山西省高考理科数学试题.docx
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山西省高考理科数学试题
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一•选择题：
共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合
2
A={x|x2x3
0},B={x|—2A.[-2,-1]
B.[-1,2）
C.[-1,1]D.[1,2）
2.（1i）3=
（1i）2
A.1i
B.1iC.1
iD.1i
3.设函数f（x）,g（x）的定义域都为R,且f（x）时奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是
A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数
A.3B.3C.3mD.3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的
概率
6.如图，圆O的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线，垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在［0,］上的图像大致为
7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=
xy1
9.不等式组y的解集记为D.有下面四个命题:
x2y4
Pl:
（x,y）D,x2y2,P2:
（x,y）D,x2y2,
P3:
（x,y）D,x2y3,P4:
（x,y）
D,x2y1.
其中真命题是
A.P2,P3B.P1,P4
C.P1,
P2D.P1,F3
10.已知抛物线C:
y28x的焦点为F，准线为I,P是I上一点，Q是直线PF与C的一个焦点,
uuuuur
若FP4FQ，则|QF|=
75
A7B.-C.3D.2
22
11.已知函数f（x）=ax33x21,
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
A.62B.42C.6D.4
本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
•填空题：
本大题共四小题，每小题5分。
13・（xy）（xy）8的展开式中x2y2的系数为•（用数字填写答案）
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一个城市•
由此可判断乙去过的城市为
ULUT1uuuuuuruuuUULT
15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO—（ABAC），则AB与AC的夹角为•
2
16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且
（2b）（sinAsinB）（cb）sinC，贝UABC面积的最大值为
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，务0，务务1Sn1，其中为
常数.
（I）证明：
an2an；
（n）是否存在，使得｛an｝为等差数列？
并说明理由.
18.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量
结果得如下频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
附：
150-12.2.
）=0.6826,P（2Z2）=0.9544.
若Z〜N（,2），则P（Z
19.（本小题满分12分）如图三棱锥ABC
（I）证明：
ACAB1；
（n）若ACAB1,CBB160o,AB=Bc
求二面角AA1B1C1的余弦值.
20.
B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.
（本小题满分12分）已知点A（0,-2）,
椭圆E:
x2t2i（ab0）的离心率为一3,F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为二,O为ab23
坐标原点.
（I）求E的方程；
（n）设过点A的直线I与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求I的方程.
21.（本小题满分12分）设函数
bx1
f（x0aelnx，曲线yf（x）在点（1,f
（1）处的切线为
x
ye（x1）2.（I）求a,b;
（n）证明：
f（x）1.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：
只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.
（本小题满分10分）选修4—1:
几何证明选讲
如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE
.（I）证明：
/D=ZE;
（n）设AD不是OO的直径，AD的中点为M且MB=MC证明：
△ADE为等边三角形
23.
（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
（n）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值
24.（本小题满分10分）选修4—5:
不等式选讲
11
若a0,b0，且Ob.
ab
（i）求a3b3的最小值；
（n）是否存在a,b，使得2a3b6?
并说明理由
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案（B卷）
一选择题
5.D6.C
11.C12.B
1.A2.D3.C4.A
7.D8.C9.B10.B
二填空题
三解答题
17.解：
（I）由题设，—__=bSn-1,二一、_：
=bSn-1
两式相减的-=b.__
由于■，所以吟一a：
门
（二）由题设，由（I）知
解得b=4
故仏j-戾、八，由此可得
｛｝是首项为1，公差为4的等差数列，二：
.一「-.：
门一'
P.｝是首项为3，公差为4的等差数列，二..=4n-1
所以匕-
因此存在b=4，使得数列为等差数列
（18）解
（I）收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是
a=200
b=150
（二）由上诉可此，Z~N（200,165）,从而
P（187.8一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826
依题意可知X~B（100,0.6826）,所以EX=100；「
（19）解：
（I）连结BC1，交B1C于点O,连结AO因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为BQ
及BC1的中点。
又ABBQ，所以BQ平面ABO由于AO平面ABQ故BQAO
又BQCO，故AC=AB1，……6分
（II）因为ACAB1，且O为BQ的中点，所以AO=CO
又因为AB=BC所以BOABOC。
同理可取m=（1，-,3，、3）则cos
1
所以，所求角A-A2B2-C1的余弦值为-
7
（20）解：
（1）设F（C,0），由条件知，——_3,得c\3c3
又C3,所以a2,b2a2c21a2
2
故E的方程为—y1
4
故设l:
y=kx-2,P（x1,x2）
因为t+4>4.当且仅当t=2,即
t
k=—时等号成立，且满足>0.
2
所以，△OPQ勺面积最大时，I的方程为
.12
（22）解：
（I）由题设知A,B,C,D四点共圆，所以D=CBE由已知得CBE=E,故D=E••…5
分
（II）设BC的中点为N,连结MN则由MB=M知MNLBC,故0在直线MN上。
又AD不是e0的直径，M为AD的中点，故OMLAD,即MNLAD
所以AD//BC,故A=CBE
又CBE=E,故A=巳由（I）知，D=E,所以ADE为等边三角形。
（23）解：
（I）曲线C的参数方程为x2cos,（为参数）
y3sin,
直线I的普通方程为2x+y-6=0
（II）曲线C上任意一点P（2cos,3sin）到l的距离为
V5,
d——4cos3sin6
5
则PAd°^^ksin6，其中为锐角，且tan
sin305
当sin=-1时，PA取得最大值，最大值为务5当sin=1时，PA取得最小值，最小值为令5
（24）解：
AAQ
（I）由■ab--一一，得ab2，且当a=b=2时等号成立abJab
故a3+b32a3b34-、2，且当a=b=：
2时等号成立
所以a3+b3的最小值为4.2
（II）由（I）知,2a+3b^.6ab4.3
由于4.3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6
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