上一篇文章中提出的三个问题.外加另外一个困扰了鄙人很长时间的问题:

期权都是有gamma的,或者是convexity,在merton哥做deltahedging的时候,假设我longcall,shortstock,那么,股票涨,期权比股票涨的多,所以赚钱,股票跌,期权比股票跌的少,所以赚钱.用图像就是这个样子:

怎么样,诶哟妈呀,这个尼玛太赚钱了.这个是笔者的第一反应,不知道诸位会做如何解释.这个问题困扰了我很久,因为这不就arbitrage了么,Merton哥为什么用这个strategy来证明optionpricing,不科学不科学. 

好了,接下类就从笔者会的几种推导方式讲一下自己对于这四个问题的理解,当然错漏是almostsure的,所以可以讨论讨论,勘误勘误,就肯定不负恩泽啦.

首先看第一种二项分布的推导方法.当然,笔者很鼓励大家推导一下这个,StevenShreve的书第三章也有讲这个东西.为什么要推一下呢,这个要从最简单的两期模型讲起,如果有人知道 Arrow–Debreuframework,那么自然就清楚状态价格这个玩意儿,如果在单期使用状态价格这个东西推导optionprice,你会发现不同状态下的状态价格正是风险中性定价!

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笔者孤陋,没有见过那本教科书是这么推导的,只是在longstaff的课上得以管窥一斑.但是,这个结论是很严重的,因为ADframework讲的是一般均衡的存在性定理,在uncertainty的假定下讲的是状态价格如何由效用和基础资产供求关系决定的.于是,这解决了上一篇文章中提到的问题,效用是怎么进入模型的.答案部分是:

风险中性定价本身就是proxyofstateprice,它可以由效用和基础资产的供求所决定,经济学意义是单个状态的加总边际效用和所有状态的tradeoff.

这个听起来略低调而奢华了,用说人话的方式理解,就是我们在考虑放高利贷给别人的时候,总是会考虑未来的不确定性,因为毕竟没有资产是绝对riskfree的,最简单的例子,特种部队二里面,总统们一起按核弹按钮,那人类真是辛辛苦苦两千年,一夜回到耶诞前.所以借钱给别人的时候,我们一定反复思量不同的状况下回收本金的方法,以及"这个状态下,我过得爽不爽",思量好了以后,综合考虑过得爽不爽的程度,给一个利率,这种行为方式加总起来就有了宏观上的利率.所以,效用是通过利率作用状态价格影响期权价格的.

那么有人肯定会问,那么爽不爽的程度为什么不会去作用股票啊,哥不放高利贷只搞股票啊.这个问题,如果放到binomial的情况下考虑,技术上的答案是这样的,当我们考虑实际的状况怎么转换成binomial的时候,我们有股票的一阶矩估计,二阶矩估计量,所以只有两个矩方程,正态分布两个矩方程就够了,而binomial的世界里面有u,d,p三个变量,因此多了一个自由度,如果把p想象成自由的,那么得出的结论应当是和风险中性假定类似的结论,股票本身的分布不会影响期权价格.

这个问题另外一部分答案,就是要讲Merton的那个方法.Merton用的方法就是delta对冲的方法,johnhull那本书有很好的例子,但是我们关注的一点就是因为option是derivatives,所以它的风险是可以用过买卖underlyingasset去对冲掉的,因为最后在理想状况下,对冲掉的组合是无风险的,因此,最后option不存在riskpremium,当然也不会存在riskpremium是谁给谁的问题.这个笔者花了很长时间理解,现在还没有完全想明白.但是想明白的部分,用merton模型的话说出来如下:

想象一个屌丝骑单车和一个高帅富开法拉利,笔者问他们两个路旁的巴士速度几何.屌丝可能骑车看手机,看都没看到校车,又或者骑车速度慢,觉得校车开得很快.反之,高帅富法拉利一踩油门,就把巴士丢到后面了,高帅富会觉得校车很慢,然后笔者给两位买了巴士票,请他们上巴士坐着,这回他们就会对校车的速度达成一致.这个车票还有另外一个功能就是你上了车,还可以玩躲猫猫,这样,高帅富和屌丝能够躲猫猫的位置都是公平了,但是在原先骑车和法拉利的参考系当中,他们躲猫猫的位置和机会肯定是不相同的.花了三段话讲一个高一物理学的故事,用意就是,屌丝可能对应的是预计市场下行的人,高帅富对应市场上行的人,他们本身对于巴士（underlyingasset）的估计是不一样的,躲猫猫的机会也不一样（期望收益不一样）,但是笔者给了他们两张车票（车票的价格是一样的）,他们上车了以后必将对巴士相对他们的速度达成一致,因为他们必将对车速达成一致,并且躲猫猫机会公平,因此车票钱（期权价格）对于每一个人都是一样的.

