高三上学期期末考试数学文科试题.docx
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高三上学期期末考试数学文科试题
2019-2020年高三上学期期末考试数学文科试题
高三数学(文科)xx.1
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,
,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】
,所以,即,选B.
2.复数()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】
选A.
3.执行如图所示的程序框图,则输出()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】第一次循环,满足条件,;第二次循环,满足条件,;第三次循环,满足条件,;第四次循环,不满足条件,输出,选C.
4.函数的零点个数为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由,得,令,在坐标系中作出两个函数的图象,由图象可知交点为一个,即函数的零点个数为1个,选B.
5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】由三视图可知,四棱锥的高为2,底面为直角梯形ABCD.其中
所以四棱锥的体积为
,选C.
6.过点作圆的两条切线,,为切点,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】设切线斜率为,则切线方程为,即,圆心到直线的距离,即,所以,,
所以
,选D
7.设等比数列的公比为,前项和为.则“”是“”的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若,显然不成立。
由得,即,所以。
若,则,满足。
当时,满足,但,所以“”是“”的充分而不必要条件,选A.
8.已知函数的定义域为.若常数,对,有,则称函数具有性质.给定下列三个函数:
①;②;③.
其中,具有性质的函数的序号是()
(A)①(B)③(C)①②(D)②③
【答案】B
【解析】由题意可知当时,恒成立,若对,有。
①若,则由得,平方得,所以不存在常数,使横成立。
所以①不具有性质P.②若,由得,整理,所以不存在常数,对,有成立,所以②不具有性质P。
③若,则由得由
,整理得,所以当只要,则成立,所以③具有性质P,所以具有性质的函数的序号是③。
选B
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量,.若向量与共线,则实数______.
【答案】
【解析】因为向量与共线,所以,解得。
10.平行四边形中,为的中点.若在平行四边形内部随机取一点,
则点取自△内部的概率为______.
【答案】
【解析】
根据几何概型可知点取自△内部的概率为
,其中为平行四边形底面的高。
11.双曲线的渐近线方程为______;离心率为______.
【答案】,;
【解析】由双曲线的标准方程可知,,所以,。
所以双曲线的渐近线方程为
,离心率。
12.若函数是奇函数,则______.
【答案】
【解析】因为函数为奇函数,所以
,即。
13.已知函数,其中.当时,的值域是______;若的值域是,则的取值范围是______.
【答案】,
【解析】若,则,此时,即的值域是。
若,则,因为当或时,,所以要使的值域是,则有,,即的取值范围是。
14.设函数,集合
,且.在直角坐标系中,集合所表示的区域的面积为______.
【答案】
【解析】因为
,所以由得
,即,它表示以为圆心,半径为的圆面。
由得,即,整理得,即或,显然的交点为,且两直线垂直,所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积,所以集合所表示的区域的面积为,如图:
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△中,内角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求△的面积.
16.(本小题满分13分)
为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:
千克)全部介于至之间.将数据分成以下组:
第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生做初检.
(Ⅰ)求每组抽取的学生人数;
(Ⅱ)若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检,求这2名学生不在同一组的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,直三棱柱中,,,,分别
为,的中点.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)求证:
//平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?
说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)若是的一个极值点,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间.
19.(本小题满分14分)
如图,,是椭圆的两个顶点.,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线平行于,与轴分别交于点,与椭圆相交于.证明:
△的面积等于△的面积.
20.(本小题满分13分)
如图,设是由个实数组成的行列的数表,其中表示位于第行第列的实数,且.记为所有这样的数表构成的集合.
对于,记为的第行各数之积,为的第列各数之积.令
.
(Ⅰ)对如下数表,求的值;
(Ⅱ)证明:
存在,使得,其中;
(Ⅲ)给定为奇数,对于所有的,证明:
.
北京市西城区xx—xx第一学期期末
高三数学(文科)参考答案及评分标准
xx.1
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B;2.A;3.C;4.B;5.C;6.D;7.A;8.B.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.;10.;11.,;
12.;13.,;14..
注:
11、13题第一空2分,第二空3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由已知得,………………2分
即
.
解得,或.………………4分
因为,故舍去.………………5分
所以.………………6分
(Ⅱ)解:
由余弦定理得.………………8分
将,代入上式,整理得.
因为,
所以.………………11分
所以△的面积.………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由频率分布直方图知,第,,组的学生人数之比为.…………2分
所以,每组抽取的人数分别为:
第组:
;第组:
;第组:
.
所以从,,组应依次抽取名学生,名学生,名学生.………………5分
(Ⅱ)解:
记第组的位同学为,,;第组的位同学为,;第组的位同学为.………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为:
,共种可能.………………10分
其中,
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求.………………12分
故所求概率为.………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
连接.
因为是直三棱柱,
所以平面,………………1分
所以.………………2分
因为,所以平面.………………3分
因为,
,
所以.………………4分
(Ⅱ)证明:
取中点,连接,.………………5分
在△中,因为为中点,所以,.
在矩形中,因为为中点,所以,.
所以,.
所以四边形为平行四边形,所以.………………7分
因为平面,平面,………………8分
所以//平面.………………9分
(Ⅲ)解:
线段上存在点,且为中点时,有平面.………11分
证明如下:
连接.
在正方形中易证.
又平面,所以,从而平面.…………12分
所以.………………13分
同理可得,所以平面.
故线段上存在点,使得平面.………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
.………………2分
依题意,令,得.………………4分
经检验,时符合题意.………………5分(Ⅱ)解:
①当时,.
故的单调减区间为,;无单调增区间.………………6分
②当时,.
令,得,.………………8分
和的情况如下:
↘
↗
↘
故的单调减区间为,;单调增区间为.
………………11分
③当时,的定义域为.
因为在上恒成立,
故的单调减区间为,,;无单调增区间.
………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
依题意,得
………………2分
解得,.………………3分
所以椭圆的方程为.………………4分
(Ⅱ)证明:
由于//,设直线的方程为,将其代入,消去,
整理得
.………………6分
设,.
所以
………………8分
证法一:
记△的面积是,△的面积是.
由,,
则
.………………10分
因为,
所以
,………………13分
从而.………………14分
证法二:
记△的面积是,△的面积是.
则线段的中点重合.………………10分
因为,
所以,
.
故线段的中点为.
因为,,
所以线段的中点坐标亦为.………………13分
从而.………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
,;
,,
所以
.………………3分
(Ⅱ)证明:
(ⅰ)对数表:
,显然.
将数表中的由变为,得到数表,显然.
将数表中的由变为,得到数表,显然.
依此类推,将数表中的由变为,得到数表.
即数表满足:
,其余.
所以
,
.
所以
,其中.……………7分
【注:
数表不唯一】
(Ⅲ)证明:
用反证法.
假设存在,其中为奇数,使得.
因为,,
所以,,,,,,,这个数中有个,个.
令
.
一方面,由于这个数中有个,个,从而.①
另一方面,表示数表中所有元素之积(记这个实数之积为);也表示,从而.②
①、②相互矛盾,从而不存在,使得.
即为奇数时,必有.………………13分