分式方程无理方程和高次方程的解法讲练.docx

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分式方程无理方程和高次方程的解法讲练

第一讲分式方程（组）的解法

分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大（或缩小）未知数的取值围，故必须验根．

　　例1解方程

　　解令y=x2＋2x-8，那么原方程为

去分母得

　　y（y-15x）＋（y+9x）（y-15x）＋y（y＋9x）=0，

　　y2-4xy-45x2=0，

　　（y+5x）（y-9x）=0，

所以y=9x或y=-5x．

由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．

　　经检验，它们都是原方程的根．

　　例2解方程

y2-18y+72=0，

所以y1=6或y2=12．

x2-2x＋6=0．

此方程无实数根．

x2-8x+12=0，

所以x1=2或x2=6．

　　经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．

　　例3解方程

　　分析与解我们注意到：

各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为

整理得

去分母、整理得

x＋9=0，x=-9．

　　经检验知，x=-9是原方程的根．

　　例4解方程

　　分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为

即

所以

　　　　　　　（（x+6）（x+7）=（x+2）（x+3）．

　　例5解方程

　　分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为

整理得

去分母得

x2＋9x-22＝0，

解得x1=2，x2=-11．

　　经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．

　　例6解方程

次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为

所以

　　　　　　x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．

　　例7解方程

　　分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为

当x≠0时，解得x=±1．

　　经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．

　　说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．

　　例8解方程

　　解将原方程变形为

　　例9解关于x的方程

　　将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2（b-a），所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．

　　例10如果方程

只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．

　　分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得

2x2-2x+（a+4）=0．①

原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：

（1）方程①有两个相等的实数根，即

△=4-4·2（a+4）=0．

（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．

　　（i）当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1（因为2x2-2x=0，x（x-1）=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根）．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．

　　（ii）当x=2时，代入①式，得

2×4-2×2＋（a+4）=0，

即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1（因为2x2-2x-4=0．（x-2）（x+1）=0，所以x1=2（增根），x2=-1）．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．

