高中物理竞赛教程超详细 第十讲 几何光学.docx

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高中物理竞赛教程超详细第十讲几何光学

高中物理竞赛教程（超详细）第十讲几何光学.txt7温暖是飘飘洒洒的春雨；温暖是写在脸上的笑影；温暖是义无反顾的响应；温暖是一丝不苟的配合。

8尊重是一缕春风，一泓清泉，一颗给人温暖的舒心丸，一剂催人奋进的强心剂　　第一讲几何光学

　　§1.1几何光学基础

　　1、光的直线传播：

光在同一均匀介质中沿直线传播。

　　2、光的独立传播：

几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。

　　3、光的反射定律：

　　①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；

　　②反射光线和入射光线分居法线两侧；

　　③反射角等于入射角。

　　4、光的折射定律：

　　①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；

　　②折射光线和入射光线分居法线两侧；

　　③入射角与折射角满足；

　　④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角）。

§1.2光的反射

　　1.2.1、组合平面镜成像：

　　1.组合平面镜由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。

先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、、三个虚像。

用几何的方法不难证明：

这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着

　　对称关系。

用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。

　　两面平面镜AO和BO成60o角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：

①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于和；③过和作BO和AO的垂线与圆交于和；④过和作AO和BO的垂线与圆交于，便是S

　　在两平面镜中的5个像。

　　双镜面反射。

如图1-2-3，两镜面间夹角=15o,OA=10cm，A点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？

　　如图1-2-4所示，光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,，且∠。

上述均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。

设是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是<90o，。

取n=5，∠，总路程。

　　2、全反射

　　全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角时，光线发生全反射。

　　全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分--光导纤维，就是利用光的全反射现象。

图1-2-5是光导纤维的示意图。

AB为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？

　　图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。

　　只要即可。

　　例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。

某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。

试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在上把这部分涂以标志。

　　分析:

本题考查平面镜成像规律及成像作图。

人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。

由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。

可以通过两种方法来解这个问题。

　　解法一：

相对于平面镜AB作出人眼S的像。

连接Sa并延长交平面镜于点C，连接与点C并延长交米尺于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接并延长交米尺于点F，且与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。

E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。

　　解法二：

根据平面镜成像的对称性，作米尺及屏MN的像，分别是及，a、b的像分别为，如图1-2-8所示。

连接Sa交AB于点C，延长并交于点，过点作的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接交AB于点D，延长并交于点，过点作（AB）的垂线交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。

EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。

　　点评：

平面镜成像的特点是物与像具有对称性。

在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。

　　例2、两个平面镜之间的夹角为45o、60o、120o。

而物体总是放在平面镜的角等分线上。

试分别求出像的个数。

　　分析：

由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。

在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。

　　解：

设两平面镜A和B的夹角为2θ，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示。

以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。

由平面镜A成的像用表示，由平面镜B成的像用表示。

由图不难得出：

　　在圆弧上的角位置为

　　在圆弧上的角位置为

　　。

　　其中k的取值为k=1，2，...

　　若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，

　　则

　　即

　　当时，k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示；

　　当时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；

　　当时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。

　　例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。

图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72o，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。

　　1、1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。

　　2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。

　　本题只要求画出示意图，但须力求准确。

　　解:

本题的答案如图1-2-13所示。

　　例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。

棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。

试证明：

经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。

　　解:

如图1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。

光线自透明表面的a点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。

可以看得出，在DE面的b点；

　　入射角为

　　反射角为

　　在四边形bEAC中，

　　而

　　=

　　于是，

　　在△cdb中

　　∠cdb=180o

　　=180o

　　这就证明了：

进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。

　　由于棱镜的C角是直角，=360o-270o-∠dec=90o-∠dec=。

设棱镜的折射率为n，根据折射定律有

　　总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。

只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角--90o。

　　例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。

试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。

已知玻璃的折射为1.5。

　　分析:

如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。

如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。

因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。

　　解:

当最内侧光的入射角α大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。

　　即要求

　　而

　　所以

　　即

　　故

　　点评对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即"边界光线"的表现是解决此类问题的关键。

　　例7．普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。

现在利用普通光纤测量流体F的折射率。

实验方法如下：

让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。

令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。

经端面折射进入光纤，在光纤中传播。

由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图1-2-18所示。

最后光从另一端面出射进入流体F。

在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏D至距光纤出射端面处，再测出圆形光斑的直径，如图1-2-19所示。

（1）若已知A和B的折射率分别为与。

求被测流体F的折射率的表达式。

（2）若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？

　　分析光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出。

　　解:

（1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。

设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。

若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得

　　90o①

　　②

　　当i大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。

而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。

因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于，的值由下式决定：

　　③

　　与对应的α值为

　　④

　　当，即时，或时，由O发出的光束中，只有的光线才满足的条件下，才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

　　⑤

　　若，即时，则由O发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

　　⑥

　　端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为，由②式可知

　　⑦

　　由⑥、⑦式可得，当时，

　　⑧

　　由③至⑦式可得，当时，

　　⑨

　　的数值可由图1-2-21上的几何关系求得为

　　⑩

　　于是的表达式应为

　　（11）

　　（12）

（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、、、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。

