哈工大任选课数学建模结课作业.docx
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哈工大任选课数学建模结课作业
数学建模作业
1122110307
江世凯
题目
（一）
某银行经理计划用一笔资金进行证券投资业务，可供购进的证券及其相应信息如下表所示，且有如下规定和限制：
（1）市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需要按50%的税率纳税；
（2）政府及代办机构的证券总共至少购进400万元；
（3）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级越小，信用程度越高）；
（4）所购证券的平均到期年限不超过5年；
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益率（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
请回答下列问题：
（1）若该经理有1000万资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元，该经理应该如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
注：
为简化问题起见，题中的税前收益率和利率都与年限无关，即都为固定值。
一、模型假设
1、假设证劵税收政策、信用等级、到期年限、到期税前收益在投资年限内稳定不变；
2、假设该经理投资不会受到年限过长而导致资金周转困难的影响；
3、假设各证劵的风险损失率为零，无相互影响，且投资不需要任何交易费；
4、假设所借贷资金的利率不变（利息等于所给的利率乘上借贷资金再乘上借贷时间）。
二、符号说明
符号
说明
单位
Xi
投资证劵的金额（i=1,2,3,4,5）
（万元）
YJ
是否投资证券（j=1,2,3,4,5）
（万元）
Z
投资之后所获得的总收益
（万元）
F
借贷金额
（万元）
T
借贷时间
（年）
S
贷款利息
（万元）
R
利润变化量
（万元）
表2
三、问题分析
根据现有的投资方式，为解决投资方案问题，运用0-1规划和连续性规划模型，根据客观条件，来确定各种投资方案。
利用线性规划模型，得到最优投资方案来解决已提出的问题，使该经理的投资获得最大的收益。
问题1：
在前面假设成立的条件下，由题目给出的限制条件（市政证券的收益可以免税；其他证券的收益按50%的税率纳税，即政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4,所购证券的平均到期年限不超过5年）假设Xi（i=1,2,3,4,5）分别为证券A、证券B、证券C、证券D、证券E的投入资金,所获得的纯利润为Z，假设税前收益为年收益。
对于平均信用等级和平均到期年限则需用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级乘以相应的权值，然后相加，所得之和再除以所有的权之和。
然后建立0-1规划模型，利用LINGO软件求解。
问题2：
该题又引入了借贷资金，我们假设借贷资金为F万元,借贷时间为T=1。
由问题2知借贷利率为2.75%，则借贷利息为0.0275F，因此需要用总利润减去借贷利息所得到的值才为该经理的纯利润。
再与借贷利息相比，可以得出投入100万元所得的收益。
问题3：
需要分两种情形，第一种情形，在假设成立的条件下，同问题1一样，只是把A证券的税前收益增加为4.5%，同样可以得到线性优化模型。
第二种情形，在假设成立的条件下，同问题1一样，只是把C证券的税前收益减少为4.8%，同样可以得到线性优化模型。
四、模型的建立与求解
模型建立：
对于问题1：
在前面假设成立的条件下，由题目给出的限制条件（市政证券的收益可以免税；其他证券的收益按50%的税率纳税，即政府及代办机构的证券总共至少需购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4,所购证券的平均到期年限不超过5年）假设Xi（i=1,2,3,4,5）分别为证券A、证券B、证券C、证券D、证券E的投入资金,所获得的总利润为Z，假设税前收益为年收益。
对于平均信用等级和平均到期年限则需用加权算术平均值的算法求得，即用各个信用等级乘以相应的权值，然后相加，所得之和再除以所有的权之和。
我们建立了如下0-1规划模型：
即MaxZ=0.043X1*Y1+（0.054
0.5）X2*Y2+（0.05
0.5）X3*Y3+（0.044
0.5）X4*Y4+0.045X5*Y5
X1+X2+X3+X4+X5<=1000
S.tX2+X3+X4>=400
（2X1+2X2+X3+X4+5X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=1.4
（X1+15X2+4X3+3X4+2X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=5
Xi>=0,i=1,2,3,4,5
Yj=0或1，j=1,2,3,4,5（指定0-1变量）
模型整理得：
MaxZ=0.043X1*Y1+0.027X2*Y2+0.025X3*Y3+0.022X4*Y4+0.045X5*Y5
X1+X2+X3+X4+X5<=1000
S.tX2+X3+X4>=400
6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=0
4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0
Xi>=0,i=1,2,3,4,5
Yj=0或1，j=1,2,3,4,5（指定0-1变量）
模型求解：
（LINGO程序见附录）
应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=29.84万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表：
表3五种证券类型最优投入的资金方法
证券类型
A
B
C
D
E
Z
投资金额（万元）
218.18
0
736.34
0
45.45
29.84
数值
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
投资对象
1
0
1
0
1
由运算结果可以看出对于B证券和D证券不需要投资。
对于B证券它的到期年限相对较
长而且还需纳50%的税率，相对于其他证券类型这显然是不理想的；对于D证券它的税前收益相对较低也是不理想的；而A证券和C证券信用等级、到期年限都是较低的税前收益也可以（A证券还可以免税）；E证券信用等级较低，但到期年限较短可以适量投资。
所以我们认为这一优化模型是合理的。
模型建立：
对于问题2：
该题又引入了借贷资金，我们假设借贷资金为F万元,借贷时间为T=1。
由问题2知借贷利率为2.75%，则借贷利息为0.0275F，这样需要用总利润减去借贷利息所得值才为该经理的纯利润。
我们建立了以下线性优化模型：
即：
MaxZ=0.043X1+（0.054
0.5）X2+（0.05
0.5）X3+（0.044
0.5）X4+0.045X5-0.0275F*T
X1+X2+X3+X4+X5<=1000+F
X2+X3+X4>=400
S.t（2X1+2X2+X3+X4+5X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=1.4
（X1+15X2+4X3+3X4+2X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=5
X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0
F<=100
T=0
模型整理得：
