第27讲 三角形的不等关系WWord格式.docx
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证明如图,在OC上截取OE=OD连接DE,BE,因∠EOD=180°
-∠AOD-∠COB=60°
，故△DOE为等边三角形.
又OA=OB，∠AOD=∠COB，OD=OE，于是△ADO≌△BEO,故AD=BE.
又在△DEC中，∠CED>
∠OED,∴CD>
CE.
∴AD+CD>
BE+CE>
例3（1982年湖北省初中数学竞赛试题）在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰A彻底延长线上取CE=BD，连BD，则DE>
BC。
证明作DD’⊥BC,EE’⊥BC,垂足为D’,E’.在Rt△BDD’与Rt△CEE’中，∠B=∠ACB=∠ECE’,BD=CE,故△BDD’≌△CEE’。
于是BD’=CE’。
所以DE=DM+ME>
MD’+ME’=MD’+MC+CE’=MD’+MC+BD’=BC.
例4（1988年北京市初中数学竞赛试题）如图P为边长为1的等边三角形ABC形内任意一点.设l=PA+PB+PC,求证:
1.5<
l<
2.
证明因AP+BP>
AB=1,BP+CP>
BC=1,CP+AP>
AC=1,相加，得
2（PA+PB+PC）>
3,
故l>
1.5。
过P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N。
则△AMN是正三角形。
MN=AB.而∠APN>
∠AMP=60º
故PA<
AN。
又BP<
PM+MB，PC<
PN+NC，于是PA+PB+PC<
AN+PM+MB+PN+NC=（AN+NC）+（PM+PN）+BM=AC+MN+BM=AC+AM+BM=AC+AB=2.即l<
所以1.5<
例5（1996年天津市初二数学竞赛试题）求证：
直角三角形中斜边与斜边上的高的和大于两直角边的和。
（要求：
画图，写已知，求证，证明）
已知如图△ABC中，∠ACB=90º
，CH⊥BA于H，求证AB+CH>
AC+BD。
证明设BC=a,CA=b,AB=c,CH=h，由勾股定理有a2+b2=c2,由面积关系有ab=ch.,于是
（c+h）2=c2+2ch+h2=a2+b2+2ab+h2=（a+b）2+h2>
（a+b）2
所以c+h>
a+b，即AB+CH>
例6（1993年浙江省初中数学竞赛试题）如图，在RtΔABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，H为斜边AB高的垂足，G是DH的中点。
设O为AB上任意一点。
求证：
∠EOF取最大角是∠EGF。
证明连结EF，则EF∥AB，四边形EDBF是平行四边形。
DE=BF=
BC=HF，而∠FDG=180º
-∠B=180º
-∠FHB=∠FHG,DG=DH，于是△FDG≌△FHG，从而EG=FG，∠EGD=∠FGH。
延长FG到N，使GN=GF，连结ON。
显然有△OFG≌△ONG，
在△EGO与△NGO中,GO=GO，GE=GN，∠OGE<
∠OGN,于是OE<
ON,
于是OE<
OF。
故∠OEG>
∠ONG=∠OFG.,于是∠EOF<
∠EGF
例7（2000年第15届江苏省初中数学竞赛试题）
（1）如图1a，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°
，∠BCD＝120°
，证明：
BC＋DC＝AC；
图1a图2a
（2）如图2a，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°
，P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°
PA＋PD＋PC≥BD。
证明
（1）如图1b，延长BC至E，使CE＝CD。
因∠BCD＝120°
，所以∠DCE＝60°
。
又CD＝CE，于是△CDE为等边三角形。
故DE＝CD＝CE，∠CDE＝60°
又AB＝AD，∠BAD＝60°
，所以△ABD为等边三角形，故AB＝AD＝BD，∠BDA＝60°
从而∠ADB＝∠CDE，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝∠CDE＋∠BDC＝∠BDE。
所以△ACD≌△BED，因此，AC＝BE＝BC－CE＝BC＋CD，即AC＝BC＋CD。
图1b如图2b
（2）如图2b，在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D，利用∠APD＝120°
，则四边形AB′DP符合
（1）中的条件。
于是B′P＝AP＋PD。
易知B′C≤PB′＋PC，得B′C≤AP＋PD＋PC。
因△AB′D是正三角形，故AB′＝AD，∠B′AD＝60°
又易知△ABC是正三角形，故AC＝AB，∠BAC＝60°
，由此得△AB′C≌△ADB。
故B′C＝DB。
所以PA＋PD＋PC≥BD
例8（2005年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，AA’，BB’，CC’交于点O，且AA’=BB’=CC’=1，∠AOC’=∠BOA’=∠COB’=60º
。
（1）求证:
S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’<
;
（2）求证:
S△AOC‘,S△BOA’,S△COB’中至少有一个不大于
证明
（1）证法1如图，延长OC至D，使得CD=C’O，延长OB’至E,，使得B’E=BO。
连结ED，易知△ODE是边长为1的等边三角形，在ED上截取EF，使EF=OA’,连结CF，则△OBA’≌△EB’F,△C’AO≌△CFD,而S△ODE=
所以S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’=S△FDC+S△B’EF+S△COB’<
S△ODE=
.
