福师《常微分方程》期末试卷AWord文件下载.docx

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　　阶微分方程，是

　　方程（填“线性”或“非线性”）。

　　非线性

　　2、给定微分方程y2x，它的通解是

　　y=x2+C（C为任意常

　　数），通过点（2，3）的特解是y=x2-1。

　　3、微分方程M（x,y）dxN（x,y）dy0为恰当微分方程的充要条件是

　　Mx,yNx,y。

　　y

　　4、方程

　　x4x2

　　y12

　　2

　　C1xC2

　　y'

　　'

x21

　　的通解为，满足初始条件

　　y|x12,y|x35的特解为

　　yx4x21x912264。

　　5、微分方程d2y25y0的通解为dx2

　　yC1cos5xC2sin5x。

　　6、微分方程

　　d2ydx2

　　6

　　8

　　的通解为

　　yc1e2xc2e4x，该方程可化为一阶线性微分方程组

　　dz

　　dydx6z

　　z

　　y。

　　dx

　　二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。

　　1、dyexy；

　　dx

　　解：

dyexdxey

　　eydyexdxeyexC（C为任意常数）

　　2、dy2xy4x；

　　px2x,Qx4x

　　用公式法ye2xdxe2xdx•4xdxC

　　ex22ex2dx2Cex22ex2C

　　2Cex2y2Cex2

　　3、d2xdt2

　　dxdt

　　5x

　　e2t；

　　2650

　　11,25齐次的解：

xC1etC2e5t又212k0

　　设x*b0e2t

　　带入解得b0

　　121

　　C1et

　　C2e5t

　　1e2t21

　　4、

　　dxdtdydt

　　2x4y5x3y.

由dx2x4y得，y1x1dx③

　　dt

　　24dt

　　故dy1dx1d2xdt2dt4dt2

　　5x31x1dx24dt

　　d2xdt2

　　5

　　14x

　　0,25140

　　12,27

　　xC1e2tC2e7t④

　　④带入③得：

　　C1e2t

　　54

　　C2e7t

　　xC1e2tC2e7t

　　▆

　　《常微分方程》试卷共2页（第1页）

　　答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！

　　▆▆

　　三、（8

　　分）考虑方程

　　（y2

　　9）

　　f

　　（x,y）,假设

　　（x,y）及

　　f'

y

　　（x,y）

　　在

　　xOy平面上连续，试证明：

对于任意x0及|y0|3，方程满足

　　y（x0）y0的解都在（,）上存在。

　　证明：

根据题设，可以证明右端函数在整个xoy平面上，满足延展定理

　　及存在与唯一性定理的条件，易于看到，y3为方程在,上的解。

由延展定理可知，yx0y0,x0任意，y03的解y=y（x）

　　又不能穿过直线y3，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而，这应在,上存在。

　　121

　　四、（10分）设A12

　　10

　　11，求解方程组

　　dXdt

　　AX

　　满足初始条

　　1件

　　（0）0的解（t）。

由EA1230

　　得11二重，2

　　3.

　　2

　　1对应特征向量1

　　，2

　　4

　　3

　　0

　　解得114214

　　v1

　　1

　　21

　　41

　　,v2

　　1e3t1et

　　22

　　t

　　e3tEv1

　　etE

　　tA

　　Ev2

　　14

　　e3t

　　et

　　12

　　五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

一阶微分方程dyfx,y

（1）

　　dx其中f（x，y）是矩形区域R:

xx0a,yy0b上的连续函数。

　　定义1如果存在常数L0，使得不等式

　　fx,y1fx,y2Ly1y2，对于所有x,y1x,y2R都成立，则函数f（x，y）在R上关于y满足利普希茨条件。

　　定理1如果f（x，y）在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程

（1）存在唯一的解y=x，定义于区间xx0h上，连

　　续且满足初始条件x0

　　y0，这里

　　h

　　min

　　a,

　　bM，Mmaxfx,y。

　　x,yR

　　《常微分方程》试卷共2页（第2页）