MaxZ=0.043X1+（0.054
0.5）X2+（0.05
0.5）X3+（0.044
0.5）X4+0.045X5-0.0275F*T
X1+X2+X3+X4+X5<=1000+F
X2+X3+X4>=400
S.t6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=0
4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0
X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0
F<=100
T=1
模型求解：
（LINGO程序见附录）
应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=30.07万元，五种证券类型最优投入的资金方法和借贷资金如下表：
证券类型
A
B
C
D
E
F
投资金额（万元）
240.00
0
810.00
0
50.00
100.00
表4五种证券类型最优投入的资金方法和借贷资金
有结果可以看出，同问题一的运算结果一样对于B证券和D证券不需要投资。
对于B证券它的到期年限相对较长而且还需纳50%的税率，相对于其他证券类型这显然是不理想的；对于D证券它的税前收益相对较低也是不理想的；在增加资金投入的情况下A证券和C证券、E证券相对问题一的结果几乎是成比例增加的。
因此，该模型也是合理的。
比较问题1和问题2，当投资1000万元所得纯利润Z=29.84，当投资1100万元资金所得纯利润Z=30.07。
即当多投资100万元时，利润多增加R=0.23万元。
而借贷100万元所需要利息S=100*0.0275*1,即S>R，说明投入100万元所得的收益为负值该经理不应贷款投资。
模型建立：
对于问题3：
第一种情形：
在假设成立的条件下，同问题2一样，只是把A证券的税前收益增加为4.5%，同样可以得到如下线性优化模型：
即：
MaxZ=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5
X1+X2+X3+X4+X5<=1000
X2+X3+X4>=400
S.t（2X1+2X2+X3+X4+5X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=1.4
（X1+15X2+4X3+3X4+2X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=5
X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0
模型整理得：
MaxZ=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5
X1+X2+X3+X4+X5<=1000
X2+X3+X4>=400
S.t6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=0
4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0
X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0
模型求解：
（LINGO程序见附录）
应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=30.27万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表：
表5五种证券类型最优投入的资金方法
证券类型
A
B
C
D
E
投资金额（万元）
218.18
0
736.36
0
45.45
第二种情形：
在假设成立的条件下，同问题2一样，只是把C证券的税前收益减少为4.8%，同样可以得到如下线性优化模型：
即：
MaxZ=0.043X1+（0.054
0.5）X2+（0.048
0.5）X3+（0.044
0.5）X4+0.045X5
X1+X2+X3+X4+X5<=1000
X2+X3+X4>=400
S.t（2X1+2X2+X3+X4+5X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=1.4
（X1+15X2+4X3+3X4+2X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=5
X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0
模型整理得：
MaxZ=0.043X1+0.027X2+0.024X3+0.022X4+0.045X5
X1+X2+X3+X4+X5<=1000
X2+X3+X4>=400
S.t6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=0
4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0
X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0
模型求解：
（LINGO程序见附录）
应用LINGO求解可得银行经理的最大收益为Z=29.42万元，五种证券类型最优投入的资金方法如下表：
表6五种证券类型最优投入的资金
证券类型
A
B
C
D
E
投资金额（万元）
336.00
0
0
648.00
16.00
对于第一种情形由运算结果分析，在证券A的税前收益增加为4.5%的情况下，对于X1，X3,X5的投入金额没有发生变化，只是总收益有所增加，所以该投资方案不需要改变。
对于第二种运算结果分析，在证券C的税前收益减少为4.8%的情况下，对于证券投资的种类发生了变化，投资对象变为了X1（市政）、X4（政府2）、X5（市政2），所以投资方案应改变。
对于模型1：
LINGO程序如下：
Max=0.043*x1*y1+0.027*x2*y2+0.025*x3*y3+0.022*x4*y4+0.045*x5*y5;
x2+x3+x4>=400;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;
@BIN（y1）;@BIN（y2）;@BIN（y3）;@BIN（y4）;@BIN（y5）;
运算结果：
Rows=10Vars=10No.integervars=5
Nonlinearrows=1Nonlinearvars=10Nonlinearconstraints=0
Nonzeros=35Constraintnonz=23Density=0.318
No.<:
3No.=:
0No.>:
6,Obj=MAXSinglecols=5
Localoptimalsolutionfoundatstep:
6
Objectivevalue:
29.83636
Branchcount:
0
VariableValueReducedCost
X1218.18180.0000000
Y11.0000002.045455
X20.00000000.0000000
Y21.0000000.0000000
X3736.36360.0000000
Y31.0000000.0000000
X40.00000000.0000000
Y41.0000000.0000000
X545.454550.0000000
Y51.0000000.0000000
RowSlackorSurplusDualPrice
129.836360.6181818E-03
2336.36360.0000000
30.00000000.0000000
4-0.4547474E-120.0000000
5-0.2273737E-120.0000000
6218.18180.0000000
70.00000000.0000000
