高三上学期期末考试数学文科试题.docx

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高三上学期期末考试数学文科试题

2019年高三上学期期末考试数学文科试题

高三数学（文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合，，，则等于

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】因为，所以，选B.

（2）复数等于

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】，选D.

（3）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】因为，，所以

，解得，所使用，解得，选C.

（4）执行如图所示的程序框图，输出的的值为

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.

（5）“成立”是“成立”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由得或。

所以“成立”是“成立”的必要不充分条件，选B.

（6）已知，满足不等式组

则目标函数的最大值为

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】做出可行域，由得，平移直线

，由图象可知当直线经过点D时，直线的的截距最大，此时最大，由题意知，代入直线得，所以最大值为12，选B.

（7）已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为

（A）32（B）16（C）8（D）4

【答案】A

【解析】由题意知，所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设,

过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以

即,所以，整理得，即，所以，所以

选A.

（8）给出下列命题：

①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。

②由，可得，即，所以，所以②正确。

③正确。

④得，令，在同一坐标系下做出两个函数的图象，如图

，由图象可知。

函数有两个交点，所以④正确。

所以正确命题的个数为3个。

选C.

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若向量，满足，，且，的夹角为，则，．

【答案】

【解析】

，

，所以。

（10）若，且,则　．

【答案】

【解析】因为，所以为第三象限，所以，即

。

（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

【答案】

【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。

棱柱的高为4，

，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。

（12）已知圆：

，则圆心的坐标为；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则．

【答案】

【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.要使直线与圆相切，且切点在第四象限，所以有。

圆心到直线的距离为，即，所以。

（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：

第一次提价,第二次提价；方案乙：

每次都提价，若，则提价多的方案是.

【答案】乙

【解析】设原价为1，则提价后的价格:

方案甲：

乙：

，因为

，因为，所以

，即

，所以提价多的方案是乙。

（14）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:

①，②若，；③

则；.

【答案】

【解析】根据定义得

。

，

，

，所以根据归纳推理可知。

三、解答题：

本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数

．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

已知为等比数列，其前项和为，且.

（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

（17）（本小题共13分）

如图，在菱形中，⊥平面，且四边形是平行四边形．

（Ⅰ）求证：

⊥；

（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.

（18）（本小题共13分）

已知函数

，.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.

（19）（本小题共14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.

（20）（本小题共14分）

已知实数组成的数组满足条件：

①；②.

（Ⅰ）当时，求，的值；

（Ⅱ）当时，求证：

；

（Ⅲ）设,且，

求证：

.

东城区xx第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B

（2）D（3）C（4）A

（5）B（6）B（7）A（8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）（11）

（12）（13）乙（14）

注：

两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）

.…………………………………………………4分

所以．……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）因为，

所以．

所以．………………………………………………………10分

当时，函数的最小值是，

当时，函数的最大值是．…………………………………………13分

（16）（共13分）

解：

（Ⅰ）当时，.……………………………………1分

当时，.……………………………………………3分

因为是等比数列，

所以，即..…………………………………5分

所以数列的通项公式为.…………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.

则

.①

.②

①-②得

……………………9分

……………………………………11分

.…………………………………………………12分

所以.……………………………………………………………13分

（17）（共13分）

解：

（Ⅰ）连结，则.

由已知平面，

因为，

所以平面.

又因为平面，

所以.………………………………………………6分

（Ⅱ）当为的中点时，有平面.……7分

与交于，连结.

由已知可得四边形是平行四边形，

是的中点，

因为是的中点，

所以.……………………10分

又平面，

平面，

所以平面.……………………13分

（18）（共13分）

解：

（Ⅰ）当时，，

又，所以.

又，

所以所求切线方程为，即.

所以曲线在点处的切线方程为.………6分

（Ⅱ）因为，

令，得或.………………………8分

当时，恒成立，不符合题意.……………………………9分

当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，

则解得.……………………………………………11分

当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，

则，解得.

综上所述，实数的取值范围是或.…………………………13分

（19）（共14分）

解：

（Ⅰ）设椭圆的方程为.

由已知可得

………………………………………………3分

解得，.

故椭圆的方程为．………………………………………………………6分

（Ⅱ）由已知，若直线的斜率不存在，则过点的直线的方程为，

此时

，显然不成立．…………………………7分

若直线的斜率存在，则设直线的方程为．

则

整理得

．………………………………………………9分

由

．

设．

故，①．②………………………………10分

因为，即．③

①②③联立解得．………………………………13分

所以直线的方程为和．……………14分

（20）（共14分）

（Ⅰ）解：

由

（1）得，再由

（2）知，且.

当时，.得，所以

……………………………2分

当时，同理得

………………………………………………4分

（Ⅱ）证明：

当时，

由已知,.

所以

.………………………………………………9分

（Ⅲ）证明：

因为，且.

所以,

即.……………………………11分

）

.……………………………………………………………14分

2019年高三上学期期末考试数学文试题

一、选择题：

共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，{5，7}，则实数a的值为

（A）1（B）3（C）5（D）7

【答案】B

【解析】因为，所以，选B.

2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是

（A）（B）（C）4（D）8

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，

所以

，选A.

3．“”是“”的

（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件

（C）充分且必要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，。

若因为同号，所以若，则，所以是成立的充要条件，选C.

4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.

