人教版九年级数学第24章 圆全章测试A.docx
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人教版九年级数学第24章圆全章测试A
《第24章圆》2011年单元测试卷A（西城区）
《第24章圆》2011年单元测试卷A（西城区）
一、选择题
1．（3分）已知：
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB=65°，则∠APB等于 _________ ．
A．
65°
B．
50°
C．
45°
D．
40°
2．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC=α，则（ ）
A．
∠A=90°﹣αa
B．
∠A=αa
C．
∠ABD=αa
D．
∠ABD=90°﹣
α
3．（3分）如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
6
4．（3分）下面图形中，一定有内切圆的是（ ）
A．
矩形
B．
等腰梯形
C．
菱形
D．
平行四边形
5．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．
1：
2：
B．
2：
3：
4
C．
1：
：
2
D．
1：
2：
3
二、解答题
6．已知：
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切DC边于E点，AD=3cm，BC=5cm．求⊙O的面积．
7．已知：
如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且
=
，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论．
8．已知：
如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，求∠P的度数．
9．（2008•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：
AB=AC；
（2）求证：
DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=
，求证：
△DCE≌△OCB．
11．（2008•孝感）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：
AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=
，求⊙O的半径．
《第24章圆》2011年单元测试卷A（西城区）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）已知：
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB=65°，则∠APB等于 1 ．
A．
65°
B．
50°
C．
45°
D．
40°
考点：
切线的性质；圆周角定理．3960859
分析：
连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
解答：
解：
连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠ACB=130°，
∴∠APB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣130°=50°．
故选B．
点评：
本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．
2．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC=α，则（ ）
A．
∠A=90°﹣αa
B．
∠A=αa
C．
∠ABD=αa
D．
∠ABD=90°﹣
α
考点：
切线的性质；圆周角定理．3960859
分析：
由直线EC是⊙O的切线，根据切线的性质可得：
AB⊥EC，继而求得∠ABD=90°﹣α，又由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，即可求得∠D=90°，继而可得∠A=∠DBC=α．
解答：
解：
∵直线EC是⊙O的切线，
∴AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
即∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=90°﹣α，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC=α．
故选B．
点评：
此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（3分）如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
6
考点：
切线长定理．3960859
专题：
计算题．
分析：
根据切线长定理求出AD=AF，BE=BD，CE=CF，得出等边三角形ADF，推出DF=AE=AF，根据BC=6，求出BD+CF=6，求出AD+AF=4，即可求出答案．
解答：
解：
∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=
×4=2，
故选A．
点评：
本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
4．（3分）下面图形中，一定有内切圆的是（ ）
A．
矩形
B．
等腰梯形
C．
菱形
D．
平行四边形
考点：
三角形的内切圆与内心．3960859
分析：
根据内切圆的定义及各四边形的性质进行分析从而确定最后的答案．
解答：
解：
角平分线上的点到两边的距离相等，菱形的对角线同时也是菱形内角的平分线，所以菱形两对角线的交点到菱形各边的距离相等．以交点为圆心，距离为半径的圆就是菱形的内切圆．
故选C．
点评：
此题不但考查了内切圆的概念，同时也考查了菱形的性质．
5．（3分）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．
1：
2：
B．
2：
3：
4
C．
1：
：
2
D．
1：
2：
3
考点：
正多边形和圆．3960859
分析：
过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．
解答：
解：
图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD=OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC=60°，
则OD：
OC=1：
2，
因而OD：
OC：
AD=1：
2：
3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：
2：
3．故选D．
点评：
正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．
二、解答题
6．已知：
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切DC边于E点，AD=3cm，BC=5cm．求⊙O的面积．
考点：
切线的性质；直角梯形．3960859
专题：
计算题．
分析：
过D作DF垂直于BC，交BC于点F，由AD∥BC，∠ABC=90°，根据两直线平行同旁内角互补可得∠DAB=90°，再由DF与BC垂直得到∠DFB=90°，根据三个角为直角的四边形为矩形可得ABFD为矩形，可得出对边AD=FB，DF=AB，同时得到AD与BC分别为圆O的切线，又CD为圆O的切线，根据切线长定理得到AD=DE，CE=CB，由AD与BC的长，根据CD=DE+EC，等量代换可得出DC的长，再由BC﹣FB可得出CF的长，在直角三角形CDF中，由DC及CF的长，利用勾股定理求出DF的长，可得出AB的长，进而确定出圆O的半径，利用圆的面积公式即可求出圆O的面积．
解答：
解：
过D作DF⊥BC，交BC于点F，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠ABC=90°，又AB为圆O的直径，
∴AD与圆O相切，BC与圆O相切，又DC与圆O相切，
∴AD=ED，CB=CE，
∵AD=3cm，BC=5cm，
∴CD=DE+EC=AD+BC=3+5=8cm，
又∠DAB=∠BFD=∠ABC=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴FB=AD=3cm，AB=DF，
∴CF=BC﹣FB=5﹣3=2cm，
在Rt△CDF中，DC=8cm，CF=2cm，
根据勾股定理得：
DF=
=2
，
∴圆O的直径AB=DF=2
，即半径r=
，
则圆O的面积S=πr2=15π．
点评：
