初三数学探索与实践二北师大版知识精讲doc.docx

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初三数学探索与实践二北师大版知识精讲doc

初三数学探索与实践

（二）北师大版

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

探索与实践

（二）

二.重点、难点：

对于一些探索与实践的题目，题中提供某些信息，供解题者观察。

类比、推理、反思，从而归纳，猜想型探究题。

猜想型探究题能培养学生的数感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神，但猜想是合情推理，不是严格的论证，有的猜想正确，有的猜想不正确，所以对猜想的结论必须证明或验证。

【典型例题】

例1.我们知道32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，且它们都能被8整除。

试问：

任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？

如果能够，请写出你的推理过程；如果不能，请说明理由。

分析：

由已知三个等式可以猜想上述结论是正确的，但观察猜想并不能准确地反映这一特征，故而可设出两个连续奇数为2n＋1，2n－1，利用平方差公式因式分解可得出上述结论。

解：

任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

推理如下：

设这两个连续奇数为2n＋1，2n－1，（其中n为任意整数）

显然，当n为整数时，任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。

说明：

要准确判别某个结论的正确与否，必须通过推理，找出其所蕴含的内在特征，才能对这个结论作出肯定或否定的判断，不能单从观察、猜想来予以说明。

例2.已知：

在△ABC与△A’B’C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’。

试问：

△ABC与△A’B’C’是否全等？

如果全等，请给出证明；如果不全等，试举出反例来说明。

分析：

显然这样的两个三角形未必全等，可举一反例说明。

解：

仅由AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’不能证明△ABC≌△A’B’C’，事实上，它们可能全等，也可能不全等。

如下图，由∠C＝∠C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’时，此时△ABC≌△A’B’C’。

如下图，由∠C＝∠C’，BC＝B’C’，BA＝B’A’，但是△ABC与△A’B’C’不全等。

说明：

举反例也是证明命题的一种行之有效的方法。

但是，有时举反例也并非一件容易的事，它们必须建立在对已知定义、定理、公理的基础上，挖掘不足，从而发现问题，得到反例。

例3.如图，是某城市部分街道示意图，F是EC中点，EC⊥BC，AF∥BC，AB∥DE，BD∥AE。

小军和小强两人同时从B站乘车到F站。

小军乘1路车，路线是B→A→E→F；小强乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？

请说明理由。

分析：

在速度相同的情况下，“谁先到达”是由路程决定的，因此本题实质是比较BA＋AE＋EF与BD＋DC＋CF的大小。

解：

同时到达。

∵AE∥BD，AB∥DE

∴四边形ABDE是平行四边形

∴AB＝DE………………①

∵EC⊥BC

∴∠ECB＝90°

∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECB＝90°

即AF⊥EC

又∵F是EC的中点，∴DE＝DC

∵平行四边形ABDE中，DE＝AB

∴DC＝AB…………②

∴BA＋AE＋EF＝DC＋BD＋FC

∵两人乘车的路程相同，两车速度相同

∴两人同时到达F站

说明：

此题将抽象的逻辑证明赋予现实背景，增强证明的趣味性，同时也可以让解题者体会到逻辑证明在实际中的意义和作用，体现“生活中的数学”和“数学中的生活”的密切联系。

例4.已知：

AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个什么条件？

并证明四边形AEDF是菱形。

分析：

题中的现有条件不能够推证出菱形AEDF。

由结论入手要得菱形AEDF，首先想到能否得到平行四边形，只有D为BC中点即可，根据“AD是角平分线”联想到“三线合一”，因此可试加“AB＝AC”，构造“等腰三角形三线合一”。

解：

添AB＝AC

证明：

∵AB＝AC，AD平分∠BAC

∴D为BC中点

∵E为AB中点

∴DE为△ABC中位线

∴DE∥AC，同理：

DF∥AB

∴四边形AEDF是平行四边形

∵E、F分别为AB、AC中点

又∵AB＝AC，∴AE＝AF

∴平行四边形AEDF是菱形

说明：

培养创新精神和实践能力是素质教育的重点。

开放探究题是考查这种能力的一种新题型，近年来全国各地中考命题中受到极大的关注。

开放题常见类型有：

条件开放型、结论开放型、条件结论全开放型，本题属于条件开放型，要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索、多途寻因。

例5.把一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。

问题：

（1）找出图中全等的三角形，并证明。

（2）重合部分是什么图形？

证明你的结论。

（3）连结BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？

并证明。

分析：

发现折叠后出现的相等的线段，相等的角是解决问题的关键。

比如：

A’D＝AD，A’E＝AE，DF＝BF，∠A’＝∠A，∠A’DF＝∠B，∠BFE＝∠DFE等。

解：

（1）△A’ED≌△DFC

证明：

由折叠可知：

AD’＝AB，∠A’＝∠A＝90°，∠A’DF＝∠B＝90°

∵矩形ABCD中，AB＝CD，∠C＝90°，∠ADC＝90°

∴A’D＝CD，∠A’＝∠C，且∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°

∴∠1＝∠3

∴△A’DE≌△DCF

（2）等腰△DEF

证明：

∵△A’DE≌△DFC（已证）

∴DE＝DF

∴等腰△DEF

（3）菱形EBDF，EF⊥BD

证明：

由折叠可知：

BF＝DF

∵DE＝DF（已证）

∴DE＝BF

∵矩形ABCD中，DE∥BF

∴四边形BEDF是平行四边形

∵DE＝DF

∴平行四边形BEDF是菱形

∴EF⊥BD

说明：

折叠问题通常是轴对称变换，其中折痕是对称轴，解决这类问题的关键是搞清折叠前后哪些量（边、角）变了，哪些量（边、角）不变，折叠后又有哪些条件可利用。

通过“轴对称变换”将条件集中，从而打开解题思路，折叠问题既可以训练学生的空间想象力，又可以培养学生分析问题能力，是近几年中考中的热点题目。

【模拟试题】

1.2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形。

求证：

△ABE≌△DAH

2.△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC。

求证：

（1）△BDE≌△CDF；

（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形。

3.正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，

。

（1）求证：

△ABE≌△ADF；

（2）通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；

（3）指出图中线段BE与DF之间的关系。

4.梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，当梯形ABCD满足条件___________时，四边形EFGH是菱形。