8736.36360.0000000
90.00000000.0000000
1045.454550.0000000
对于模型2：
LINGO程序如下：
Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-t*f*0.0275;
x2+x3+x4>=400;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000+f;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;
f<=100;
t=1;
运算结果：
Rows=6Vars=6No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=29Constraintnonz=20（11are+-1）DensitZ=0.690
Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.220000E-011000.00
No.<:
4No.=:
0No.>:
1,Obj=MAX,GUBs<=2
Singlecols=0
Globaloptimalsolutionfoundatstep:
10
Objectivevalue:
30.07000
VariableValueReducedCost
X1240.00000.0000000
X20.00000000.3018182E-01
X3810.00000.0000000
X40.00000000.6363640E-03
X550.000000.0000000
T1.0000000.0000000
F100.00000.0000000
RowSlackorSurplusDualPrice
130.070001.000000
2410.00000.0000000
30.00000000.2983636E-01
40.00000000.6181818E-03
50.00000000.2363636E-02
60.00000000.2336364E-02
70.0000000-2.750000
对于模型3：
第一种情形：
LINGO程序如下：
Max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;
x2+x3+x4>=400;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;
运算结果：
Rows=5Vars=5No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=25Constraintnonz=18（9are+-1）DensitZ=0.833
Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.220000E-011000.00
No.<:
3No.=:
0No.>:
1,Obj=MAX,GUBs<=1
Singlecols=0
Globaloptimalsolutionfoundatstep:
6
Objectivevalue:
30.27273
VariableValueReducedCost
X1218.18180.0000000
X20.00000000.3436364E-01
X3736.36360.0000000
X40.00000000.2727279E-03
X545.454550.0000000
RowSlackorSurplusDualPrice
130.272731.000000
2336.36360.0000000
30.00000000.3027273E-01
40.00000000.6363636E-03
50.00000000.2727273E-02
第二种情形：
LINGO程序如下：
Max=0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5;
x2+x3+x4>=400;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;
运算结果：
Rows=5Vars=5No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=25Constraintnonz=18（9are+-1）DensitZ=0.833
Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.220000E-011000.00
No.<:
3No.=:
0No.>:
1,Obj=MAX,GUBs<=1
Singlecols=0
Globaloptimalsolutionfoundatstep:
8
Objectivevalue:
29.42400
VariableValueReducedCost
X1336.00000.0000000
X20.00000000.3064000E-01
X30.00000000.4400005E-03
X4648.00000.0000000
X516.000000.0000000
RowSlackorSurplusDualPrice
129.424001.000000
2248.00000.0000000
30.00000000.2942400E-01
40.00000000.6360000E-03
50.00000000.2440000E-02
题目
（二）
在甲乙双方的一场战争中，部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，乙方封锁了所有水陆交通通道，因此被包围的甲方只能依靠空中交通维持补给，运送4个月的供给依此分别需要2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成，每架飞机都需要3名飞行员，每架飞机每月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，每次执行完运输飞行任务后的返回途中有20%的飞机被乙方部队击落，导致机上的飞行员也牺牲或失踪。
在第一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查磨合后才可以投入使用，新飞行员也必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能成为熟练飞行员而投入飞行（作为教练的熟练飞行员本月不能参与飞行任务），每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括自己在内）进行训练，每名飞行员在完成本月的飞行任务后必须有一个月的带薪休假，然后返回待命可再次投入飞行，已知各项费用平均单价如下表所示（单位：
千元）。
第一个月
第二个月
第三个月
第四个月
新飞机价格
200
195
190
185
闲置的熟练飞行员报酬
7
6.9
6.8
6.7
教练及飞行员报酬和训练费用
10
9.9
9.8
9.7
执行飞行任务的飞行员报酬
9
8.9
9.8
9.7
休假期的飞行员报酬
5
4.9
4.8
4.7
（1）为甲方安排一个总费用最小的飞行计划。
（2）如果每名熟练飞行员作为教练每月指导不超过20名飞行员（包括自己在内）进行训练，相应的模型和安排将会发生怎样的改变？
一模型假设
1、假设每个月甲方执行飞行计划时，无任何飞机被击落，在他们返回途中有20%被击落，即在训练、运送物资及闲置等时候飞机不会出事。
2、假设新飞机经一个月检查后都可以投入使用，新飞行员经一个月训练后都可以投入飞行,而且被训练后的新飞行员便成为了熟练飞行员。
3、假设没有援军等其它因素来干扰甲乙双方的战争
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