已知空气的折射率等于1，故有

　　当时，

　　（13）

　　当时

　　（14）

　　将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得

　　（15）

　　此结果适用于为任何值的情况。

§1.3光的折射

　　1.3.1、多层介质折射

　　如图：

多层介质折射率分别为则由折射定律得：

　　1.3.2、平面折射的视深

　　在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。

　　设水相对于空气的折射率为，由折射定律得

　　令OM=x，则

　　于是

　　上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，，则，于是

　　这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。

　　如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。

若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。

　　图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得

　　，，，

　　故两像间距离为。

　　1.3.3、棱镜的折射与色散

　　入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知

　　其中

　　①当，α很小时，即

　　δ=（n-1）α

　　厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。

设物点S离光楔L则像点在S的正上方。

　　h=lδ=（n-1）αl。

　　②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，，。

　　或者

　　这为棱镜的最小偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。

　　由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。

虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。

阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。

形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。

由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。

　　1.3.4、费马原理

　　费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。

　　费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。

例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。

如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。

此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。

　　一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。

在透镜外主光轴上取一点，（图1-3-8）。

当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。

试问：

（1）透镜凸面应取什么形状？

（2）透镜顶点A与点O相距多少？

（3）对透镜的孔径R有何限制？

　　解:

根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线与任一条光线的光程应相等。

由此可以确定凸面的方程。

其余问题亦可迎刃而解。

（1）取坐标系如图，由光线和的等光程性，得

　　整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为

　　令，，则上式成为

　　这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。

（2）透镜顶点A的位置应满足

　　或者

　　可见，对于一定的n和，由R决定。

　　（3）因点在透镜外，即，这是对R的限制条件，有

　　即要求

　　讨论在极限情形，即时，有如下结果：

　　即点A与点重合。

又因

　　a=0

　　故透镜凸面的双曲线方程变为

　　即

　　双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。

考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系

　　故，

　　即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角θ就是全反射的临界角。

　　例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。

O为圆心。

已知玻璃的折射率为。

当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。

求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？

　　分析:

如图1-3-11所示。

进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。

　　解:

图1-3-11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有

　　即

　　这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。

MN面上OE即是出射光的宽度。

　　讨论如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？

参见图1-3-13所示，由折身定律，得，，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。

考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有，而，即有，因EA与OB平行，所以，所以，即射向A点左边MA区域的折射光（）因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为。

　　点评正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。

　　例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化

　　一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角α出射（图1-3-14）。

求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。

（设）。

　　解:

首先考虑光的路线（图1-3-15）。

对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律

　　，

　　更简单的形式是

　　这个公式对任意薄层都是成立的。

在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即

　　在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即为常数，于是在平板内任一点有

　　与x的关系已知，因此沿平板中的光束为

　　图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有

　　现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。

按折射定律，当光在A点射出时，有

　　因为，故有

　　于是

　　因此

　　在本题情形

　　根据

　　得出A点的x坐标为x=1cm。

　　光线的轨迹方程为

　　代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm

　　例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。

请求出：

位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。

　　解:

本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。

如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。

由折射定律，按图上标记的各相关角度有

（1）

（2）

　　其中

　　（3）

　　如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。

全反射临界角γ。

应满足条件

　　可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

　　（4）

　　或（5）

　　现在计算，利用（3）式可得

　　由

（1）式可得

　　由此

　　又由

（1）式

　　（6）

　　由图及

（1）、

（2）式，或由（6）式均可看出，α越大则γ越小。

因此，如果与α值最大的光线相应的γ设为，则任何光线都不能射出液面。

反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。

由此极端情况即可求出本题要求的条件。

　　自C点发出的α值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由（6）式可知与之相应的；

　　能观察到亮点的条件为

　　即

　　上式可写成

　　取平方

　　化简后得

　　故

　　平方并化简可得

　　这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与φ之间应满足条件。

　　例4、如图1-3-19所示，两个顶角分别为和的棱镜胶合在一起（）。

折射率由下式给出：

　　；

　　其中

　　1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长。

确定此情形的折射率和。

　　2、画出入射角相同的、波长为、和的三种不同光线的路径。

　　3、确定组合棱镜的最小偏向角。

　　4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。

　　解:

1、如果，则从不同方向到达AC面的波长为的光线就不折射，即

　　因而

　　在此情形下。

　　2、对波长比长的红光，和均小于1.5。

反之，对波长比短的蓝光，两个折射率均比1.5要大。

现在研究折射率在AC面上如何变化。

我们已知道，对波长为的光，。

　　如果考虑波长为而不是的光，则由于，所以。

同理，对蓝光有。

现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了（图1-3-20）。

　　3、对波长为的光，组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为n=1.5的单一棱镜。

　　我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图1-3-21中的α角相等时发生。

　　根据折射定律，

　　因而

　　偏向角为

　　4、利用图1-3-22中的数据，可以写出

　　；

　　消去α后得

　　经变换后得

　　这是的二次方程。

求解得出

　　例5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。

已知玻璃对绿光的折射率为，液体对绿光的折射率为。

当容器壁的内、外半径之比r：

R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

　　分析:

所谓"从容器侧面能看到容器壁厚为零"，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射。

因为题中未给出、的大小关系，故需要分别讨论。

　　解:

（1）当时，因为是要求r：

R的最小值，所以当时，应考虑的是图1-3-23中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

　　设此时容器内壁半径为，在直角三角形BCO中，。

当时，C处不可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当时，荧光液体中很多点发出的光都能在C处发生临界折射，所以只要满足

　　即可看到壁厚为零。