对勾函数模型.docx

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对勾函数模型

第十周　对勾函数模型

重点知识梳理

1．对勾函数定义

对勾函数是指形如：

y＝ax＋（ab>0）的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．

2．对勾函数y＝ax＋（a>0，b>0）的性质

（1）定义域：

（－∞，0）∪（0，＋∞）．

（2）值域：

（－∞，

]∪[

，＋∞）．

（3）奇偶性：

在定义域内为奇函数．

（4）单调性：

（－∞，－），（，＋∞）上是增函数；（－，0），（0，）上是减函数．

（5）渐近线：

y轴与y=ax（或y=-ax）

3．y＝ax＋（a>0，b>0）的单调区间的分界点：

±.

求分界点方法：

令ax＝⇒x＝±.

特殊的，a>0时，y＝x＋的单调区间的分界点：

±.

4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．

5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：

若a>0，b>0，则x>0时，ax＋≥2.

当且仅当ax＝，x＝时取等号．

在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和都是正项，且二者乘积为定值，同时ax＝中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．

典型例题剖析

例1　已知f（x）＝x＋，求f（x）在下列区间的最小值．

（1）[1,2];

（2）[3,4];（3）[－3，－1]．

【解析】如图，

f（x）在（－∞，－），（，＋∞）上是增函数，在（－，0），（0，）上是减函数．

（1）由对勾函数性质可知f（x）在[1,2]上单调递减，

∴f（x）min＝f

（2）＝4.

（2）因为f（x）在[3,4]上单调递增，

所以f（x）min＝f（3）＝4.

（3）因为f（x）在[－3，－]上单调递增，在（－，－1]上单调递减，且f（－3）＝－4，

f（－1）＝－6，

所以f（x）min＝－6.

变式训练　已知函数f（x）＝，求f（x）的最小值，并求此时x的值．

【解析】f（x）＝＝＝＋

令t＝，则t≥2，y＝t＋.

∵y＝t＋在[2，＋∞）单调递增，

∴当t＝2时，ymin＝2＋＝，

此时，＝2，x＝0.

综上，f（x）的最小值为，此时x的值为0.

例2　求函数f（x）＝（0≤x≤3）的值域．

【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2,2≤t≤5，

y＝

＝＝t＋－6,2≤t≤5.

∵y＝t＋－6在[2，]上单调递减，在[，5]上单调递增，

∴当t＝时，ymin＝2－6，

且当t＝2时，y＝2＋－6＝－，

当t＝5时，y＝5＋－6＝，∴ymax＝.

综上，f（x）的值域为[2－6，]．

变式训练　求函数f（x）＝，x∈的值域．

【解析】f（x）＝

＝＝x－1＋－2，

令t＝x－1，则f（t）＝t＋－2，t∈[1,4]．

结合y＝t＋的图象与性质，

可知当t∈[1,3]时，函数单调递减，当t∈[3,4]时，函数单调递增，

又f

（1）＝8，f（3）＝4，f（4）＝，

所以f（x）∈[4,8]．

例3　某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g（n）＝（k>0，k为常数，n∈Z且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．

（1）求k的值，并求出f（n）的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高？

最高利润为多少万元？

【解析】

（1）由g（n）＝，当n＝0时，由题意，

可得k＝8，

所以f（n）＝（100＋10n）（10－）－100n（n∈Z且n≥0）．

（2）由f（n）＝（100＋10n）（10－）－100n

＝1000－80（＋）

≤1000－80×2＝520，

当且仅当＝，即n＝8时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．

变式训练　建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池（无盖）．池壁，池底造价分别为a元/米2和2a元/米2.底面一边长为x米，总造价为y.写出y与x的函数式，问底面边长x为何值时总造价y最低，是多少？

【解析】长方体底面积S＝＝100米2，地面一边长为x米，

因此另一边长为米，

池壁总面积为8·（2x＋）米2，

∴总造价y＝100×2a＋（2x＋）·8·a

＝200a＋16a（x＋）（x>0）．

∵函数y＝200a＋16a（x＋）在（0,10]上是减函数，在（10，＋∞）上是增函数，

∴当x＝10时，总造价最低，且ymin＝520a（元）．

跟踪训练

1．下列函数中最小值是4的是（　　）

A．y＝x＋

B．y＝x＋

C．y＝21＋x＋21－x

D．y＝x2＋＋3，（x≠0）

2．函数y＝x＋，x∈（1,3]的值域为（　　）

A．[，5）B．[4,5）

C．[，4）D．（4,5）

3．函数y＝－x＋＋3，x∈的值域为____________．

4．y＝2x2＋的最小值是________．

5．已知x>0，则2＋x＋的最小值是________．

6．函数y＝x＋在区间[1,2]上的最小值为____________．

7．若函数y＝x＋（a＞0）在区间（，＋∞）上单调递增，则a∈________________.

8．建造一个容积为8m3，深为2m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．

9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m（如图所示）．

（1）若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；

（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？

10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD）的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．

（1）求出y关于x的函数解析式；

（2）当x为何值时，设围墙（包括EF）的的修建总费用y最小？

并求出y的最小值．

11．已知函数f（x）＝（x∈[2，＋∞））．

（1）求f（x）的最小值；

（2）若f（x）>a恒成立，求a的取值范围．

12．已知函数f（x）＝x＋，x∈[1，＋∞），a>0.