此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的性质与判定，切线长定理，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
7．已知：
如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且
=
，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论．
考点：
切线的判定；圆周角定理．3960859
分析：
（1）利用平行线判定定理得出CO∥AE，进而得出CO⊥DE，利用切线的判定定理得出即可．
（2）利用圆周角定理得出∠OCB+∠2=90°，进而得出利用∠1=∠2，得出∠1=∠BCD即可得出答案．
解答：
（1）DE与⊙O的位置关系是：
DE是⊙O的切线；
证明：
如图所示，连接CO，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2，
∵
=
，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CO∥AE，
∵DE⊥AF，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∠BCD与∠BAC的大小关系为：
∠BCD=∠BAC，
证明：
∵CO⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即∠OCB+∠2=90°，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
即∠BCD=∠BAC．
点评：
此题主要考查了切线的判定定理和圆周角定理、平行线判定定理等知识，根据已知得出∠1=∠3以及∠OCB+∠2=90°是解决问题的关键．
8．已知：
如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，求∠P的度数．
考点：
切线的性质．3960859
专题：
计算题．
分析：
由PA与PB都为圆的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，可得出∠OAP与∠OBP都为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO与∠BAC相等，由∠BAC的度数求出∠ABO的度数，进而利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：
∵PA，PB分别是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA=OB，∠BAC=35°
∴∠ABO=∠BAC=35°，
∴∠AOB=180°﹣35°﹣35°=110°，
在四边形APBO中，∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=110°，
则∠P=360°﹣（∠OAP+∠OBP+∠AOB）=70°．
点评：
此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9．（2008•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：
AB=AC；
（2）求证：
DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
考点：
切线的判定；圆周角定理．3960859
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；
（2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线；
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10，CD=
BC=5；又∠C=60°，借助三角函数的定义，可得答案．
解答：
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．（3分）
（2）证明：
连接OD，
∵点O、D分别是AB、BC的中点，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．（6分）
（3）解：
由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB=BC=10，CD=
BC=5．
∵∠C=60°，
∴DE=CD•sin60°=
．（9分）
点评：
本题考查切线的判定，线段相等的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=
，求证：
△DCE≌△OCB．
考点：
切线的判定与性质；全等三角形的判定；勾股定理；圆周角定理．3960859
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠ABC的度数，求出圆心角∠AOC的度数为60°，再由OA=OC，得到三角形OAC为等边三角形，可得出三内角为60°，再由OC与CD垂直，根据垂直的定义得到∠OCD为直角，利用平角的定义求出∠DCE为30°，又EF垂直于AB，得到∠AFE为直角，由∠A为60°，得出∠E为30°，可得出∠DCE=∠E，根据等角对等边可得出DC=DE，即三角形DCE为等腰三角形；
（2）由半径为1及OF的长，根据AO+OF求出AF的长，在直角三角形AEF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长得出AE的长，再由AE﹣AC求出CE的长，在直角三角形ABC中，由AB为直径，∠B为30°，根据锐角三角函数定义求出BC的长，发现BC=CE，再由三角形BOC与三角形DCE都为底角为30°的等腰三角形，得到两对底角相等，利用ASA可得出两三角形全等．
解答：
解：
（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
∵∠ABC=30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对
，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
则△DCE为等腰三角形；
（2）∵OA=OB=1，OF=
，
∴AF=AO+OF=1+
=
，OA=AC=OC=1，
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF=
+1，
∴CE=AE﹣AC=
+1﹣1=
，
又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴cos30°=
，即BC=ABcos30°=
，
∴CB=CE=
，
在△OBC和△DCE中，
∵
，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
点评：
此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．
11．（2008•孝感）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：
AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=
，求⊙O的半径．
考点：
切线的性质；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理．3960859
专题：
综合题．
分析：
（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．
（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．
解答：
（1）证明：
连接OT；
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO；
又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
∴∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC．
（2）解：
过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD=
=1；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=
，
∴在Rt△AOM中，
；
即⊙O的半径为2．
点评：
本题考查了圆的切线性质定理，等腰三角形的性质定理，等边对等角，垂径定理，勾股定理．此题是这几个定理的综合应用．
参与本试卷答题和审题的老师有：
sks；zhxl；算术；zhjh；yangwy；gbl210；ln_86；自由人；zjx111；蓝月梦；zcx（排名不分先后）
菁优网
2013年8月21日
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