u=a~sin40-asin2&cos?
0-\-crcos40
=a2[(sin26^4-cos20)2-3sin2^cos2()\=a2[}--s\n220
I4
99
从而-<«<25o所以%讪=-^max=25-
a
9.己知函数v=ar+8a+/?
的最大值为9,最小值为1,试求函数y=+b的值域。
厂+1
2
解:
将y="X[肚+&变形为(),_"2_8工+〉,_&=0,利用“△»()”可得y2—l()v+9S0Q+1
等价,比较系数得a=b=5.
J
(4、2QoR
V+?
J匸计
练习题:
1.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x>0),则f(x)的
最大值为C
(A)4(B)5(C)6(D)7
2.若函数f(x)=e~(x~^3是自然对数的底数)的最大值是加,且代y)是偶函数,则加+“二_.1
3.函数/(x)=Vx2-2x+2V?
-5x+4的最小值为.1+2血
4.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]±的最大值与最小值分別为M,加,则M-m=.32
5.若函数y=2〃的定义域是4{1,2,3},则该函数的值域是()
A.{2,4,6}B.{2,4,8}
C.{1,2,logs?
)D.{1,2,log,3)
解:
由题意得,当x=l时,2"=2,当x=2时,2"=4,当x=3时,2"=8,即函数的值域为{2,4,8},故应选B.
6.定义在RJL的函数y=f(x)的值域为[自,方],则y=f{x+1)的值域为()
A.[占,b]B.[目+1,b+1]
C.[曰一1,方一1]D.无法确定
解:
•・•函数y=f{x+1)的图象是由函数y=f{x)的图象向左平移1个单位得到的,其值域不改变,・・・其值域仍为W,刀,故应选A.
(0,,选C.
8.函数y=/-2^+3在区间[0,屈上有最大值3,最小值2,则/〃的取值范围是()
A.[1,+8)B.[0,2]
C.(—8,2]D.[1,2]
解:
尸1吋,y収最小值2;令y=3,得尸0或x=2.故1W亦S2.答案:
D
1().若卩(兀),g⑴都是奇函数,f(x)=a(p(x)+bg(x)+2在(0,+co)上有最大值5,则/(无)在(一8,0)上有()
A.最小值一5B.最大值一5C.最小值一1D.最大值一3
解:
0(兀)、g(兀)为奇函数,:
.f(x)-2=a(p(x)+bg(x>)为奇函数.
又./V)有最大值5,・•・一2在(0,+-)上有最大值3.
AfM-2在(f,())上有最小值一3,・・・/心)在(V)上有最小值一1.答案为C.
11•已知函数f\x)=x—2ax+a,在区问(一00
1)上有最小值,则函数呂3二
型在区间(1,
+8)上一
定()
A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数
解:
由题意水1,又函数^(-y)=x+~—2a在[、〃刁,+°°)上为增函数,故选D.
“旳2x—5
12.凶数y=
的值域是WW0或7^4},则此函数的定义域为
X
9V—51111517
解:
F=才_3=2+牙_3'即/_3W_2或X—3‘2,由/_3冬_2=齐水3,市匸㊁.
57
答案:
切3)U(3,-]
综上2vy罟
14.已知f(x)=x2+4x+3.
(1)求f(x)在区间[t,t+l]上的最小值g(t)
(2)求f(x)在区间[t,t+1]上的大值h(t).
解:
⑴①当t+l<-2,即t.〈-3时,g(t)=f(t+1);
2当t<-23当t>-2时,g(t)=f(t).
t2+6/+8(r<-3)
故g(/)={-1(-3「S-2)
t2+4r+3(f>-2)
⑵①当-2-t>(t+l)-(-2),即tS-?
时,h(t)二f(t);
2
②当-2-t<(t+l)-(-2),即t>_?
吋,h(t)=f(t+l).
2
5
+4f+3(/<-—)
故h(t)=v
2
5
+6z+8(f>一一)
2
15.(2005年上海卷)対定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)>y=g(x),rf(x)-g(x)当xGDt且xUD”规定:
函数h(x)二彳f(x)当xGDf且xgDg
Ig(x)当xgDt且xG几
(1)若函数f(x)二丄,g(x)=x2,xeR,写出函数h(x)的解析式;
x—I
(2)求问题
(1)中函数h(x)的值域;
x2,
XH1
解:
⑴力⑴二兀一1‘'
l,x=1.
X2]
(2)当xHl时,h(x)=-—二x-l+——+2,
X—Ix—I
若X>1时,则h(x)24,其中等号当x=2时成立
若x・・・函数h(x)的值域是(一8,Q]u⑴U[4,+oo)
16.设函数f(x)=x2+12x-aI(xeR,a为实数).
⑴若/(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)设a>2.求函数/(工)的最小值.
解:
(l)rfl己知/(一兀)=/(兀),即12兀一。
1=12兀+“1,解得。
=0:
x2-}-2x-a.x>—a
2
宀2z,T'
当x>—a时,/(X)=x2-^-2x-a=(x+l)2-(a+1),由a>2,x>—a>1,故/(x)在
22
x>-a时单调递增,/(兀)的最小值为/(-)=—;
224
1a
当x<—a吋,f(x)=x2-2x+=(x-1)2+(«-1),故当1vxv—吋,/(兀)单调递增,当
22
XV1时,/(X)单调递减,则/(兀)的最小值为/(l)=a-l;
由(a-l)=(a~2)2>0,知/(兀)的最小值
44