证法2设OA=a,OB=b,OC=c,’则
S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’=
[a（1-c）+b（1-a）+c（1-b）]
=
（a+b+c-ab-bc-ca）
而（1-a）（1-b）（1-c）=1-（a+b+c）+ab+bc+ca-abc>
0，
所以a+b+c-ab-bc-ca<
1-abc<
1.
即S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’<
（2）假设S△AOC‘>
，S△BOA’>
，S△COB’>
，
记OA=a,OB=b,OC=c,则
所以abc（1-a）（1-b）（1-c）>
而0<
a（1-a）=
即abc（1-a）（1-b）（1-c）≤
矛盾.所以S△AOC‘,S△BOA’,S△COB’中至少有一个不大于
同步训练
一．选择题
1．（1996年“希望杯”数学邀请赛初二试题）在ΔABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的大小关系是（）
（A）AC>
2AB
（B）AC=2AB
（C）AC≤2AB
（D）AC<
2.（2005年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，在等边△ABC中，BD=2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（）。
（A）AP>
AE>
EP
（B）AE>
AP>
（C）AP>
EP>
AE
（D）EP>
AP
3．（1998年第九届希望杯数学邀请赛试题）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°
，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC于H，则BM与CE的大小关系是（）
（A）CF＞GB
（B）CF＝GB
（C）CF＜GB
（D）无法确定的
4．（2000年江苏省初中数学竞赛试题）如图，AD是ΔABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（）
（A）BE+CF>
EF
（B）BE+CF=EF
（C）BE+CF<
（D）BE+CF与EF的大小关系不确定。
5．（1998年江苏省初中数学竞赛试题）不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条的平均值，那么，最大边上的高
和最小边上的高的比值k的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
二．填空题
6．（1993年北京市初中数学竞赛试题）△ABC中,AB≤AB≤BC,且最小的内角不小于59°
试求最大的内角的最大值是多少度?
答：
________。
7．（2000年第11届希望杯数学邀请赛试题）△ABC中，AB>
AC,AD，AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线，则AD和AE的大小关系是ADAE。
（填“>
”,“<
”或“=”）
8．（1999年天津市“数学新蕾”竞赛试题）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上移动，则PE+PC的最小值为。
9．（1997年山东省初中数学竞赛试题）若a,b,c为一个三角形的三边长，且a>
b>
c，则下列命题：
①以a2,b2,c2为长度的三条线段一定能构成一个三角形
②以
为长度的三条线段一定能构成一个三角形
③以a+b,b+c,c+a为长度的三条线段一定能构成一个三角形
④以a-b,b-c,a-c为长度的三条线段一定能构成一个三角形
其中正确的命题是________。
（填写正确命题的序号）
10．（2000年全国初中数学联赛试题）设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2-t2=________。
三．解答题
11．（1991年杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）如图,△ABC中,AE是∠A的外角平分线,D是这条平分线上的任一点,试确定AB+AC和BD+DC之间的大小关系,并加以证明。
12．（1994年“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图，△ABC中，AD⊥BC，D在BC上，已知∠ABC>
∠ACB,P是AD上的任意一点，证明：
AC+BP<
AB+CP.
13．（杭州市第四届初中数学竞赛试题）如图，在锐角△ABC中,BC<
AB,AH是BC边上的高，BM是AC边上的中线，且AH=BM，求证：
（1）∠MBC=30º
；
（2）∠ABC<
60º
14．（2001年第16届江苏省初中数学竞赛试题）
（1）已知:
如图1,在四边形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求证:
AB+AC>
（2）已知:
如图2,在△ABC中,AB上的高为CD.试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系,并证明你的结论.
