数学初中三年级北师大版 中考空间图形与三角形 热点题型分类解析含解答.docx

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数学初中三年级北师大版中考空间图形与三角形热点题型分类解析含解答

2006年中考“空间图形与三角形”热点题型分类解析

【专题考点剖析】

本专题包括《空间图形》、《相交线、平行线》、《三角形》共三部分内容，是图形部分最基础的知识，试题反映出的考查点主要有：

1．会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述几何体或实物原型．

2．了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系，通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）．

3．会依据平行线的判定与性质解决一类与平行线有关的图形问题，并注意在空间图形中，直线与平面平行的识别．

4．会运用三角形三边关系、内角和定理、等腰三角形的性质和判定、勾股定理及逆定理解证与之相关的图形问题．

5．会利用全等三角形的性质及判定证明线段相等、角相等，并会借助直线上点构成线段的条数规律解决三角形中全等图形的计数问题．

6．能辨认一个命题的题设和结论，会构造一个命题的逆命题，并能运用图形推理和举反例的方法推断命题的真假性．

7．会利用五种基本作图的方法解决一类与之相关的尺规作图问题，并注意作图的有关规定、要求，以及轴对称作图的基本思路．

【解题方法技巧】

本专题着重考查学生方程的思想、分类讨论的思想、对称作图的思想，以及识别图形的能力及动手操作图形的能力．

【热点试题归类】

题型1空间图形展开图

1．（2006，福建泉州）小林同学在一个正方体盒子的每个面都写有一个字，分别是：

我、喜、欢、数、学、课，其平面展开图如图1所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是“_______”．

（1）

（2）（3）

2．（2006，黄冈）一个无盖的正方体纸盒，将它展开成平面图形，可能的情形共有（）

A．11种B．9种C．8种D．7种

3．（2006，烟台）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图2形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（）

A．33分米2B．24分米2C．21分米2D．42分米2

4．（2006，浙江台州）如图3，长方体的面有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

5．（2006，盐城）将下面的直角梯形绕直线L旋转一周，可以得到图4中立体图形的是（）

（4）

6．（2006，大连）如图5，将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪一下，余下部分的展开图为（）

（5）

7．（2006，广东课改区）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图6是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（）

A．0B．6C．快D．乐

（6）

题型2空间图形的三视图

1．（2006，海淀区）如右图所示，水杯的俯视图是（）

2．（2006，南安）右图中几何体的左视图是（）

3．（2006，温州）在下列几何体中，主视图是圆的是（）

4．（2006，成都）下图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

5．（2006，陕西）如右图，几何体的左视图是（）

6．（2006，绍兴）右图中几何体的正视图是（）

7．（2006，绍兴）右图中几何体的主视图是（）

8．（2006，深圳）如右图所示，圆柱的俯视图是（）

9．（2006，绵阳）右图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（）

10．（2006，广州）下图是一个物体的三视图，则该物体的形状是（）

A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．三棱柱

11．（2006，重庆）如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

12．（2006，苏州）对右图中的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（）

题型3三角形的基本概念

1．（2006，哈尔滨市）已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为_______cm．

2．（2006，白云区）∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，如果∠1=63°，那么∠3=____．

3．（2006，南京）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是_______°．

（1）

（2）（3）（4）

4．（2006，海淀区）如图2，已知AB∥CD，EF分别交于AB、CD于点E、F，∠1=60°，则∠2=______度．

5．（2006，绵阳）如图3，AB∥CD，直线L平分∠AOE，∠1=40°，则∠2=_____．

6．（2006，天津）如图4，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于_______（度）．

7．（2006，青岛）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=______°．

（4）（5）（6）（7）

8．（2006，浙江台州）正三角形的每一个内角都是_______度．

9．（2006，晋江）如图5，△ABC平移到△A′B′C′，则图中与线段AA′平行且相等的线段有______条．

10．（2006，烟台）如图6，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为________．

11．（2006，徐州）在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为_______．

12．（2006，广安市）如图7，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=______度．

（8）（9）（10）（11）

13．（2006，重庆）如图8，已知直线L1∥L2，∠1=40°，那么∠2=______度．

14．（2006，攀枝花）已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则∠A的平分线的长是_______cm．

15．（2006，浙江舟山）如图9，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是______．

16．（2006，盐城）已知：

如图10，L1∥L2，∠1=50°，则∠2的度数是（）

A．135°B．130°C．50°D．40°

17．（2006，浙江绍兴）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图11中以BC为公共边的“共边三角形”有（）