5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是

（A）（B）

（C）（D）

【答案】B

【解析】由图象可知，所以函数的周期，又，所以。

所以，又

，所以，即，所以，所以，选B.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.

（A）3（B）6（C）7（D）10

【答案】D

【解析】第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时满足条件，输出，选D.

7．在平面直角坐标系xOy中，已知A（）,B（0,1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是

（A），1（B）1，（C），1（D）1，

【答案】A

【解析】因为，所以。

。

则

。

，即。

，即，所以，选A.

8．已知函数,且，则

（A）都有f（x）>0（B）都有f（x）<0

（C）使得f（x0）=0（D）使得f（x0）>0

【答案】B

【解析】由可知，抛物线开口向上。

因为，，即是方程的一个根，所以都有，选B.

二、填空题：

共6小题，每小题5分，共30分．

9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是______．

【答案】20

【解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。

10．不等式组

表示的平面区域的面积是___________.

【答案】

【解析】

不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积

。

11．设

.

【答案】3

【解析】

，所以。

12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是．

【答案】

【解析】因为圆与直线y=x相切于第三象限，所以。

则有圆心到直线的距离，即，所以

13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.

【答案】2

【解析】由，所以。

根据正弦定理可得，即

，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。

14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于，．

【答案】

【解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。

由题意知，，所以第行的公比为，所以

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．

（Ⅰ）求集合A，B；

（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．

16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．

（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；

（Ⅱ）若∣AB∣=,求的值.

17．（本题共13分）

如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.

（Ⅰ）求证：

MN平面BCC1B1;

（Ⅱ）求证：

平面A1BC平面A1ABB1．

18．（本题共14分）

已知函数

的导函数的两个零点为-3和0.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.

19．（本题共13分）

曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．

（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求m的值．

20．（本题共14分）

已知曲线，

是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.

（Ⅰ）求、的坐标；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.

丰台区xx～xx第一学期期末练习

高三数学（文科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

C

C

B

D

A

B

二、填空题：

9．20；10.；11.3；12．-（写给3分）；

13．2；14．（第一个空2分,第二个空3分）

三．解答题

15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.

（Ⅰ）求集合A，B；

（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.

解：

（Ⅰ）A=,

==，….…………………..……4分

B...……………………………………………….…...7分

（Ⅱ）∵，∴．..….……………………………………………9分

∴或，

∴实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分

16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点．

（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；

（Ⅱ）若∣AB∣=,求的值.

解：

（Ⅰ）根据三角函数的定义得，

，，……………………………………………………2分

∵的终边在第一象限，∴．……………………………………3分

∵的终边在第二象限，∴．………………………………4分

∴==+=．………7分

（Ⅱ）方法

（1）∵∣AB∣=||=||，……………………………9分

又∵

，…………11分

∴．

∴．……………………………………………………………13分

方法

（2）∵

，………………10分

∴=

．…………………………………13分

17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.

（Ⅰ）求证：

MN平面BCC1B1;

（Ⅱ）求证：

平面A1BC平面A1ABB1.

解：

（Ⅰ）连结BC1

∵点M,N分别为A1C1与A1B的中点，

∴∥BC1．........................................................4分

∵

，

∴MN∥平面BCC1B1．........................................6分

（Ⅱ）∵，

平面，

∴．......................................................................................................9分

又∵ABBC，

，

∴．.......................................................................................12分

∵，

∴平面A1BC平面A1ABB1．...............................................................................13分

18．（本题共14分）已知函数

的导函数的两个零点为-3和0.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.

解：

（Ⅰ）

．…2分

令

，

∵，

∴的零点就是

的零点，且与符号相同．

又∵，

∴当时，>0,即，

当时，<0,即，………………………………………6分

∴的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=0是的极小值点，所以有

解得．………………………………………………………11分

所以函数的解析式为．

又由（Ⅰ）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）.

所以，函数的极大值为

．……………….…14分

19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．

（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求m的值．

解：

设C1的方程为,C2的方程为（）．…..2分

∵C1,C2的离心率相同，

∴,∴，………………………………..……………………3分

∴C2的方程为．

当m=时，A,C．………………………………….……5分

又∵,

∴，解得a=2或a=（舍），……………………………...………..6分

∴C1,C2的方程分别为，．…………………………..7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-,m）,C（,m）．……………….……………9分

∵OC⊥AN，

（）．……………………………............................................…10分

∵=（,m），=（,-1-m），

代入（）并整理得2m2+m-1=0，………………………………………………12分

∴m=或m=-1（舍负），

∴m=．……………………………………………………………………13分

20．（本题共14分）已知曲线，

是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.

（Ⅰ）求、的坐标；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.

解：

（Ⅰ）∵∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，

∴直线B0A1的方程为y=x．

由

得，，得A1（2，2），．….…….…….…......3分

（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，，即．（*）…….………………………..5分

∵和均在曲线上，

∴，

∴，代入（*）式得，

∴（）．……………………………………………..…..….…..7分

∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，

故其通项公式为（）．…………....…………………………...……..8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，….……………………………………………9分

∴，……………………..……………………………….…10分

∴，，

∴

=

=，…………….……..11分

．…………………….……12分

欲使，只需<，

只需，………………………………………………….…………13分

，

∴不存在正整数N，使n≥N时，成立．…………………….14分