高三上学期期末考试数学理试题.docx
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高三上学期期末考试数学理试题
2019年高三上学期期末考试数学理试题
一、选择题：
共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，，则实数a的值为
（A）2或－8（B）－2或－8（C）－2或8（D）2或8
【答案】D
【解析】因为，所以，即或，即或2，选D.
2．“”是“”的
（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件
（C）充分且必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，。
若因为同号，所以若，则，所以是成立的充要条件，选C.
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.
4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
（A）（B）（C）1（D）2
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，
所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以
，选A.
5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
【解析】由图象可知，所以函数的周期，又，所以。
所以，又
，所以，即，所以，所以，选B.
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）
（A）4（B）5（C）7（D）9
【答案】C
【解析】第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时不满足条件，。
第六次循环，，此时满足条件，输出，选C.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1,0），B（0,1），点C在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是（）
（A），1（B）1，（C）-1，（D），1
【答案】D
【解析】因为，所以。
。
则
。
，即。
，即，所以，选D.
8．已知函数f（x）=,且，集合A={m|f（m）<0}，则
（A）都有（B）都有
（C）使得f（m0+3）=0（D）使得f（m0+3）<0
【答案】A
【解析】由可知，且。
即是方程的一个根，当时，。
由，得，设方程的另外一个根为，则，即，由可得，所以，由抛物线的图象可知，，选A.
二、填空题：
共6小题，每小题5分，共30分．
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是______．
【答案】20
【解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。
10．已知直线与平面区域C:
的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】不等式对应的区域为
，因为直线的斜率为1，由图象可知，要使，则，即的取值范围是。
11．是分别经过A（1,1），B（0,-1）两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是．
【答案】
【解析】解：
当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．
因为A（-1，1）、B（2，-4），所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即。
12．圆与双曲线的渐近线相切，则的值是_______.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。
13．已知中，AB=，BC=1，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由得，所以。
根据正弦定理可得，即
，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。
14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于，.
【答案】
【解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。
由题意知，，所以第行的公比为，所以
三、解答题：
共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本题共13分）
函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
16．（本题共13分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ）若∣AB∣=,求的值.
17．（本题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.
（Ⅰ）求证：
DE‖平面PBC;
（Ⅱ）求证：
ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.
18．（本题共14分）
已知函数
的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为，求f（x）在区间上的最大值.
19．（本题共13分）
曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
20．（本题共13分）
已知曲线，
是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．
丰台区xx～xx第一学期期末练习
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
A
B
C
D
A
二、填空题：
9．20；10.[-2,2]；11.x+2y-3=0；12．（只写一个答案给3分）；
13．；14．（第一个空2分，第二个空3分）
三．解答题
15．（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
解：
（Ⅰ）A=
==，..………………………..……3分
B=
．………………………..…..7分
（Ⅱ）∵，∴，..…………………………………………….9分
∴或，…………………………………………………………...11分
∴或，即的取值范围是．…………………….13分
16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ）若∣AB∣=,求的值.
解：
（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
，．………………………………………………………2分
∵的终边在第一象限，∴．……………………………………………3分
∵的终边在第二象限，∴．………………………………………4分
∴==+=．……………7分
（Ⅱ）方法
（1）∵∣AB∣=||=||,……………………………………9分
又∵
，…………………11分
∴，
∴．…………………………………………………………………13分
方法
（2）∵
，…………………10分
∴=
．…………………………………13分
17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（Ⅰ）求证：
DE//平面PBC;
（Ⅱ）求证：
ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．
解：
（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，
∴DE//BC．
DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴DE//平面PBC．…………………………4分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PDAB．…………………………….5分
，BCAB，
DEAB．...........................................................................................................6分
又，
AB平面PDE．......................................................................................................8分
PE⊂平面PDE，
ABPE．..........................................................................................................9分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，
PD平面ABC．................................................................................................10分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B（1,0,0），P（0,0,），E（0,,0）,
=（1,0,），=（0,,）．
设平面PBE的法向量，
令
得．............................11分
DE平面PAB，
平面PAB的法向量为．………………….......................................12分
设二面角的大小为，
由图知，
，
所以即二面角的大小为．..........................................14分
18．（本题共14分）已知函数
的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为，求在区间上的最大值.
解：
（Ⅰ）
．.......2分
令
，
因为，所以的零点就是
的零点，且与符号相同.
又因为，所以时，g（x）>0,即，………………………4分
当时,g（x）<0,即，…………………………………………6分
所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有
解得，…………………………………………………………11分
所以.
的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），
为函数的极大值,…………………………………………………12分
在区间上的最大值取和中的最大者.…………….13分
而>5，所以函数f（x）在区间上的最大值是．.…14分
19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
解：
（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分
C1,C2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分
C2的方程为．
当m=时，A,C．.………………………………………….5分
又,所以，，解得a=2或a=（舍），………….…………..6分
C1,C2的方程分别为，．………………………………….7分
（Ⅱ）A（-,m）,B（-,m）．…………………………………………9分
OB∥AN,,
．…………………………………….11分
，∴，．………………………………………12分
，∴，∴．........................................................13分
20.（本题共13分）已知曲线，
是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求，的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由．
解：
（Ⅰ）∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
直线B0A1的方程为y=x．
由
得，即点A1的坐标为（2，2），进而得．…..3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，即．（*）…………………………..5分
和均在曲线上，，
，代入（*）式得，
，………………………………………………………..7分
数列是以为首项，2为公差的等差数列，
其通项公式为（）．……………………………………………....8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
，……………………………………………………9分
，．
=
=．….……………..…………10分
．……………………….11分
（方法一）-=
．
当n=1时不符合题意，
当n=2时，符合题意，
猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（）
观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n
以下用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；
（2）假设n=k（k≥2）时，（k+1）<2k,
当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n，即<成立．
综上，满足题意的n的最小值为2.……………………………………………..13分
（方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．
，
并且，
当时，.
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