全国高考理科数学试题分类汇编4函数.docx
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全国高考理科数学试题分类汇编4函数
2014年全国高考理科数学试题分类汇编4函数
1.函数及其表示
6.[2014·安徽卷]设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=( )
A.B.
C.0D.-
6.A [解析]由已知可得,f=f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin+sin=2sin+sin=sin=.
2.、[2014·北京卷]下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=B.y=(x-1)2
C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)
2.A [解析]由基本初等函数的性质得,选项B中的函数在(0,1)上递减,选项C,D中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B,C,D,选A.
7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是增函数
C.f(x)是周期函数
D.f(x)的值域为[-1,+∞)
7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f
(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f
(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;
当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;
当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];
∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).
2.[2014·江西卷]函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )
A.(0,1]B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)
2.C [解析]由x2-x>0,得x>1或x<0.
3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )
A.B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)
3.C [解析]根据题意得,解得故选C.
2反函数
12.[2014·全国卷]函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是( )
A.y=g(x)B.y=g(-x)
C.y=-g(x)D.y=-g(-x)
12.D [解析]设(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,其关于直线x+y=0的对称点为(-y0,-x0).根据题意,点(-y0,-x0)在函数y=g(x)的图像上,又点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0),且(y0,x0)与(-y0,-x0)关于原点对称,所以函数y=f(x)的反函数的图像与函数y=g(x)的图像关于原点对称,所以-y=g(-x),即y=-g(-x).
3函数的单调性与最值
21.、[2014·广东卷]设函数f(x)=,其中k<-2.
(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);
(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;
(3)若k<-6,求D上满足条件f(x)>f
(1)的x的集合(用区间表示).
12.[2014·四川卷]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________.
12.1 [解析]由题意可知,f=f=f=-4+2=1.
15.,[2014·四川卷]以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:
对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)
15.①③④ [解析]若f(x)∈A,则f(x)的值域为R,于是,对任意的b∈R,一定存在a∈D,使得f(a)=b,故①正确.
取函数f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在M=1,使得f(x)的值域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.
当f(x)∈A时,由①可知,对任意的b∈R,存在a∈D,使得f(a)=b,所以,当g(x)∈B时,对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那么对于该区间外的某一个b0∈R,一定存在一个a0∈D,使得f(a0)=b-g(a0),即f(a0)+g(a0)=b0∉[-M,M],故③正确.
对于f(x)=aln(x+2)+(x>-2),当a>0或a<0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,只有a=0,此时f(x)=(x>-2).
易知f(x)∈,所以存在正数M=,使得f(x)∈[-M,M],故④正确.
21.,[2014·四川卷]已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f
(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
21.解:
(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b.
所以g′(x)=ex-2a.
当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
当a≤时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当a≥时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g
(1)=e-2a-b;
当于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0得a+b=e-1<2,则g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得e-2当e-2若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.又g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).4函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.33.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0得a+b=e-1<2,则g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得e-2当e-2若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.又g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).4函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.33.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g
(1)=e-2a-b.
(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,
则由f(0)=f(x0)=0可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.
故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.
由
(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;
当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.
所以此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0得a+b=e-1<2,则g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得e-2当e-2若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.又g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).4函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.33.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.
因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有
g(0)=1-b>0,g
(1)=e-2a-b>0.
由f
(1)=0得a+b=e-1<2,
则g(0)=a-e+2>0,g
(1)=1-a>0,
解得e-2当e-2若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.又g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).4函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.33.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
当e-2若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.又g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).4函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.33.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),
从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f
(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))<0.
又g(0)=a-e+2>0,g
(1)=1-a>0.
故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.
所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).4函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷]已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析]由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x>0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cosx,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.33.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
(1)=0,
故f(x)在(x1,x2)内有零点.
综上可知,a的取值范围是(e-2,1).
4函数的奇偶性与周期性
3.[2014·湖南卷]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f
(1)+g
(1)=( )
A.-3B.-1C.1D.3
3.C [解析]因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f
(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
3.C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.
15.[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f
(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.
15.(-1,3) [解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-25二次函数16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].6指数与指数函数4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-13.A [解析]g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.7对数与对数函数5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y35.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷]函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)3.C [解析]根据题意得,解得故选C.4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,c=log,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
5二次函数
16.、[2014·全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.
16.(-∞,2] [解析]f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,所以t∈,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈.因为f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,所以a∈(-∞,2].
6指数与指数函数
4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )
图11
A B
C D
图12
4.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.
选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.
3.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g
(1)]=1,则a=( )
A.1B.2C.3D.-1
3.A [解析]g
(1)=a-1,由f[g
(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.
3.、[2014·辽宁卷]已知a=2-,b=log2,
c=log,则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.c>b>a
3.C [解析]因为0log=1,所以c>a>b.
2.,[2014·山东卷]设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( )
A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)
2.C [解析]根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.
5.,,[2014·山东卷]已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>sinyD.x3>y3
5.D [解析]因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sinx>siny,ln(x2+1)>ln(y2+1),>都不一定正确,故选D.
7.[2014·陕西卷]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=xB.f(x)=x3
C.f(x)=D.f(x)=3x
7.B [解析]由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=为单调递减函数,所以排除选项D.
11.[2014·陕西卷]已知4a=2,lgx=a,则x=________.
11. [解析]由4a=2,得a=,代入lgx=a,得lgx=,那么x=10=.
7对数与对数函数
13.、[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
13.50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=
ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.
4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.
7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( )
7.D [解析]只有选项D符合,此时012.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.8幂函数与函数的图像4.、、[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图11所示,则下列函数图像正确的是( )图11 A B C D图124.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
12.[2014·重庆卷]函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.
12.- [解析]f(x)=log2·log(2x)=log2x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=-,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.
8幂函数与函数的图像
10.[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
C.D.
10.B [解析]因为当x≥0时,f(x)=,所以当0≤x≤a2时,f(x)==-x;
当a2f(x)==-a2;当x≥2a2时,f(x)==x-3a2.综上,f(x)=因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.7.、[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是( ) A B C D图12图127.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
f(x)==-a2;
当x≥2a2时,
f(x)==x-3a2.
综上,f(x)=
因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,
观察图象可知,要使∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-≤a≤.故选B.
8.[2014·山东卷]已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)
8.B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数f(x),g(x)有两个交点,则k>,且k<1.故选B.
7.D [解析]只有选项D符合,此时09函数与方程10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )A.(-∞,)B.(-∞,)C.D.10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
9函数与方程
10.、[2014·湖南卷]已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,)B.(-∞,)
10.B [解析]依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有m2+e-m-=m2+ln(m+a),解得m+a=ee-m-,即a=ee-m--m(m>0),可得a∈(-∞,).
14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.
14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09.
6.[2014·浙江卷]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
A.c≤3B.3C.696.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
C.69
6.C [解析]由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⇒
⇒则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
∴610函数模型及其应用8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-18.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图12A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
10函数模型及其应用
8.[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
C.D.-1
8.D [解析]设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1.
10.[2014·陕西卷]如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=x3-xB.y=x3-x
C.y=x3-xD.y=-x3+x
10.A [解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′=3ax2+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解析式为y=x3-x.
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