高中数学平面向量综合检测题含答案北师大版.docx

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高中数学平面向量综合检测题含答案北师大版

高中数学平面向量综合检测题（含答案北师大版）

　　第二章　平面向量

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若向量a，b，c满足a∥b，且ac，则c（a＋2b）＝（）

A．4B．3

C．2D．0

【解析】　∵ac，ac＝0.又∵a∥b，可设b＝a，则c（a＋2b）＝c（1＋2）a＝0.

【答案】　D

2．已知向量a＝（1,0）与向量b＝（－1，3），则向量a与b的夹角是（）

A.B.

C.2D.56

【解析】　cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝－112＝－12.

〈a，b〉＝23.

【答案】　C

3．已知a＝（1,2），b＝（x,1），＝a＋b，＝a－b，且∥，则x的值为（）

A.12B．－12

C.16D．－16

【解析】　∵＝（1＋x,3），＝（1－x,1），∥.

（1＋x）1－3（1－x）＝0，x＝12.

【答案】　A

4．已知|a|＝2|b|，|b|0，且关于x的方程x2＋|a|x＋ab＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（）

A．[0，6]B．[]

C．[3，23]D．[]

【解析】　＝|a|2－4ab＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉0.

cos〈a，b〉12，〈a，b〉[0，]．

3〈a，b〉.

【答案】　B

5．已知|a|＝1，|b|＝6，a（b－a）＝2，则向量a与b的夹角是（）

A.B.

C.D.2

【解析】　∵a（b－a）＝ab－a2＝2，|a||b|cos－|a|2＝2，

16cos－1＝2，cos＝12，又0，＝3，故选C.

【答案】　C

6．已知OA＝（2,2），OB＝（4,1），在x轴上一点P使APBP有最小值，则P点的坐标是（）

A．（－3,0）B．（3,0）

C．（2,0）D．（4,0）

【解析】　设P（x,0），AP＝（x－2，－2），BP＝（x－4，－1），APBP＝（x－2）（x－4）＋2

＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，

当x＝3时，APBP取最小值，此时P（3,0）．

【答案】　B

7．若a，b是非零向量，且ab，|a||b|，则函数f（x）＝（xa＋b）（xb－a）是（）

A．一次函数且是奇函数

B．一次函数但不是奇函数

C．二次函数且是偶函数

D．二次函数但不是偶函数

【解析】　∵ab，ab＝0，

f（x）＝（xa＋b）（xb－a）＝x2（ab）＋（|b|2－|a|2）x－ab＝（|b|2－|a|2）x，又|a||b|，f（x）是一次函数且为奇函数，故选A.

【答案】　A

8．已知非零向量AB与AC满足（AB|AB|＋AC|AC|）BC＝0且AB|AB|AC|AC|＝12，则△ABC为（）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．三边均不相等的三角形

【解析】　AB|AB|和|AC||AC|分别是与AB，AC同向的两个单位向量．

AB|AB|＋AC|AC|是BAC角平分线上的一个向量，由（AB|AB|＋AC|AC|）BC＝0知该向量与边BC垂直，△ABC是等腰三角形．由ABAC|AB||AC|＝12知BAC＝60.△ABC是等边三角形．

【答案】　A

9．（2019湖北高考）已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1），D（3,4），则向量AB在CD方向上的投影为（）

A.322B.3152

C．－322D．－3152

【解析】　由已知得AB＝（2,1），CD＝（5,5），因此AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|＝1552＝322.

【答案】　A

10．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝（）

A．2B．4

C．5D．10

【解析】　∵PA＝CA－CP，

|PA|2＝CA2－2CPCA＋CP2.

∵PB＝CB－CP，|PB|2＝CB2－2CPCB＋CP2.

|PA|2＋|PB|2＝（CA2＋CB2）－2CP（CA＋CB）＋2CP2＝AB2－2CP2CD＋2CP2.

又AB2＝16CP2，CD＝2CP，代入上式整理得|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故所求值为10.

【答案】　D

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）

11．已知向量a＝（2,1），ab＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于________．

【解析】　∵|a＋b|＝52，（a＋b）2＝50，即a2＋b2＋2ab＝50，

又|a|＝5，ab＝10，

5＋|b|2＋210＝50.

解得|b|＝5.

【答案】　5

12．已知a＝（3,1），b＝（sin，cos），且a∥b.则4sin－2cos5cos＋3sin＝________.

【解析】　∵a∥b，3cos＝sin，

tan＝3.

4sin－2cos5cos＋3sin＝4tan－25＋3tan＝43－25＋33＝57.

【答案】　57

13．（2019课标全国卷Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝________.

【解析】　如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（2,0），D（0,2），E（1,2），

AE＝（1,2），BD＝（－2,2），

AEBD＝1（－2）＋22＝2.

【答案】　2

14．已知e1，e2是夹角为23的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若ab＝0，则实数k的值为________．

【解析】　由题意ab＝0，即有（e1－2e2）（ke1＋e2）＝0

ke21＋（1－2k）e1e2－2e22＝0.

又∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝23，

k－2＋（1－2k）cos23＝0，

k－2＝1－2k2，k＝54.

【答案】　54

15．（2019安徽高考）设向量a＝（1,2m），b＝（m＋1,1），c＝（2，m）．若（a＋c）b，则|a|＝________.

【解析】　a＋c＝（1,2m）＋（2，m）＝（3,3m）．

∵（a＋c）b，

（a＋c）b＝（3,3m）（m＋1,1）＝6m＋3＝0，

∵m＝－12，

a＝（1，－1），|a|＝12＋－12＝2.

【答案】　2

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）（2019江苏高考）已知a＝（cos，sin），b＝（cos，sin），0＜＜＜.

（1）若|a－b|＝2，求证：

ab；

（2）设c＝（0,1），若a＋b＝c，求，的值．

【解】　

（1）证明　由题意得|a－b|2＝2，

即（a－b）2＝a2－2ab＋b2＝2.

又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，

所以2－2ab＝2，即ab＝0，故ab.

（2）因为a＋b＝（cos＋cos，sin＋sin）＝（0,1），

所以cos＋cos＝0，sin＋sin＝1，

由此得，cos＝cos（－），由0＜＜，得0＜－＜.

又0＜＜，故＝－.代入sin＋sin＝1，得sin＝sin＝12，而＞，所以＝56，＝6.

17．（本小题满分12分）平面内三点A、B、C在一条直线上，OA＝（－2，m），OB＝（n,1），OC＝（5，－1），且OAOB，求实数m、n的值．

【解】　AC＝OC－OA＝（7，－1－m），

BC＝OC－OB＝（5－n，－2）．

∵A、B、C三点共线，AC∥BC，

－14＋（m＋1）（5－n）＝0.①

又OAOB.

－2n＋m＝0.②

由①②解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝32.

18．（本小题满分12分）已知a，b是两个非零向量，当a＋tb（tR）的模取最小值时．

（1）求t的值；

（2）求证：

b（a＋tb）．

【解】　

（1）（a＋tb）2＝|a|2＋|tb|2＋2atb，

|a＋tb|最小，即|a|2＋|tb|2＋2atb最小，

即t2|b|2＋|a|2＋2t|a||b|cos〈a，b〉最小．

故当t＝－|a|cos〈a，b〉|b|时，|a＋tb|最小．

（2）证明：

b（a＋tb）＝ab＋t|b|2＝|a||b|cos〈a，b〉－|a|cos〈a，b〉|b||b|2＝|a||b|cos〈a，b〉－|a||b|cos〈a，b〉＝0，故b（a＋tb）．

19．（本小题满分13分）△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC＝0.

（1）求数量积OAOB，OBOC，OCOA；

（2）求△ABC的面积．

【解】　

（1）∵3OA＋4OB＋5OC＝0，

3OA＋4OB＝0－5OC，

即（3OA＋4OB）2＝（0－5OC）2.

可得9OA2＋24OAOB＋16OB2＝25OC2.

又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，

OA2＝OB2＝OC2＝1，

OAOB＝0.

同理OBOC＝－45，

OCOA＝－35.

（2）S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝12|OA||OB|sinAOB＋12|OB||OC|sinBOC＋12|OC||OA|sinAOC.

又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.

S△ABC＝12（sinAOB＋sinBOC＋sinAOC）．

由

（1）OAOB＝|OA||OB|cosAOB＝cosAOB＝0得sinAOB＝1.

OBOC＝|OB||OC|cosBOC＝cosBOC＝－45，

sinBOC＝35，

同理sinAOC＝45.

S△ABC＝65.

20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1，－2），B（2,3），C（－2，－1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

（2）设实数t满足（AB－tOC）OC＝0，求t的值．

【解】　

（1）由题设知AB＝（3,5），AC＝（－1,1），则AB＋AC＝（2,6），AB－AC＝（4,4）．

所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42.

故所求的两条对角线长分别为42，210.

（2）由题设知OC＝（－2，－1），AB－tOC＝（3＋2t,5＋t）．

由（AB－tOC）OC＝0，得（3＋2t,5＋t）（－2，－1）＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.

图1

21．（本小题满分13分）如图1，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23.若OC＝OA＋（，R），求＋的值．

【解】　法一：

作CD∥OB交直线OA于点D，作CE∥OA交直线OB于点E，则OC＝OD＋OE，

由已知OCD＝COE＝120－30＝90，在Rt△OCD中，OD＝OCcos30＝4，

CD＝OCtan30＝2，

OE＝CD＝2.

又∵|OA|＝|OB|＝1，OD＝4OA，OE＝2OB，即OC＝OD＋OE＝4OA＋2OB，从而＋＝6，

法二：

由图可知BOC＝120－30＝90，即OBOC，

又∵OC＝OA＋

OC2＝OAOC＋OC①OCOA＝OA2＋OA②

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

232＝|OA||OC|cos30|OC||OA|cos30＝＋|OB||OA|cos120

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

解得＝4＝2，＋＝6.

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。