中考导练讲义第24讲平移对称旋转与位似.docx

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中考导练讲义第24讲平移对称旋转与位似

第24讲平移、对称、旋转与位似

【章节知识清单】

知识点一：

图形变换

关键点拨与对应举例

1.图形的轴对称

（1）定义：

①轴对称：

把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．

②轴对称图形：

如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

（2）性质：

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.

常见的轴对称图形：

等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.

2.图形的平移

（1）定义：

在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

（2）性质：

①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；

③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．

画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

3.图形的旋转

（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．

（2）性质：

①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．

4.图形的中心对称

（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．

（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.

5.图形的位似

（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

（2）性质：

①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

知识点二：

网格作图

2.坐标与图形的位置及运动

图形的平移变换

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.

例：

平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：

1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.

图形关于坐标轴成对称变换

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．

图形关于原点成中心对称

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

图形关于原点成位似变换

在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．

【章节典例解析】

【例题1】（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．既是轴对称图形又是中心对称图形

【考点】L8：

菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质解答即可得．

【解答】解：

A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；

B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；

C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；

D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；

故选：

C．

【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．

【例题2】（2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距

的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（　　）

A．13B．14C．15D．16

【考点】RA：

几何变换的类型；KQ：

勾股定理．

【分析】根据从一个格点移动到与之相距

的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．

【解答】解：

如图1，连接AC，CF，则AF=3

，

∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，

又∵MN=20

，

∴20

÷3

=

，（不是整数）

∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，

此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，

∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，

故选：

B．

【例题3】（2017•乐山）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为　6　．

【考点】R4：

中心对称．

【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．

【解答】解：

∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，

∴AB=2，

∴阴影部分的面积之和为3×2=6．

故答案为：

6．

【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【例题4】（2017宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．

（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．

【分析】

（1）根据图形平移的性质画出平移后得的△A1B1C1即可；

（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C2即可．

【解答】解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．

【例题5】（2017齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．

（1）画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；

（3）求

（2）中线段OA扫过的图形面积．

【考点】R8：

作图﹣旋转变换；MO：

扇形面积的计算；P7：

作图﹣轴对称变换．

【分析】

（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；

（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；

（3）利用扇形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）∵OA=

=5，

∴线段OA扫过的图形面积=

=

π．

【章节典例习题】

1.（2017山东聊城）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（　　）

A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠B

C．∠B′CA=∠B′ACD．B′C平分∠BB′A′

2.（2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）

A．30°B．60°C．90°D．120°

3.（2017广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移

OB个单位，则点C的对应点坐标为　（1，3）　．

4.（2017四川南充）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：

①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是　①②③　（填序号）

5.2017江苏盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为　

π　．

6.（2016·山东潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．

（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：

MN=

AC；

（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3

时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

【章节典例习题】参考答案

1.（2017山东聊城）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（　　）

A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠B

C．∠B′CA=∠B′ACD．B′C平分∠BB′A′

【考点】R2：

旋转的性质．

【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．

【解答】解：

根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，

∵CB=CB'，

∴∠B=∠BB'C，

又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，

∴∠A'CB'=2∠B，

又∵∠ACB=∠A'CB'，

∴∠ACB=2∠B，故B正确；

∵∠A′B′C=∠B，

∴∠A′B′C=∠BB′C，

∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；

故选C．

2.（2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）

A．30°B．60°C．90°D．120°

【考点】R2：

旋转的性质．

【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．

【解答】解：

如图：

显然，旋转角为90°，

故选C．

3.（2017广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移

OB个单位，则点C的对应点坐标为　（1，3）　．

【考点】Q3：

坐标与图形变化﹣平移．

【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移

OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．

【解答】解：

∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），

∴OC=OA=2，C（0，2），

∵将正方形OABC沿着OB方向平移

OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，

∴点C的对应点坐标是（1，3）．

故答案为（1，3）．

4.（2017四川南充）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：

①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是　①②③　（填序号）

【考点】R2：

旋转的性质；KD：

全等三角形的判定与性质；LE：

正方形的性质．

【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．

【解答】解：

设BE，DG交于O，

∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，

∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，

在△BCE和△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴BE=DG，

∴∠1=∠2，

∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠BOC=90°，

∴BE⊥DG；故①②正确；

连接BD，EG，如图所示，

∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，

则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正确．

故答案为：

①②③．

5.2017江苏盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为　

π　．

【考点】O4：

轨迹；R2：

旋转的性质．

【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短

【解答】解：

如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，

观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短，PB=

=

，

∴B运动的最短路径长为=

=

π，

故答案为

π．

6.（2016·山东潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．

（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：

MN=

AC；

（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3

时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

【考点】旋转的性质；菱形的性质．

【分析】

（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；

（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．

【解答】

（1）证明：

如图1，连接BD，交AC于O，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∵DE⊥AB，

∴AE=EB，

∵AB∥DC，

∴

=

=

，

同理，

=

，

∴MN=

AC；

（2）解：

∵AB∥DC，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

∴∠EDF=60°，

当∠EDF顺时针旋转时，

由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，

DE=DF=

，∠DEG=∠DFP=90°，

在△DEG和△DFP中，

，

∴△DEG≌△DFP，

∴DG=DP，

∴△DGP为等边三角形，

∴△DGP的面积=

DG2=3

，

解得，DG=2

，

则cos∠EDG=

=

，

∴∠EDG=60°，

∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3

，

同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3

，

综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3

．