中考题型专项数学中考《阅读理解型问题》总复习讲解.docx
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中考题型专项数学中考《阅读理解型问题》总复习讲解
第38讲 阅读理解型问题
内容
特性
阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供的新方法或新知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似或相关的问题.
解题
策略
解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：
①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；
②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；
③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答.
基本
思想
方程思想，类比思想，化归思想；分析法，比较法等．这是解决阅读理解题常用的数学思想方法.
类型一 应用型：
阅读－理解－建模－应用
（2015·湖州）如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是__________和__________．
【解后感悟】此题通过阅读二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，理解构建根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数，一次项系数、常数项之间的关系，利用矩形知识对定义的应用．
1．（2015·孝感）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证OE＝OF.
类型二 猜想型：
阅读－理解－归纳－验证
（2015·衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：
如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y＝－x2＋3x－2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：
由函数y＝－x2＋3x－2可知，a1＝－1，b1＝3，c1＝－2，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝－x2＋3x－2的“旋转函数”；
（2）若函数y＝－x2＋mx－2与y＝x2－2nx＋n互为“旋转函数”，求（m＋n）2015的值；
（3）已知函数y＝－（x＋1）（x－4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝－（x＋1）（x－4）互为“旋转函数”．
【解后感悟】在仔细阅读后，正确理解新定义，理解其中的内容、方法和思想，阅读特殊范例，归纳验证一般结论．
2．（2015·株洲）P表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与n的关系式是：
P＝·（n2－an＋b）（其中，a，b是常数，n≥4）
（1）填空：
通过画图可得：
四边形时，P＝____________________（填数字），五边形时，P＝____________________（填数字）；
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
（注：
本题的多边形均指凸多边形）
类型三 概括型：
阅读－理解－概括－拓展
（2016·台州）定义：
有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH.求证：
四边形ABCD是三等角四边形；
（3）三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若CB＝CD＝4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？
并求此时对角线AC的长．
【解后感悟】本题要对新定义阅读和理解，通过前面问题的解答积累经验，再概括、拓展解决新问题，要注意分类讨论．解题时关键要领会题中所体现的解题方法，运用已有知识深刻理解解题方法的内涵，予以拓展、应用，解决所提问题．
3．（2017·绍兴）定义：
有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，
①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；
②若AC⊥BD，求证：
AD＝CD；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
类型四 探究型：
阅读－理解－尝试－探究
（2015·绍兴）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：
请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：
y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：
已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
【解后感悟】此题是二次函数的知识基础上的新定义题，题目较新颖，解答本题的关键是仔细审题，理解题意所给的信息，尝试、探究新问题：
抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，即要构建一个函数，顶点纵坐标为y＝（b－1）2＋1来解决问题．
4．（2015·自贡）观察下表
序号
1
2
3
图形
我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y，回答下列问题：
（1）第3格的“特征多项式”为____________________，第4格的“特征多项式”为____________________，第n格的“特征多项式”为____________________；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，
①求x，y的值；
②在此条件下，第n格的特征多项式是否有最小值？
若有，求出最小值和相应的n值，若没有，说明理由．
【阅读理解题】
已知坐标平面上的线段AB及点P，任取AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．
（1）如图所示，已知长度为2个单位的线段MN在x轴上，M点的坐标为（1，0），求点P（1，1）到线段MN的距离d（P→MN）；
（2）已知坐标平面上点G到线段DE：
y＝x（0≤x≤3）的距离d（G→DE）＝，且点G的横坐标为1，试求点G的纵坐标．
【方法与对策】此题属于一次函数的综合题，运用了点到直线的距离、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．重视这种题型，该题型通过定义，使学生了解概念，再通过第
（1）题解答，有更深入的感受来解答第
（2）题．这是中考命题方向．
【对材料的理解不正确，而造成解题错误】
阅读下列材料，然后解答下面的问题：
我们知道方程2x＋3y＝12有无数组解，但在实际生活中，我们往往只需要求出其正整数解，例：
由2x＋3y＝12，得y＝＝4－x（x、y为正整数），而则有0问题：
（1）请你写出2x＋y＝5的一组正整数解：
______；
（2）若为自然数，则满足条件的x的正整数值的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