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若函数f（x）的最小值为4，求实数a.

13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系：

C（x）＝（0≤x≤10，k为常数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？

并求出最小值．

参考答案

1．C　A选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除A；

B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除B；

C选项，由于y＝2·2x＋＝2（2x＋），

换元，令t＝2x，t>0，则y＝2（t＋）≥4，

当且仅当t＝1即x＝0时，函数有最小值4，

D选项，由于y＝x2＋＋3＝x2＋1＋＋2，换元，令t＝x2＋1，t>1，

则y＝t＋＋2，函数在（1，＋∞）上单调递增，因此y>4，排除D选项．

综上，答案为C.

2．B　由对勾函数性质可知，当x＝，即x＝2时，表达式有最小值4，又函数在（1,2）上单调递减，在（2,3]上单调递增，f

（1）＝5，f（3）＝3＋＝，所以值域为[4,5），答案为B.

3．[6,7）

解析　y＝－x＋＋3＝1－x＋＋2，

换元，令t＝1－x，则x∈时t∈（1,2]，

y＝t＋＋2，函数在（1,2]上单调递减，

若t＝1，则y＝1＋＋2＝7，

若t＝2，则y＝2＋＋2＝6，

故函数值域为[6,7）．

4．2－2

解析　换元，令t＝1＋x2，则t≥1，x2＝t－1，

y＝2（t－1）＋＝2t＋－2，

函数在[1，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，

所以当t＝时，函数有最小值2－2.

5．6

解析　由对勾函数性质可知，当x＝，即x＝2时，表达式有最小值6.

6．2

解析　因为y＝x＋在区间[1,]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以当x＝时函数有最小值2.

7．（0,5]

8．1760

解析　池底面积为＝4cm2，设池底宽为xcm，则长为cm，则水池的造价为4×120＋2（×2＋x×2）×80＝480＋＋320x≥480＋2＝1760.

9．解析　

（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米．

由a2x＝4000，得a＝，

则S＝（a＋8）（ax＋20）＝a2x＋（8x＋20）a＋160

＝4000＋（8x＋20）·＋160

＝80（2＋）＋4160，

即S＝80（2＋）＋4160.

（2）S＝80（2＋）＋4160≥160·＋4160＝5760，

当且仅当2＝，即x＝2.5时取等号，此时a＝40，

ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．

10．解析　

（1）设AD＝t米，则由题意得xt＝600，且t>x，

故t＝>x，可得0

则y＝800（3x＋2t）＝800（3x＋2×）

＝2400（x＋），

所以y关于x的函数解析式为y＝2400（x＋）（0

（2）y＝2400（x＋）≥2400×2＝96000，

当且仅当x＝，即x＝20时等号成立．

故当x为20米时，y最小．y的最小值为96000元．

11．解析　

（1）任取x1，x2∈[2，＋∞），

且x1

则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）（1－），

∵x1

又∵x1≥2，x2>2，

∴x1x2>4,1－>0，

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

故f（x）在[2，＋∞）上是增函数，

∴当x＝2时，f（x）有最小值f

（2）＝.

（2）∵f（x）>a恒成立，∴只需f（x）min>a.

又∵f（x）min＝，∴a<.

12．解析　

（1）a＝时，f（x）＝x＋，x∈[1，＋∞）．

令x＝（x>0），得x＝∉[1，＋∞），

∴不能用不等式求最值．

设1≤x1

＝（x1－x2）＋（－）

＝（x1－x2）（1－）<0，

∴函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，

∴fmin（x）＝f

（1）＝.

（2）当0

∵∉[1，＋∞），

∴类似于

（1）可知函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，

∴fmin（x）＝f

（1）＝1＋a＝4，

得a＝3，与0

当a≥1时，≥1，∴由不等式知x＋≥2，

当x＝，即x＝时，fmin（x）＝2＝4，

解得a＝4.

综上所述，函数f（x）的最小值为4时，a＝4.

13．解析　

（1）依题意，当x＝0时，C＝8，∴k＝40，

∴C（x）＝，

∴f（x）＝6x＋＝6x＋（0≤x≤10）．

（2）f（x）＝2（3x＋5）＋－10，

设3x＋5＝t，t∈[5,35]，

∴y＝2t＋－10≥2－10＝70，

当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立．

这时x＝5，

因此f（x）的最小值为70.

即隔热层修建5cm厚时，总费用f（x）达到最小，最小值为70万元．

特殊对勾函数

f（x）＝x＋

x

1

2

3

4

f（x）

4

3

2

2

2

3

4

‘’

（1）定义域：

（－∞，0）∪（0，＋∞）．

（2）值域：

（－∞，-2]∪[2，＋∞）．

（3）奇偶性：

在定义域内为奇函数．

（4）单调性：

（－∞，－1），（1，＋∞）上↗；

（－1，0），（0，1）上↘．

（5）分界点（拐点）坐标

P（1,2）;Q（-1,-2）

（6）渐近线

（7）Y=x和x=0

（8）