15．（1984年上海市初中数学竞赛试题）平面上有A，B，C，D四个点，其中任意三点都不在一条直线上。
在△ABC,△ABD,△ACD,△BCD中，至少有一个三角形的一个内角不超过45º
同步训练题参考答案
1．D
如图，延长CB至D,使DB=AB,连结AD，则∠BAD=∠D,∴∠ABC=2∠D,∴∠C=∠D,AD=AC.∴AB+BD>
AD.即2AB>
AC.
2.A
BE=
BD=DC,则△BEC≌△CDA.
∴∠APE=∠PAC+∠ACP=∠PCD+∠ACP=60,º
∴∠EAP<
=∠APE<
∠PEA.
∴AP>
EP.
3．A
如图：
延长CE交BA的延长线于F,则Rt△FBE≌Rt△CBE,∴CE=EF=
CF.
又Rt△ABD≌Rt△ACF,∴BD=CF.
在△ABM中，∠BAM=45º
>
∠ABM,∴AM>
MD.
∴BM>
MB,BM>
BD=
CF=CE.
4．A
延长FD到G，连结EG，BG。
易证△EGD≌△EFD，△BGD≌△CFD，于是CF=BG，EF=EG。
BE+CF=BE+BG>
EG=EF.
5．B
设
，∵
又
即
6．62°
由AB≤AB≤BC,得∠C≤∠B≤∠A，∠A=180°
-（∠B+∠C）≤180°
-2∠C=62°
7．>
因AB>
AC,故∠B<
∠C。
不难证明BE>
EC,故E点在D点和C点之间，∠AED=∠C+∠CAE>
∠B+∠BAD=∠ADE,于是AD>
AE。
8．
C点关于BD的对称点为A,连结AE，AE与BD的交点就是PE+PC最小的P点。
这是因为若P’是BD上的另外一点，则P’E+P’C=P’A+P’C>
AE=PA+PE此时PA+PE=AE=
9．②③
①不正确，如a=5,b=4,c=3时，a2=b2+c2，以a2,b2,c2为长度的三条线段不能构成一个三角形。
④不正确，因（a-b）+（b-c）=a-c,以a+b,b+c,c+a为长度的三条线段不能构成一个三角形。
②的证明如下：
因b+c>
a,故b+
+c>
a，即
+
③的成立是显然的
10．
先求s。
因PA≤AC,PM≤CM,故PA+PM≤CA+CM=2+
.当点P为顶点C时等号成立，则s=2+
再求t，如图作正△A’BC，设M’为A’B’的中点，则△PBM≌△PBM’.故PM=PM’，PA+PM=PA+PM’≥AM’.
连结CM’,则∠ACM’=90º
.所以AM’=
=
即t=
.于是s2-t2=（2+
）2-（
）2=4
11．在BA上截取AF=AC,连结DF，易证△ADF≌△ADC,于是DF=DC。
AB+AC=AB+AF<
BD+DF=BD+DC.
12．因∠ABC>
∠ACB,故AC>
AB，CD2=AC2-AD2>
AB2-AD2=BD2,于是DC>
DB.
在DC上截取DB’=DB，连结AB’交PC于Q，连结PB’。
显然△ADB≌△ADB’，△PDB≌△PDB’，于是AB=AB’，PB=PB’。
所以AC+BP=AC+BP‘<
AQ+QC+QB’+PQ=AB’+CP=AB+CP.
13.
（1）过M作MN∥AH交BC于N，于是MN=
AH，又因AH=BM,故MN=
BM.在Rt△BMN中,MN=
BH,所以∠MBN=30º
，即∠MBC=60º
（2）因M是AC的中点，所以S△BCM=S△BAM.即
BC•BMsin∠MBC=
BM•BAsin∠MBA，因而BCsin∠MBC=BAsin∠MBA，
由于BC<
BA，于是sin∠MBC>
sin∠MBA。
因∠MBC,∠MBA都是锐角，故∠MBC>
∠MBA，又∠MBC=30º
，所以∠MBA<
30º
，于是∠ABC<
60º
14．
（1）连结BD。
则BD=
，因∠ACD=∠ADC.故AC=AD。
于是AC+AB=AD+AB>
（2）（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系是（AC+BC）2=≥AB2+4CD2，
作BE⊥AB，使BE=2CD，连结CE,作CF⊥BE。
显然BF=CD，可证△CBF≌△CEF，CE=CB。
应用
（1）的结论，有（AC+BC）2>
AB2+BE2=AB2+4CD2①
当A，C，E共线时，显然有（AC+BC）2=AB2+4CD2，②
综合①②知结论成立。
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