（3）九年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
参考答案
第38讲 阅读理解型问题
【例题精析】
例1 连结AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y＝ax2＋bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：
OA＝OM，∵OA＝MA，∴△AOM是等边三角形，设OM＝2，则点A的坐标是（1，），则解得：
则抛物线C1的解析式为y＝－x2＋2x，抛物线C2的解析式为y＝x2＋2x，故答案为：
y＝－x2＋2x；y＝x2＋2x（答案不唯一，只要符合条件即可）．
例2
（1）∵a1＝－1，b1＝3，c1＝－2，∴－1＋a2＝0，b2＝3，－2＋c2＝0，∴a2＝1，b2＝3，c2＝2，∴函数y＝－x2＋3x－2的“旋转函数”为y＝x2＋3x＋2；
（2）根据题意得m＝－2n，－2＋n＝0，解得m＝－3，n＝2，∴（m＋n）2015＝（－3＋2）2015＝－1；（3）证明：
当x＝0时，y＝－（x＋1）（x－4）＝2，则C（0，2），当y＝0时，－（x＋1）（x－4）＝0，解得x1＝－1，x2＝4，则A（－1，0），B（4，0），∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴点A1（1，0），B1（－4，0），C1（0，－2），设经过点A1，B1、C1的二次函数解析式为y＝a2（x－1）（x＋4），把C1（0，－2）代入得a2·（－1）·4＝－2，解得a2＝，∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝（x－1）（x＋4）＝x2＋x－2，而y＝－（x＋1）（x－4）＝－x2＋x＋2，∴a1＋a2＝－＋＝0，b1＝b2＝，c1＋c2＝2－2＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝－（x＋1）（x－4）互为“旋转函数”．
例3
（1）∵∠A＝∠B＝∠C，∴3∠A＋∠ADC＝360°，∴∠ADC＝360°－3∠A.∵0°＜∠ADC＜180°，∴0°＜360°－3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：
∵四边形DEBF为平行四边形，∴∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°.∵DE＝DA，DF＝DC，∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF，∵∠DAE＋∠DAB＝180°，∠DCF＋∠DCB＝180°，∠E＋∠EBF＝180°，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，∴四边形ABCD是三等角四边形；（3）①当60°＜∠A＜90°时，如图1，过点D作DF∥AB，DE∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC＝∠B＝∠DEA，∴EB＝DF，DE＝FB，∵∠A＝∠B＝∠C，∠DFC＝∠B＝∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD＝DE，DC＝DF＝4，设AD＝x，AB＝y，∴AE＝y－4，CF＝4－x，∵△DAE∽△DCF，∴＝，∴＝，∴y＝－x2＋x＋4＝－（x－2）2＋5，∴当x＝2时，y的最大值是5，即：
当AD＝2时，AB的最大值为5，②当∠A＝90°时，三等角四边形是正方形，∴AD＝AB＝CD＝4，③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，∵AE＝4－AB＞0，∴AB＜4，综上所述，当AD＝2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE＝1，如图3，过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，∵DA＝DE，DN⊥AB，∴AN＝AE＝，∵∠DAN＝∠CBM，∠DNA＝∠CMB＝90°，∴△DAN∽△CBM，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝4，CM＝＝，∴AC＝＝＝.
例4
（1）答案不唯一，如y＝x2－2x＋2.
（2）∵y＝－（x－b）2＋c＋b2＋1，∴该抛物线顶点坐标为（b，c＋b2＋1）．又∵定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1过定点M（1，1），∴1＝－1＋2b＋c＋1，即c＝1－2b.∴顶点纵坐标为c＋b2＋1＝1－2b＋b2＋1＝（b－1）2＋1.∴b＝1，c＝－1时，c＋b2＋1最小，即抛物线顶点纵坐标的值最小，此时，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.
【变式拓展】
1．证明：
在△ABD和△CBD中∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
2.
（1）1 5
（2）将上述值代入公式可得：
化简得：
解之得：
3.
（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝.②如图1，连结AC、BD.∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD.
（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴此时四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合题意．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5.②当BF＝AB时，如图3，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.
4．
（1）12x＋9y 16x＋16y 4nx＋n2y
（2）①∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴依题意得：
解之得：
∴x＝－3，y＝2；②设最小值为W，则依题意得：
W＝4nx＋n2y＝－12n＋2n2＝2（n－3）2－18，答：
有最小值为－18，相应的n值为3.
【热点题型】
【分析与解】
（1）∵M点的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，1），根据定义可得PM就是点P到线段MN的距离．∴d（P→MN）＝1.
（2）在坐标平面内作出线段DE：
y＝x（0≤x≤3）．∵点G的横坐标为1，∴点G在直线x＝1上，设直线x＝1交x轴于点H，交DE于点K.①如图，过点G1作G1F⊥DE于点F，则G1F就是点G1到线段DE的距离．∵线段DE：
y＝x（0≤x≤3），∴△G1FK，△DHK均为等腰直角三角形，∵d（G1→DE）＝，∴KF＝，由勾股定理得G1K＝2.又∵KH＝OH＝1，∴HG1＝3.即G1的纵坐标为3.②如图，过点O作G2O⊥OE交直线x＝1于点G2，由题意知△OHG2为等腰直角三角形，∵OH＝1，∴G2O＝.∴点G2同样是满足条件的点．∴点G2的纵坐标为－1.综上，点G的纵坐标为3或－1.
【错误警示】
（1）或
（2）C（3）设购买笔记本x本，钢笔y支，则3x＋5y＝35，5y＝35－3x，y＝7－x.∵x、y为正整数，∴解得0共有两种购买方案：
买5本笔记本，4支钢笔或10本笔记本，1支钢笔．
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