全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案.doc
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全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案
班级____________姓名____________
一、填空题：
本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程的根大于，且小于4，则实数的范围是____________．
解：
方程的两根为：
，；
由题设可得：
，解之可得：
．
（点评：
本题易让人首先想到“根的分布”，而事实上求出根来，其法也不错！
）
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为____________．
解：
若成两双，则有种取法；若成一双，则先在6双中取1双，再在剩下5双中取两双，每双各
取其中1只；故概率为：
．
（点评：
本题是极其经典的排列组合题，仅有一双的取法，必须牢记，还要会举一反三！
）
3．设实数满足，则的最大值与最小值之差是____________．
解：
由题意可知：
点在圆上，表示圆C上的点到原点距离的平方，
其最大值为9，最小值为1；所以的最大值与最小值的差为8．
（点评：
凡与圆有关的问题，毫不外地要考虑好圆心，还有几何意义！
）
4．若存在正实数满足（是虚数单位，），则的最小值是_______．
解：
当时，经过计算，不存在正实数满足，
当时，取，使得，故的最小值是3．
（点评：
本题易让人首先想到“二项式展开”，从一开始，验证！
整数问题的“回马枪”．）
5．若的三边成等差数列，则的取值范围是____________．
解：
令的所对的边分别为；则由题意可知：
；
由余弦定理可得：
；
因为是正实数，所以，当且仅当时，等号成立；
由，可知：
．
（点评：
绝对的常规题！
应该放在第1小题．）
6．若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之
积是____________．
解：
由可知：
或；
因为，所以可能是3，同理可能为1，从而推知可能为0；
因此，符合条件的一个数列的前四项可以是0，1，3，9；故所有可能值之积为0．
（点评：
小题应小做，小题若大做，则上了命题人的当！
）
7．已知，则___________．
解：
取值代入可知：
，，，；
当时，，从而有；
所以，．
（点评：
数据大的问题，常常是“纸老虎”，分清类别第一重要，各个击破重要手段！
）
8．设，且满足，则的最大值为___________．
解：
由，可得：
；
所以，或；
所以有或，此时可以取内的任意值；
或或，此时可以取内的任意值；
所以的最大值为：
．
（点评：
平时难得见这类题！
思维若呆板，定是要楞一会儿，别人一点拔，啊！
我也会嘛！
）
9．已知正四面体的棱长为9，点是平面上的一个动点，满足到平面、、
的距离成等差数列，则点到平面距离的最大值是____________．
解：
记点到平面的距离分别为；
则为正四面体的高，由于成等差数列，
故点到平面的距离的最大值为．（注：
此时是极端情形）
（点评：
绝对的常规题！
应该放在第2题，因为想到极端情况，还是有一点意外的！
）
10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，
再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王
现在的年龄是____________．
解：
设小王现在的年龄是，小孙现在的年龄是；
设有个数字，有个数字，由已知得：
；
如果，那么，但在31年后，是2位数，合起来是5位数，这与题意不符；
由对称性，可知也不小于2，从而有；
设按题中要求顺序的平方数依次为和，且；
则设，即有，
所以必有：
且，从而，；由知，小王现在12岁．
（点评：
有两个平方数，出现了“差”，与分解且奇偶性相同，就该现脑海中！
）
二、解答题：
本大题共4小题，每小题20分，共80分．
11．设为实数，，椭圆与椭圆交于点和，的左
顶点为，的右顶点为（如图），若四边形是正方形，求实数．
解：
由与，
解得，解得：
；
将其代入中，得A点的纵坐标为；……………………10分
因为四边形为正方形，根据对称性知：
，
又，，则，；…………………15分
所以，即，解得（舍），或；
所以．………………………………………………………………………20分
（点评：
虽然中心不在原点的椭圆不是高考内容，但是按抛物线平移规则，不算超纲！
）
12．如图，梯形中，关于对角线对称的点分别是，
关于对角线对称的点分别是；
证明：
四边形是梯形．
证明：
如图，关于对角线对称的点分别是，
由于是对称轴，轴上的点自身对称，
则与的交点是与的交点；………………5分
从而由对称可知：
，
所以，同理：
；………………10分
再由梯形可知：
，
所以；………………………15分
从而，所以，且，
所以四边形是梯形．………………20分
（点评：
几何变换是第一次考！
！
！
通常有四大变换：
平移、旋转、对称、位似．）
13．设实数满足；证明：
．
证明：
将所求不等式改写：
；
于是可设：
，问题转化为：
“证明：
”．
求导得：
，；
当时，，当时，；
所以在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；
又因为和，
所以存在和，使得，且；
当且仅当时，；……………………10分
所以函数在区间和上是单调递增函数，
在区间是单调递减函数；（图像见右）
又因为，
所以对于，；对于，；
故当时，，从而原题得证．………………20分
（点评：
相对于高考的内容，这道题是难题，因为平时训练题的思维没有这么深；但是，
研究函数值的问题，一定要把握好函数的图像的变化情况，而要想这清楚这个，
二次求导则是自然想到的事．其实，函数就必须从“数与形”方面去思考！
）
14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一；证明：
必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的
顶点．
证明：
记正100边形的外接圆半径为；
把顶点分为25个点集：
，；
第个点集之中，4个点染成3色，至少有两点同色，
此两点为端点的劣弧长分别为之一；………………………………10分
弧长为，且两端同色的弧共有9种；
前10个点集之中至少存在10段此类弧，
因而总有两段弧“同种”，且均在某直径一侧，
故此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．…………………………………20分
（点评：
抽屉原理的关键是“造抽屉”，想到用抽屉原理还不一定能做得出不来．
这道题实在太完美了，组合三大原理即抽屉原理、容斥原理、极端原理，
考到一个；组合图论思想考到了，组合染色沾到边儿．）
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