完整word版常微分方程试题库2word文档良心出品doc.docx
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常微分方程
一、填空题
．微分方程
dy
）
n
dy
y
2
x
2
0
的阶数是____________
1
（
dx
dx
答：
1
2．若M（x,y）和
N（x,y）在矩形区域R内是（x,y）的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则
方程M（x,y）dx
N（x,y）dy0有只与y有关的积分因子的充要条件是
_________________________
答：
（M
N）（
1）（y）
y
x
M
3．_________________________________________称为齐次方程.
答：
形如dy
g（y）的方程
dx
x
4．如果f（x,y）___________________________________________则,dy
f（x,y）存在
dx
唯一的解y
（x）,定义于区间xx0
h上,连续且满足初始条件y0
（x0）,其中
h_______________________.
答：
在R上连续且关于y满足利普希兹条件
h
mina（,b）
m
5．对于任意的
（x,y1）,（x,y2）R（R为某一矩形区域
）,若存在常数
N（N0）使
______________________则,称f（x,y）在R上关于y满足利普希兹条件.
答：
f（x,y1）
f（x,y2）Ny1
y2
6．方程dy
x2
y2定义在矩形区域R:
2x2,2
y
2上,则经过点
（0,0）的解的
dx
存在区间是___________________
1
1
答：
x
4
4
7．若xi（t）（i
1,2,.....n）是齐次线性方程的n个解,w（t）为其伏朗斯基行列式,则w（t）满足
一阶线性方程___________________________________
1
答：
w'
a1（t）w
0
8．若xi（t）（i
1,2,.....n）为齐次线性方程的一个基本解组，
x（t）为非齐次线性方程的一个
特解,则非齐次线性方程的所有解可表为
_____________________
n
答：
x
ci
xi
x
i
1
9．若（x）为毕卡逼近序列
n（x）的极限，则有
（x）
n（x）
__________________
答：
MLn
hn1
（n
1）!
10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解
y（x），则经过变换
___________________，可化为伯努利方程．
答：
形如dy
（
）
y
2
（）
y
（
x
）的方程
y
zy
dx
px
qx
r
11．一个不可延展解的存在区间一定是
区间．
答：
开
12．方程dy
y
1
满足解的存在唯一性定理条件的区域是
．
dx
答：
D
{（x,y）
R2y
0}，（或不含x轴的上半平面）
13．方程dy
x2siny的所有常数解是
．
dx
答：
y
k
k
0,
1,
2,
14．函数组1（x）,
2（x）,,
n（x）在区间I上线性无关的
条件是它们的朗
斯基行列式在区间I上不恒等于零．
答：
充分
15．二阶线性齐次微分方程的两个解
y1（x）,y2（x）为方程的基本解组充分必要条件
是
．
答：
线性无关（或：
它们的朗斯基行列式不等于零）
16．方程y
2y
y
0的基本解组是
．
答：
ex,xex
2
17．若y（x）在（,）上连续，则方程dy（x）y的任一非零解与
dx
x轴相交．
答：
不能
18．在方程yp（x）yq（x）y0中，如果p（x），q（x）在（,）上连续，那么它的
任一非零解在xoy平面上与x轴相切．
答：
不能
19．若y1（x）,y2（x）是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同
零点．
答：
没有
20．方程dy1y2的常数解是．
dx
答：
y1
21．向量函数组Y1（x）,Y2（x）,,Yn（x）在其定义区间I上线性相关的条件是
它们的朗斯基行列式W（x）0，xI．
答：
必要
22．方程dyx2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是．
dx
答：
xoy平面
23．方程x（y21）dxy（x21）dy0所有常数解是．
答：
y1,x1
24．方程y4y0的基本解组是．
答：
sin2x,cos2x
25．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．
答：
2
二、单项选择题
1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A）个．
3
（A）n
（B）n-1
（C）n+1
（D）n+2
2．如果f（x,y），f（x,y）都在xoy平面上连续，那么方程
dy
f（x,y）的任一解的存在
y
dx
区间（D）．（A）必为（
（C）必为（
）（B）必为（0,）
0）（D）将因解而定
1
3．方程dyx3y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D）．
dx
（A）上半平面（B）xoy平面
（C）下半平面（D）除y轴外的全平面
4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解
5.
方程dy
1
y2过点（,1）共有（
B
）个解．
dx
2
（A）一
（B）无数
（C）两
（D）三
6.
方程dy
x
y
2（B）奇解．
dx
（A）有三个
（B）无
（C）有一个
（D）有两个
7．n阶线性齐次方程的所有解构成一个（
A
）线性空间．
（A）n维
（B）n1维
（C）n1维
（D）n2维
8．方程dy
2
3y3过点（A）．
dx
（A）有无数个解
（B）只有三个解
（C）只有解y
0（D）只有两个解
9.
