最大面积二次函数的应用教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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最大面积二次函数的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

二次函数的应用——面积最大问题教学设计

北师版数学九年级下册第二章第四节二次函数的应用。

本节共需两课时，面积最大是第一节，利润最大是第二节。

一、教学内容的分析

1、地位与作用：

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，同时，也为求最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：

教材中二次函数的应用只设计了2个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定

结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：

通过本节学习，巩固二次函数y=

（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2.过程与方法：

通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。

3．情感、态度与价值观：

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

教学重点：

利用二次函数y=

（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：

1、正确构建数学模型

2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

三、教学方法与手段的选择

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

四、教学流程

（一）创设情境导入新课

开发商要在三角形空地上建造一块面积最大的矩形花圃，如何设计才能使矩形的面积最大呢？

你想帮他解决这个问题吗?

辅以动画演示。

[设计意图]利用学生感兴趣，乐助人的天性，从生活中的实际问题引入，激发学生学习、探究的积极性。

同时，辅以动画演示，体会变量的含义。

（二）新课探究掌握方法

新课分为在旧知中寻找解决问题的方法、在解决问题中体验建模、在变式训练中提高技能几个环节

1.复习提问寻找方法

观察二次函数y＝

（a≠0）的图象

提问：

抛物线在什么位置取得最值？

明确：

a>0时，二次函数图像在其顶点处取得最小值；

a<0时，二次函数图像在其顶点处取得最大值；

这就为我们研究最值问题指明了方向，

[设计思路]通过复习，让学生体会生活中的最值问题与二次函数的顶点坐标之间的关系，找到研究生活中的最值问题的方法：

要求最值：

先确定二次函数关系式，再求其顶点坐标。

2.解决问题体验建模

探究一：

（独立思考）

王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,如何围才能使养鸡场的面积最大?

最大面积是多少?

DC

AB

思考：

1、这是一个实际问题，应先将其转化为。

2、矩形的面积=。

3、若设AB=xm，如何表示BC？

4、矩形面积y=。

5、x=，y最大=。

6、你有几种求最大值的方法？

感悟1：

在本题的解答中，我收获了

。

【设计意图】利用生活中的一个实际问题引入探究，目的是初步体验建模，寻求解决实际问题的方法。

为了让学生有条理的思考，我设计了一系列问题进行引导。

解决完问题后让学生及时总结，从而让学生悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。

3、变式训练提高技能

探究二：

（小组合作）

开发商要在一块直角三角形空地上建造一个面积最大的矩形花圃，三角形的底边长40米，高30米.如何设计才能使矩形ABCD的面积最大？

思考以下三个问题：

1.要求面积ym2的关系式，我们应该先表示出哪两个量？

2.若设AB=xm，怎样用含有x的式子表示线段AD？

3.列出关系式后，你有几种方法计算矩形ym2的最值？

解：

变一变：

（同桌交流方法）

若设AD为xm，如何表示AB呢？

再变一变：

（独立思考后师生共同突破难点）

开发商认为，若将BC边放到斜边上，点A与点D分别落到边PM与PN上，面积会更大，你同意他的说法吗？

感悟2：

在本题的解答中，我收获了

。

【设计意图】同样是寻求矩形的最大面积，但在变量的表示上确提高了难度，在第一个例子中，引导学生从多种角度寻求用一个变量表示另一个变量的方法，为以后的探究奠定基础，为了突破难点，组织学生四人讨论，寻求解决方案。

有了第一个问题的解决方法，第二个就变的比较简单，我让学生同桌交流，要求用不同方法表示变量。

再变一变，题目综合性强，难度大，在学生独立思考的前提下，师生共同探究思路，突破难点。

通过变式训练，培养了学生的独立思考、合作、探究能力，提升了学生的数学素养。

（三）分层评价

这一阶段，我设计了三组练习题让学生选做，学生自由选择完成，使不同层次的学生都能够体会到成功的喜悦。

A层：

（你能行！

）我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能完成，尝试到成功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。

1、假设篱笆（虚线）的长度为15米，两面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？

2.如图（单位：

m）,等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合．设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y与x的关系式；

（2）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?

B层：

（你肯定行！

）在第2题的基础上加深了难度。

（3）如果继续移动直到AB与EF重合，你能写出y与x的关系式吗?

此题设计了一个动面问题，对优等生来说需要思考，为了更好的让学生理解动点、动线、动面等问题，我设计了动画演示，在几何画板的演示下，学生都能够理解图像的变化情况，同时也为以后解决同类问题提供了方法。

C层（你一定是最棒的！

）

3.你能设计一个利用二次函数求最值的题目吗？

通过寻找生活中的数学问题，提高学生学习数学的兴趣，培养学生学习数学，应用数学的意识。

（四）、师生小结

本阶段，让学生总结这节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法以及要注意的问题，体会科学就是生产力这句话的含义，激发学生学数学用数学的信心。

（五）、布置作业：

1.如图，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。

回答下面的问题：

（1）设每个小矩形一边的长为xm，设四个小矩形的总面积为ym2，请写出用x表示y的函数表达式。

（2）你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标，并说出y的最大值吗？

拓展：

（3）若墙的长度为10米，x取何值时，养兔场的面积最大？

2.有一块三角形土地如图，他的底边BC=100米，高AD=80米，某单位沿着BC修一座底面是矩形的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？