A．2对B．3对C．4对D．6对

18．（2006，白云区）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A．1，1，2B．3，7，11C．6，8，9D．3，3，6

19．（2006，广州）如图12，AB∥CD，若∠2=135°，那么∠1的度数是（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

（12）（13）（14）（15）

20．（2006，大连）如图13，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（）

A．42°B．64°C．48°D．24°

21．（2006，苏州市）如图14，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）

A．同位角相等，两直线平行；B．内错角相等，两直线平行；

C．同旁内角互补，两直线平行；D．两直线平行，同位角相等

22．（2006，淄博市）如图15，B是线段的AC中点，过点C的直线L与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P共有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

23．（2006，浙江）已知：

如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：

∠P=90°．

24．（2006，晋江）请在如图所示的方格中，画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形．

题型4三角形全等

1．（2006，浙江）如图1，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：

____________（写一个即可）．

（1）

（2）（3）

2．（2006，青岛）如图2，P是正三角形ABC的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为________，∠APB=________．

3．（2006，陕西）将一个无盖正方体纸盒展开（如图3①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图3②），则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是_________．

（4）（5）（6）

4．（2006，广东课改实验区）如图4，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=________．

5．（2006，上海市）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1还需添加一个条件，这个条件可以是_________．

6．（2006，天津）如图5，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

7．（2006，烟台）如图6，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于（）

A．60°B．105°C．120°D．135°

8．（2006，烟台）如图7，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）

A．25°B．30°C．45°D．60°

（7）（8）

9．（2006，烟台）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：

①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形．小华在图8中的

（1）的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在图8中的

（2）（3）的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．

10．（2006，温州）如图，点D、C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BC=DF，求证AB=EF．

11．（2006，广州）如图，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明．

①OA=OC，②OB=OD，③AB∥BC．

12．（2006，浙江绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：

如图，△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1．

求证：

△ABC≌△A1B1C1．

（请你将下列证明过程补充完整）

证明：

分别过点B，B作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D，

则∠BDC=∠B1D1C1=90°．

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1．

∴BD=B1D1．

______________________．

（2）归纳与叙述：

由

（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

13．（2006，黄冈）如图，DB∥AC，且DB=

AC，E是AC的中点，求证：

BC=DE．

14．（2006，浙江绍兴）如图，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图

（2）、（3）中画出两种不同的拼法．

15．（2006，重庆）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：

（1）△AEF≌△BCD；

（2）EF∥CD．

16．（2006，攀枝花）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．

所添条件为_______．

你得到的一对全等三角形是△________≌△__________．

题型5三角形相似

1．（2006，广州）在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长10m，则旗杆高为_______m．

2．（2006，白云区）小明的身高是1.6m，他的影长是2m，同一时刻一古塔的影长是1.8m，则该古塔的高度是______m．

3．（2006，烟台）如图1，请你补充一个你认为正确的条件，使△ABC∽△ACD：

_________．

（1）

（2）（3）（4）

4．（2006，浙江绍兴）已知△ABC∽△A1B1C1，AB：

A1B1=2：

3，则S△ABC与S△A1B1C1之比为_______．

5．（2006，绵阳）如图2，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG：

GA=3：

1，BC=10，则AE的长为________．

6．（2006，陕西）在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍，则这棵树的高度为______米．

7．（2006，南安）如图3，DE是△ABC的中位线，S△ADE=2，则S△ABC=_______．

8．（2006，广安）如图4，Rt△ABC，斜边AC上有一动点D（不与点A、C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有_____条．

9．（2006，淄博）如图5，已知ABC的面积S=1．

在图

（1）中，若

=

，则S△A1B1C1=

．

在图

（2）中，若

=

，则S△A2B2C2=

．

在图（3）中，若

=

，则S△A3B3C3=

．

按此规律，若

=

，则S△A8B8C8=_______．

（5）（6）

10．（2006，大连）如图6，若A、B、C、D、E、F、G、H、O都是5×7方格纸中的格点，为使△DME∽△ABC，则点M应是F、G、H点中的（）

A．FB．GC．HD．O

11．（2006，天津）如图7，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）

A．4对B．5对C．6对D．7对

（7）（8）（9）（10）

12．（2006，绵阳）如图8，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：

DB′=（）

A．1：

2B．1：

2

C．1：

D．1：

3

13．（2006，深圳）如图9，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）

A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米

14．（2006，淄博市）如图10，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）

A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米

15．（2006，上海市）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG的长为（）

A．2B．3C．6D．12

题型6综合与创新

1．（2006，旅顺口）操作：

如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN．

探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．

附加题：

若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

①②③④

2．（2006，广州）在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合）．

（1）如图1，当∠C>60°，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；

（2）当∠C=60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；

（3）当∠C<60°，请你在图2中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在

（1）、

（2）中得出的结论是否成立？

并说明理由．]