也就是说,在金融市场上,期权讲的是一个相对价值,相对的意义在于参考系是stock,你可以不上车,你可以不同意车的速度,但是哥给了你车票,给了你机会,即使你不上车,但是给了你上车玩躲猫猫的机会本身是一个公平的过程,那么车票就是人人平等的.从宏观的角度来说,derivatives的总供给和总需求是相等的,并且option既不创造财富也不抹杀财富,这样的不确定性也不会称之为risk,因为他不systematic,因此,option的不确定性本身并不能用premium衡量（试联想CAPM）.

说道这里,风险中性的概念自然而言就产生了,要不然,直接拿风险中性概念来讲是一个既突兀又不切实际,又易于引导人产生不切实际幻想的东西.这就是笔者最后讲到风险中性和鞅方法.当年笔者大三的时候打死也理解不了风险中性的含义,只是靠死记硬背以博取期权期货老师超哥的赞誉以获期获得高分（超哥你若是看到这篇文章会不会想抽我..）.这个真是很容易,但是又很忽悠人的东西啊,风险中性?

湿湿碎啦,增长率换成r,搞掂!

但是因为没有理解之中的含义,很容易在其他地方出错,这直接导致了笔者再一次optionvaluation上面犯了极度傻逼的错误,用股票的一阶矩做Monte-Carlo.因为在Monte-Carlo的时候很容易就会搞混,既然做simulation,就是仿真嘛,'真'自然对应的就是真实的分布.这样就跪了,跪了一地有木有.因为做simulation也好,搞closeform也好,最终riskneutral讲的就是一个切换参考系的问题,既然分布的一阶矩不重要（二叉树例子）,那么最方便的方法就是用r代替咯.而且r代替还有经济学含义.但是说句老实话,笔者那么喜欢Black–Scholes–Mertonmodel模型的一个很重要得原因就是riskneutralmeasure导致了assetprcing的一场革命,这个跟Merton的deltahedging是一脉相承的.另外一个例子,就是在swapvaluation的时候用的是forwardmeasure,这个跟riskneutral有异曲同工之妙,联系起来理解,就能在intuition上面理解很多.再推而广之,riskneutral和鞅方法依赖的就是Girsonovtheorem,现在很多衍生产品很复杂,不知道怎么simulate,例如highdimensionalprobleminMonte-Carlo,其中一个主要的方法就是找含有这个衍生产品的一个表达式,这个函数在某个测度底下是鞅,然后鞅有一个很好的性质就是可以一直欢快地discount到t=0,然后就可以解出衍生产品的价格了.

然后就是笔者最后一个问题,deltahedging里面的convexity是不是可以获利的问题,如果推导了一下greeks的同学都知道,theta和gamma有一部分长得很像,一个是timedecay一个是convexity,唐纳德.何大神给了一个比较好的解释,出处是石立夫那个书,convesity的获利最终都会被thetadacay掉.用能量转化的思想就很好理解,一个期权有时间价值,也有gamma价值,股票随着时间会波动,波动了以后,gamma产生的价值就随时间decay掉了,所以这个convexity是在理论上不会产生套利行为的（实际中是可以的）.这个能量转化的过程为什么可以实现?

因为Itolemma呀,dwdw=dt就是能量转化的链条,再一次,物理学帮助了我们理解金融.

所以说,笔者知道的这3.75种方法,每一种方法背后都存在一个含义,这些含义或多或少在逻辑上给予我们了解Black–Scholes–Mertonmodel的机会,给予了经济学上的含义,推论以及给后世的金融学,金融工程学的发展奠定了基本的基础.笔者承认,这个模型有很多假定在状况下是不现实的,参照holesin BlackScholes这篇文章,里面详细地说了这个模型的缺点以及后果.但是笔者每每看到这个模型,都会不自觉得为之中布朗运动的优美所以吸引以及closeform的分析学上的美感所征服.毕竟,closeform最大的好处是给了我们一个量化准则进行风险管理,因为可以求导.而布朗运动的优美在于它对有效市场假说的若即若离.布朗运动是一个鞅,这暗含了stock可以成为一个有效市场.正态分布的优美,在前篇日志里面已经提到,但是如果作为金融学为物理学所影响的大方向出发,这不得不说给予我们一个'新'的角度看待市场和市场参与者.热量随着时间地点扩散,价格随着时间,价格本身所处的位置进行扩散,以及由此联想到布朗运动描绘分子运动和微观参与者的行为之间的某种相似性,这本身提供了我们解决金融问题的一个很好的思路.但是这个模型也是可以在市场不有效,不均衡的时候使用的,是要stock偏离了fundamentals,整个框架也可以用的,理论上是可以过得去的,但是实际上可能有危险.但是客观地说,non-arbitragecondition是equilibrium必要条件,但是并不充分. 1987年的股灾,传说就是因为这个公式乱用导致的.有兴趣的朋友可以去看看LOR这个case,挺有意思的.另外,但是学术上,期权另外给予了我们看待金融的一个'新'思维,Geske的说法就是forwardlooking,搞quant都知道历史数据不准确,但是又没有办法做了一比较好的期望,而期权以及后来其他的衍生产品给了我们forwardlooking的机会,forwardlooking地定价,以及扩展状态导出状态价格估计,这就是为什么期权是一个大大的好东西.