学情分析

学生已学习了二次函数的图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为利用二次函数解决实际问题奠定了较好的知识基础。

因此，在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。

通过数学方法解决问题。

只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。

效果分析

教学内容：

采用低起点、小步子，密台阶的设计思路，层层深入，让学生一步一步掌握了生活中最值问题的解决方法，有效突出了重点，突破了难点。

学生表现：

上课学生思维敏捷、反应积极、探究有条理、课堂气氛活跃。

教学效果：

课堂检测共分三个层次，A层次学生都能认真完成，正确率98%以上；B层次稍有难度，在动画演示、师生共同分析下也能全部掌握；C层次把数学应用于生活，学生积极寻找生活中的数学，涌现出了很多用最值问题解决的实际问题，把课堂气氛推向高潮，进一步说明学生对本节课的理解又上了一个层次。

教法学法：

教学方法应用灵活，利用生活中的实际问题引入，通过生生、师生的合作探究、交流获取知识，课堂上充分调动学生的积极性，重视学生活动，让学生主动获取知识，积极探究解决方法，把学法指导寓于教学过程的始终，培养了学生独立获取知识的能力。

教学手段：

利用多媒体课件，生动再现了生活中的最值问题，学生兴趣浓厚，乐学、愿学；

利用几何画板的动画效果，让学生充分理解变量的意义，激发学生的学习热情，同时，在动面问题的解决上，也给学生以生动形象的演示；

利用学案，精心编制了例题和习题，为本节课的成功奠定了基础。

综上所述，本节课通过数学活动，让学生对所学知识进行内化与迁移，让学生发现了新知与旧知的联系，学会了利用建模思想解决实际问题。

发展了思维、培养了能力。

同时，通过教师与学生、学生与学生的课堂交流，使学生的学习动机、情感态度与价值观都能得到不同程度的激励和培养，符合新的课程要求，体现新的课程理念。

教材分析

1、地位与作用

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，此类问题的求解方法，也为求解最大利润等问题奠定基础。

本节目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排

教材中二次函数的应用只设计了2个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3、教材整合

作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。

充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂才能显现真正的活力。

因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。

而对于窗户透光问题因为计算量大，而舍掉。

通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。

4、教学目标

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：

知识与技能

通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。

过程与方法

通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。

进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。

渗透转化及分类的数学思想方法。

情感态度价值观

（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。

5、重点难点

教学重点：

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法；

教学难点：

如何将实际问题转化为二次函数的问题。

评测练习

A层：

1.假设篱笆（虚线）的长度为15米，两面靠墙围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？

达标率：

100%。

2.如图（单位：

m）,等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合．设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y与x的关系式；

（2）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?

达标率：

96%。

B层：

拓展延伸：

（3）如果继续移动直到AB与EF重合，你能写出y与x的关系式吗?

达标率：

80%。

C层：

3.你能设计一个利用二次函数求最值的题目吗？

达标率：

70%

课后反思

本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

二次函数应用的教学后，比我预想的效果要好一些，出现了几个点引人深思：

1．精心设计问题，引发学生思考建立数学模型。

在《二次函数的应用》的教学过程中，复习旧知后，安排了探究一，以此题为契机，培养学生的分析问题、解决问题的能力。

本节课重点放在分析问题，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型解决问题。

设计小问题，铺设小台阶，引导学生探究，突破教学难点，带领学生寻找解决的方法。

学生根据老师提出的问题，小组讨论，同学间互相交流与补充，在教师的引领下，把实际问题转化为求二次函数的最大值问题，逐步将难点突破，帮助学生形成解决实际问题的思路和方法。

2．数学来源于生活并运用于生活

有效开发教学资源，挖掘生活中的数学问题。

例如：

探究二有较强的现实感，例题的选择增加数学教学的现实性，使学生体验数学知识与日常生活的密切联系，从而培养学生喜爱数学，学好数学的情感。

同时，通过变一变、再变一变，培养学生举一反三、触类旁通的能力，也使问题层层深入，最后，让学生设计一个利用二次函数求最值的题目，从更高层次渗透数学源于生活，并运用于生活的意识，激发学生的学习兴趣和学习动力。

3．有效利用多媒体课件，提高课堂教学效率

生动形象、图文并茂的多媒体课件，让课堂生色不少。

教学情境中动画的演示，让学生初步感受变量，激发了学习兴趣。

在难点的处理上，利用动态演示，有效突破了难点。

Ppt的展示，节省了大量的课堂时间，提高了教学效率。

4.灵活采用了多种教学方法，突出了新课程的教学理念

在本节课的教学中，我努力营造一个民主、开放的课堂。

通过组织活动，充分调动学生的积极性，让学生上台展示，大声说出自己的感受。

小组合作、同桌交流、师生交流，多样化的教学方式，让学生始终处在一个“我学习、我快乐，我展示、我提高！

”的积极的教学氛围中。

开放的课堂，先进的教学理念，让学生的各种能力得到了很好的提升。

课标分析

《数学课程标准》中二次函数一章的要求：

（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。

（2）会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。

（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

（5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

本节内容突出体现了《数学课程标准》的要求：

初中阶段学生能够结合具体情境发现并提出数学问题建立数学模型，从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，验证解的正确性与合理性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：

1、知识与技能

通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。

2、过程与方法

通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。

进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。

渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观

（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。

本节课的教学重点是“探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法”，教学难点是“如何将实际问题转化为二次函数的问题”。