　　因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是

练习一

　　1．填空：

　　（3）如果关于x的方程

有增根x=1，则k=____．

　　2．解方程

　　3．解方程

　　4．解方程

　　5．解方程

　　6．解方程

　　7．m是什么数值时，方程　

有根？

第二讲无理方程的解法

未知数含在根号下的方程叫作无理方程（或根式方程），这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：

乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．

　　例1解方程

　　解移项得

两边平方后整理得

再两边平方后整理得

x2＋3x-28＝0，

所以x1=4，x2=-7．

　　经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．

　　说明用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

　　例2解方程

方公式将方程的左端配方．将原方程变形为

所以

两边平方得

3x2+x=9-6x＋x2，

两边平方得

3x2+x=x2＋6x＋9，

　　例3解方程

即

所以

移项得　

　　例4解方程

　　解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为

配方得

利用非负数的性质得

所以x=1，y=2，z=3．

　　经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．

　　例5解方程

所以

将①两边平方、并利用②得

x2y2＋2xy-8=0，

（xy＋4）（xy-2）=0．

xy=2．　　　　　　　③

　　例6解方程

　　解观察到题中两个根号的平方差是13，即

②÷①便得

由①，③得　　

　　例7解方程

　　分析与解注意到

　　　　（2x2-1）-（x2-3x-2）=（2x2+2x+3）-（x2-x+2）．

设

则

u2-v2＝w2-t2，　①

u+v=w+t．　　②

因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得

　　　　　　　　　　　　　u-v=w-t．　　　　　　　　③

②＋③得u=w，即

解得x=-2．

　　经检验，x=-2是原方程的根．

　　例8解方程

整理得　　　　　　y3-1=（1-y）2，

即　　　　　　　　（y-1）（y2+2）=0．

解得y=1，即x=-1．

　　经检验知，x=-1是原方程的根．

整理得　　　　　　y3-2y2+3y=0．

解得y=0，从而x=-1．

　　例9解方程

边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．

　　根据合分比定理得

两边平方得

再用合分比定理得

化简得x2=4a2．解得x=±2a．

　　经检验，x=±2a是原方程的根．

练习二

　　1．填空：

　　2．解方程

　　3．解方程

　　4．解方程

　　5．解方程

　　6．解关于x的方程

第三讲简易高次方程的解法

在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．

　　例1解方程

x3-2x2-4x＋8=0．

　　解原方程可变形为

x2（x-2）-4（x-2）=0，

（x-2）（x2-4）=0，

（x-2）2（x+2）=0．

所以

x1＝x2＝2，x3=-2．

　　说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样

=0可化为

bkx3+bx2+dkx+d=0，

即（kx+1）（bx2+d）=0．

　　方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．

　　例2解方程

　　　　（x-2）（x＋1）（x＋4）（x+7）=19．

　　解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得

（x2+5x-14）（x2＋5x＋4）=19．

设

（y-9）（y+9）=19，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y2-81＝19．

　　说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．

　　例3解方程

（6x＋7）2（3x+4）（x+1）=6．

　　解我们注意到

　　　　2（3x+4）=6x＋8=（6x+7）+1，

　　　　6（x+1）=6x＋6=（6x＋7）-1，

所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令

y=6x＋7，①

由（6x＋7）2（3x＋4）（x＋1）=6得

（6x＋7）2（6x＋8）（6x＋6）=6×12，

即

y2（y＋1）（y-1）=72，

y4-y2-72＝0，

（y2＋8）（y2-9）=0．

因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为

　　例4解方程

12x4-56x3+89x2-56x+12=0．

　　解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：

x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由

　　例5解方程

　　解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．

所以

　　经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．

　　例6解方程

（x+3）4+（x+1）4=82．

　　分析与解由于左边括号的两个二项式只相差一个常数，所以设

于是原方程变为

（y＋1）4＋（y-1）4＝82，

整理得

y4+6y2-40=0．

解这个方程，得y=±2，即

x+2=±2．

解得原方程的根为x1=0，x2=-4．

　　说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如

（x＋a）4＋（x+b）4=c

　　例7解方程

　　　　　x4-10x3-2（a-11）x2＋2（5a+6）x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．

　　解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难（当然想办法因式分解是可行的，但不易看出），我们把方程写成关于a的二次方程形式，即

　　　　a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3＋22x2+12x）=0，

　　　　△=4（x2-5x-1）2-4（x4-10x3＋22x2＋12x）

　　　　　=4（x2-2x+1）．

所以

所以

a=x2-4x-2或a=x2-6x．

从而再解两个关于x的一元二次方程，得

练习三

　　1．填空：

（1）方程（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）=24的根为_______．

（2）方程x3-3x＋2=0的根为_____．

　　（3）方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．

　　（4）方程（x2+3x-4）2＋（2x2-7x＋6）2=（3x2-4x+2）2的根为______．

　　2．解方程

（4x＋1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x4．

　　3．解方程

x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．

　　4．解方程　

　　5．解方程

（x+2）4+（x-4）4=272．

　　6．解关于x的方程

x3+（a-2）x2-（4a+1）x-a2＋a+2=0．

第四讲有关方程组的问题

在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．

　　1．二元二次方程组

　　解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．

　　由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．

　　如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．

　　例1解方程组

　　解②×2-①×3得

4x＋9y-6＝0．

　　方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．

　　例2解方程组

　　解②×（-2）+①得

3y2+3y-6=0，

所以y1=1，y2=-2．

解方程组

与

得原方程组的解

　　方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．

　　例3解方程组

　　解由②得

（2x+y）（x-2y）=0，

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　2x+y=0或x-2y=0．

因此，原方程组可化为两个方程组

与

解这两个方程组得原方程组的解为

　　如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．

　　例4解方程组

　　解由①-②×2得

x2-2xy-3y2=0，

即（x+y）（x-3y）=0，

所以x＋y=0或x-3y=0．

分别解下列两个方程组

得原方程组的解为

　　2．二元对称方程组

　　方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如

x2-5xy＋y2-3x-3y=7，

等都是二元对称方程．

　　由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如

等都是二元对称方程组．

　　我们把

叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．

　　例5解方程组

　　解方程组中的x，y分别是新方程

m2-5m+4=0

的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是

　　这个方程组亦可用代入法求解（略）．

　　由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．

　　例6解方程组

　　解原方程组可变形为

①×2＋②得

令u=x＋y，则

即

而方程组

无实数解．

　　综上所述，方程组的解为

　　例7解方程组

　　分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．

　　解由①得

xy=16．④

由②，④可得基本对称方程组

于是可得方程组的解为

　　例8解方程组

　　分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．

　　解①-②，再因式分解得

（x-y）（x+y-10）=0，

所以x-y-0或x＋x-10=0．　　　　

解下列两个方程组

得原方程组的四组解为

　　例9解方程组

解法1用换元法．设

4x＋5=A，4y+5=B，

则有

即

③-④并平方得

整理得

所以

因此A-B=0或

分别解下列两个方程组

与

　　经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是

　　解法2①-②得

即

所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得

所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而

x-1=0，y-1=0．

由此解得

　　经检验，x=1，y=1是方程组的解．

练习四

　　1．填空：

（1）方程组

的解有_____组．

（2）若x，y是方程组

　　（3）已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．

　　（4）已知实数x，y，z满足方程组

则xyz=________．

　　2．解方程组：

　　3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若

　　4．已知一元二次方程

a（x＋1）（x+2）+b（x+2）（x＋3）＋c（x＋3）（x＋1）=0

有两根0，1，求a∶b∶c．

　　5．

（1）解方程组