讲个题外话,当年BlackandScholes推导出来这个东西,拿去给很多学术杂志看,大家都不是很懂,所以都不给发,包括fama当主编的pliticaleconmy也没给发,估计fama当时还在想有效市场的东西,没怎么管这个,然后他们两个都很困扰,然后问Merton哥帮忙,Merton哥回家想了一想,发了一篇关于期权定价的文章,里面在致谢的那个环节多谢了另外两位大神,然后找Fama帮忙,然后Fama看了看,觉得可以,又找了大Merton,MM定理里面那个Merton,然后大家一起推荐,才把他们的文章发出去了.然而笔者坚持要叫Black–Scholes–Mertonmodel的原因,就是在这个节骨眼,小Merton帮了一个大忙,而且Merton哥的导师正式经济学大神小萨!

于是笔者很主观地认为有师傅必有其学生,Merton一生的成就跟这个导师正相关,而且integrity也是的,而且也没有跟前面两位大神争功（但是事实是最后人们认可了他的功绩,给了诺奖）.然后,因为他推导的方式是采取delta对冲的方式将热传导的方程做了完美的经济学和金融学的阐述,并且通过这样的对冲策略完美诠释的什么叫做non-arbitragecondition.这对于后世来说基本上奠定了所有assetpricing的方法.再者, 从后世的金融工程角度考虑,Merton的方法更加符合量化交易的需求,因为delta对冲的策略事实上,是所有quant模型的始祖:

datain,一个sigal,对应一个量化的策略,计算,然后输出一个量化的交易策略,dataout.所以,笔者坚持把Merton哥放在这里的意义就是:

 Black–Scholes–Mertonmodel是所有quant模型的爸爸.巧合的是,Black–Scholes–Merton发表后不久,美国就有了期权市场.再后来,大家功成名就了,Black去了高盛做事,带了一个徒弟,这个徒弟干得不错,于是就出名了,他就是EmanuelDerman.Merton和Schloes一起搞了一个很牛逼的hedgefund,他们想让投资者的钱长期放在里面,所以取名字叫长期资本管理公司（LTCM）,笔者也曾经说过,看过了他们的策略以后,笔者的想法大概可以概括为:

惊为天人.倒闭,风险管理不好什么的在笔者这样的脑残粉底下完全就没有意义了.以后笔者要是走了狗屎运,能够开一家hedgefund,一定叫longtermtangency,前半部门就是为了纪念LTCM里面的天才,所有金融工程的爸爸,tangency为了纪念meanvarianceoptimization的作者马尔科维茨,所有buysidefirm的爸爸. 

再到后来,天妒英才,black1995年去世了,1997年诺奖给了Merton,Schloes,特别提到了Black.这个例子经常被拿来开玩笑说搞经济金融得诺奖有两个充分条件,第一是出名要乘早,第二是活得要够长.但是掩卷而思,笔者认为这一次他们能够获奖,证明了诺奖委员的评审们能够放下象牙塔的傲慢,以一种经世致用的态度来看待金融学和金融工程学的研究.纵观Black一生,年轻的时候参加学生暴动被开除,读phd的时候上课太杂以至于毕业都有困难,好不容易搞了一个PDE出来,但是不会解,问了schloes两个人一起努力才搞定,然后做了教授两年跑去高盛做事了.这根本不符合象牙塔的教授们的价值观,Merton和Schloes搞hedgefund赚钱,也丝毫没有影响到他们评奖.这真正体现了象牙塔的教授们对于那些躬身在最前线的quant的最大的尊重.然后,哥也可以大喊一声,哥是矿工哥自豪,编程搬砖我骄傲.毕竟,你发明再牛逼的公式,没有quant,便是白纸一张,黑字几行,意义何在?

最后以某位quant的fb的签名来结尾:

DedicatedtobigOXen（大牛们）:

EachtimeIgothroughthebinomialtreemodeltotheBlack–Scholes–MertonModel,itwinsmyhighestadmirationfortheelegancefromdiscretenesstocontinuity,theperfectionfrombrokentermsintocloseformandtheeloquence,flexibilityandingenuity,firmandsimpleenoughtoholdthefoundationoftheentireedificeofmodernfinancetheory!