证明你的发现。

5.在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

（1）连结_______________。

（2）猜想：

______________________________。

（3）证明：

6.△ABC中，D、E、F分别是各边中点，连结AE、DF

（1）AE、DF有什么关系？

（2）△ABC满足什么条件时，AE⊥DF？

（3）△ABC满足什么条件时，AE＝DF？

（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

7.已知：

∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AC。

求证：

四边形CEDF是正方形。

8.在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，小明想在平行四边形ABCD中截出一个菱形，于是以顶点A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F，则得到四边形ABEF，你能证明它是菱形吗？

9.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BD、BC、AC的中点，顺次连结点E、F、G、H，所得四边形是一个怎样的四边形？

若四边形EFGH是一个菱形，则四边形ABCD应满足什么条件？

10.先阅读下面题目及小明给出的证明，再根据要求回答问题。

已知：

如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC边相交于点E，∠B的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于O。

求证：

四边形ABEF是菱形。

证明：

①∵四边形ABCD是平行四边形

②∴AD∥BC

③∴∠ABE＋∠BAF＝180°

④∵AE、BF分别是∠BAF、∠ABE的平分线

⑤

⑥

⑦∴∠AOB＝90°

⑧∴AE＝BF

⑨∴四边形ABEF是菱形。

问：

（1）上述证明是否正确？

（2）如有错误，指出在第_________步到第_________步推理错误，应在第____________步后添加如下证明过程：

_________________________。

试题答案

1.∵正方形EFGH

∴∠FEH＝∠EHG＝90°

∠AEB＝∠AHD＝90°

∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠BAD＝90°

2.

（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED＝∠CFD＝90°

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C

∵D是BC中点，∴BD＝CD

∴△BDE≌△CDF

（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AEDF是正方形

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠AED＝∠AFD＝90°

又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形

∵△BDE≌△CDF

∴DE＝DF

∴四边形AEDF是正方形

3.

（1）∵正方形ABCD

∴AD＝AB，∠DAB＝90°

∴∠DAF＝90°＝∠DAB

∵E为AD中点

又∵

∴AE＝AF

（2）旋转。

将△ABE绕A点逆时针旋转90°可变到△ADF的位置。

（3）BE＝DF且BE⊥DF，延长BE交DF于G

∴BE⊥DF

4.满足条件AD＝BC

连结AC、BD

∵G、H分别为DA、DC中点

同理，

∵等腰梯形ABCD

∴AC＝BD

∴HG＝HE＝EF＝FG

∴四边形EFGH是菱形

5.

（1）连结BF

（2）猜想BF＝DE

（3）∵平行四边形ABCD

∴AD＝BC，AD∥BC

∴∠DAE＝∠BCF

又∵AE＝CF

∴

∴BF＝DE

6.

（1）AE、DF互相平分，连结DE、EF

∵D、E分别为AB、BC中点

∴DE∥AC，同理，EF∥AB

∴四边形ADEF是平行四边形

∴AE、DF互相平分

（2）当AB＝AC时，AE⊥DF

∵D、F分别为AB、AC中点

又∵AB＝AC，∴AD＝AF

又∵四边形ADEF是平行四边形

∴四边形ADEF是菱形

∴AE⊥DF

（3）当∠BAC＝90°时，AE＝DF

∵四边形ADEF是平行四边形

又∵∠BAC＝90°

∴四边形ADEF是矩形

∴AE＝DF

（4）当AB＝AC且∠BAC＝90°时，四边形ADEF是正方形。

7.过D点作DG⊥AB于G

∵DE⊥BC，DF⊥AC

∴∠DFC＝∠DEC＝90°

又∵∠C＝90°

∴四边形CEDF是矩形

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB

∴DF＝DG

同理，DE＝DG

∴DE＝DF

∴四边形CEDF是正方形

8.连结AE，依题意AB＝AE＝AF，又∵∠B＝60°

∴△ABE是等边三角形

∴BE＝AB

∴BE＝AF

∵平行四边形ABCD

∴AF∥BE

∴四边形ABEF是平行四边形

又∵AB＝AF

∴四边形ABEF是菱形

9.平行四边形。

若四边形EFGH是一个菱形，则四边形ABCD应满足条件AB＝CD

∵E、F分别为DA、DB中点

同理，

∴四边形EFGH为平行四边形

∵F、G分别为BD、BC中点

又

∴四边形EFGH为菱形

10.

（1）不正确

（2）第⑧步到第⑨步推理错误，应在第⑧步后添加如下证明过程：

∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC

∴∠4＝∠AFB

又∵∠3＝∠4

∴∠3＝∠AFB

∴AB＝AF

同理，AB＝BE

∴AF＝BE

∴四边形ABEF是平行四边形