（1）

（2）

3．（2006，攀枝花）某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10m、20m的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？

并说明理由．

4．（2006，苏州市）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点．EF与BD相交于点M．

（1）求证：

△EDM∽△FBM；

（2）若DB=9，求BM．

5．（2006，淄博市）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，

（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．

6．（2006，淄博）如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和ABC，E、A、C在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

题型7中考新题型

1．（2006，烟台）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块．

（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：

图号

顶点数x

棱数y

面数z

（a）

8

12

6

（b）

（c）

（d）

（e）

（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．

2．（2006，广东课改实验区）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；

（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．

【热点试题详解】

题型1

1．学点拨：

已知这是一个正方体的表面展开图，共有6个面，可动手操作，仔细观察；还可以想像，把想像的样子亲自折一折，便会得出答案．

2．A点拨：

通过想像，把想像的样子自己折一折，得出答案．

3．A点拨：

仔细观察，找出露出的表面有多少个正方形．

4．C5．B

6．D点拨：

可自己动手实践一下．

7．B

题型2

1．D点拨：

通过想像，找出问题的答案．

2．A3．D4．D5．B6．A7．C8．C9．A

10．A点拨：

要熟悉常见物体的三视图，培养空间想象能力．

11．B12．B

题型3

1．1或5点拨：

此题分两种情况，一是点O在线段AB上，EF=

OA+

OB=5cm；二是点O在线段BA的延长线上，EF=

OB-

OA=1cm．

2．153°点拨：

∵∠1+2=90°，∠1=63°，

∴∠2=90°-∠1=90°-63°=27°．

∵∠2+∠3=180°，

∴∠3=180°-∠2=180°-27°=153°．

3．40点拨：

∠CBD=90°-∠A=90°-50°=40°．

4．60点拨：

由两直线平行，同位角相等得出答案．

5．70°点拨：

由平行线性质得出答案．

6．30°点拨：

由等边三角形和等腰三角形性质解答．

7．82.5点拨：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=

（180°-∠A）=65°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=

∠ABC=32.5°，而∠BDC是△ABD的外角．

∴∠BDC=∠A+∠ABD=82.5°．

8．609.2

10．60°点拨：

∵∠1+∠2+（180°-∠C）=360°-（∠A+∠B）．

∴∠1+∠2=80°，∵∠1=20°，∴∠2=60°．

11．7点拨：

∵AB边上的中线CD=3，AB=6，

∴△ABC是直角三角形．

∴AC2+BC2=AB2=36．

∵AC+BC=8．

∴2AC·BC=（AC+BC）2-（AC2+BC2）=64-36=28，

∴AC．BC=14，

∴S△ABC=

AC·BC=7．

12．95点拨：

如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD．

∴∠ABE+∠BEF=180°，

∴∠BEF=180°-∠ABE=60°，

∵EF∥CD，

∴∠FEC=∠DCE=35°，

∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．

13．40点拨：

由平行线性质解答．

14．8点拨：

如图，

∵AB=AC，

AD是∠A的平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD．

在Rt△ABD中，AB=10，BD=

BC=6，

∴AD=

=8．

15．三角形的稳定性

16．B点拨：

∵L1∥L2，∴∠1+∠2=180°，

即∠2=180°-∠1=130°．

17．B点拨：

△ABC，△BDC，△BEC．

18．C点拨：

由三角形三边不等关系进行判断．

19．B点拨：

∵AB∥CD，

∴∠1+∠2=180°．

∴∠1=180°-∠2=45°．

20．A点拨：

∵SQ⊥QR，∴∠SQR=90°．

∵QT⊥PQ，∴∠PQT=90°．

∴∠PQS=∠PQR-∠SQR=138°-90°=48°，

∠SQT=∠PQT-∠PQS=90°-48°=42°．

21．A

22．A点拨：

以点B为圆心，BA为半径画圆弧与直线