fy（x,y）连续是保证f（x,y）对y满足李普希兹条件的（
B
）条件．
（A）充分
（B）充分必要
（C）必要
（D）必要非充分
10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（
C
）．
（A）构成一个2维线性空间
（B）构成一个3维线性空间
（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间
4
11．方程dyy的奇解是（D）．
dx
（A）yx（B）y1（C）y1（D）y0
12．若y1（x），y2（x）是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的
通解可用这两个解表示为（C）．
（A）
1
（
x
）
2
（
x
）
（）
1（x）
2（x）
B
（C）
（
（
）
（
））
（
）
（）
C
1
2
1
DC1（x）
2（x）
x
x
x
13．fy（x,y）连续是方程dy
f（x,y）初值解唯一的（D
）条件．
dx
（A）必要
（B）必要非充分
（C）充分必要
（D）充分
14.方程dy
y
1（C
）奇解．
dx
（A）有一个
（B）有两个
（C）无
（D）有无数个
15．方程dy
2
3y3过点（0,0）
有（A
）．
dx
（A）无数个解
（B）
只有一个解
（C）
只有两个解（D）
只有三个解
三、求下列方程的通解或通积分
1．dy
y
y3
dx
x
解：
dx
xy
3
x
y2
1dy
1dy
y
3
，则xey（y2e
ydyc）所以
x
cy
dy
y
y
2
另外y
0
也是方程的解
2．求方程dy
xy2经过（0,0）的第三次近似解
dx
解：
0（x）
0
1（x）
x
x
02（x）dx
1x2
0
2
2（x）
x
x
12（x）dx
1x2
1
x5
0
2
20
5
3（x）
x
22（x）dx
1x2
1
x5
1
x11
1
x8
x
0
2
20
4400
160
3．讨论方程dy
y2
，y
（1）
1的解的存在区间
dx
解：
dy
dx
y2
两边积分
1
x
c
y
所以
方程的通解为
y
1
x
c
故
过y
（1）
1的解为
y
1
x
2
通过点
（1,1）
的解向左可以延拓到
，但向右只能延拓到
２，
所以解的存在区间为
（
2）
4．求方程（dy）2
y2
1
0的奇解
dx
解:
利用p判别曲线得
p2
y2
10
消去p得y2
1即y
1
2p
0
所以方程的通解为
ysin（x
c）,所以y
1
是方程的奇解
1
1
x
5．（cosx
y）dx
（y
y2）dy0
解:
M=
y2,
N=
y2
M=
N
所以方程是恰当方程.
y
x
y
x
u
cosx
1
x
y
x
得u
（y）
v
1
x
sinx
y
y
y
y2
u
xy2'（y）
所以（y）
lny
y
故原方程的解为
sinx
x
lny
c
y
6
6．y'
y2
2ysinx
cosx
sin2
x
解:
y'
y2
2ysinx
cosx
sin2x
故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
ysinx
令y
z
sinx,
则方程可化为dz
z2,z
1
dx
x
c
即y
sinx
1
故
ysinx
1
c
c
x
x
7．（2xy2
3y3）dx
（7
3xy2）dy
0
解:
两边同除以y2得
2xdx
3ydx
7
dy
3xdy
0
y
2
dx2
d3xy
d
7
0
y
所以
x2
3xy
7
c,
另外
y0也是方程的解
y
8．dy
xy
dx
1x2
解当y0时，分离变量得
dy
x
2dx
y
1x
等式两端积分得
12
lnyln（1x）lnC
即通解为
yC1x2
9.dy3ye2xdx
解齐次方程的通解为
yCe3x
令非齐次方程的特解为
yC（x）e
3x
7
代入原方程，确定出C（x）1e5xC
5
原方程的通解为
yCe3x+1e2x5
10.dyyxy5dx
解方程两端同乘以y5，得
y5dy
y
4
x
dx
dy
dz，代入上式，得
令y4
z，则
4y5
dx
dx
1dz
x
z
4dx
通解为
z
Ce4x
x
1
4
原方程通解为
y4
Ce4x
x
1
4
11．2xydx
（x2
y2）dy
0
解
因为M
2x
N，所以原方程是全微分方程．
y
x
取（x0,y0）
（0,0）
，原方程的通积分为
x
y
2dyC
2xydx
y
0
0
即
x2y
1
y3
C
12．dy
3
ylny
dx
解：
当y0，y1时，分离变量取不定积分，得
dy
dxC通积分为
ylny
lnyCex
13．yy（y）23x20
8
解
原方程可化为
（yy
x2）
0
于是
ydy
x2
C1
dx
积分得通积分为
1y2
C1x
1x3
C2
2
3
14．dy
1
（y）2
y
dx
x
x
解：
令y
xu，则dy
u
xdu，代入原方程，得
dx
dx
xdu
1
u2
dx
分离变量，取不定积分，得
du
dx
lnC
（C0）
1
u2
x
通积分为：
arcsiny
lnCx
x
15．dy
y
tan
y
dx
x
x
解
令y
u，则dy
u
xdu，代入原方程，得
x
dx
dx
u
xdu
u
tanu，xdu
tanu
dx
dx
当tanu
0时，分离变量，再积分，得
du
dx
lnC
tanu
x
lnsinu
lnx
lnC
即通积分为：
y
Cx
sin
16．dy
y
x
1
dx
x
解：
齐次方程的通解为
yCx
令非齐次方程的特解为
9
yC（x）x
代入原方程，确定出C（x）lnxC
原方程的通解为
yCx+xlnx
17.（x2eyy）dxxdy0
解积分因子为
（x）
1
x2
原方程的通积分为
x
（e
x
y
y
dyC1
1
x
2）dx
0
y
即
ex
C,
Ce
C1
x
18．yy
（y）2
0
解：
原方程为恰当导数方程，可改写为
（yy）0
即
yyC1
分离变量得
ydyC1dx
积分得通积分
1
y2
C1xC2
2
19．y（x
lny）1
解
令y
p，则原方程的参数形式为
x
1
lnp
p
y
p
dy
y，有
由基本关系式
dx
10
1
1
dy
ydx
p
（
p2
p）dp
（1
1）dp
p
积分得
yplnp
C
得原方程参数形式通解为
升级会员 