数学讲义3初二复习+图形的平移与旋转复习.docx
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数学讲义3初二复习+图形的平移与旋转复习
第三章图形的平移与旋转
一、平移
考点一：
平移的性质
1.平移的概念：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的特征：
（1）平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置。
（2）经过平移，对应点所连的线段平行且相等。
（3）平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
注意：
（1）平移有两个要素：
①沿某一方向移动（平移的方向）；
②移动一定的距离（平移的距离）。
（2）图像上每点都沿同一方向移动相同的距离，这个距离是指对应点之间线段的长度。
（3）平移前后两图形是全等的。
【巩固练习】
1.下列说法正确的是（）
A.若△ABC≌△DEF，则△ABC可以看作是由△DEF平移得到的
B.若∠A=∠B，则∠A可以看作是∠B平移得到的
C.若∠A经过平移后得到∠Aˊ，则∠A=∠Aˊ
D.若线段AB∥CD，则线段AB可以看作是由线段CD平移得到的
2.如图，一块巨型ABCD的场地，长AB=102m，宽AD=51m，从A、B两处入口的小路宽都为一米，两小路汇合处的小路宽都为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）
A.5050m²B.4900m²
C.5000m²D.4998m²
考点二：
平移作图
1.平移作图应具备的条件：
已知的图形平移的方向、平移的距离。
2.作图基本步骤：
①找关键点：
如三角形找三个顶点，四边形找四个顶点；
②作出关键点的对应点：
过关键点画与已知平移方向_______的线段，使这些线段的长度等于平移的距离；
③按原图的连接方式连接各对应点。
【巩固练习】
1.在如图所示的四个图形中，关键点最多的是（）
ABCD
2.如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，画出△AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长.
3.
如右图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组
成一个首尾相接的三角形，需要移动（）
A.12B.11C.9D.8
考点三：
生活中平移变换的应用
1.如图，当半径为30cm的转动轮转过240°角时，传送带上的物体A平移的距离为________.
2.⑴如图所示，在宽为20cm，长为30cm的长方形花园中，要修建两条同样宽的矩形道路，余下部分进行绿化.则绿化部分面积为（）
A.600m²B.551m²C.550m²D.500m²
⑵如图所示，在宽为20m，长为32m的长方形地面上修同样宽的两条不规则的路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540m²，则道路的宽应是多少？
第1题第2题
（1）第2题
（2）
3.如右图所示，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）
A.6B.8C.10D.12
4.如图所示，从A地到B地经过一条小河（两岸平行）.今在河上建一座桥，应如何选择桥的位置才能使从A到B的路程最短？
二、旋转
考点一：
图形的旋转
1.旋转的概念：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
2.旋转的特征
（1）旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置。
（2）经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度。
（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
（4）对应点到旋转中心的距离相等。
注意：
旋转三要素：
（1）绕某一定点（旋转中心）；
（2）沿某一方向（旋转方向）；（3）旋转某一角度（旋转角度）。
①旋转中心在旋转过程中保持不动；
②图形的旋转是由旋转中心，旋转角度和旋转方向所决定的；
③作平移图与旋转图。
（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）
3.分析组合图案的形成
（1）确定组合图案中的“基本图案”
（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系
（3）探索该图案的形成过程，类型有：
①平移变换；②旋转变换；③轴对称变换；④旋转变换与平移变换的组合；⑤旋转变换与轴对称变换的组合；⑥轴对称变换与平移变换的组合。
【巩固练习】
1.下列运动属于旋转的是（）
A.滚动过程中的篮球的滚动B.钟表的钟摆的摆动
C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线的对折过程
2.如图所示，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看做是由△AOB绕点O
顺时针旋转α角度得到的.若点A′在AB上，则α的大小可以是（）
A.30°B.45°C.60°D.90°
3.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合.如果AP=3，那么PP′的长等于__________.
4.如图所示，将正方形ABCD中的△APB绕点B顺时针旋转能与△CP′B重合，若BP=4，则点P所走过的路径长为多少？
（结果保留π）
考点二：
旋转作图
1.旋转作图应具备的条件：
已知的图形、_______、旋转的_____和旋转的_____，如按顺时针方向45°等。
2.作图基本步骤：
（1）找关键点；
（2）作出关键点的对应点：
将各关键点与旋转中心连接；
（3）以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，沿旋转方向作角，使所作的角的大小都等于旋转角；
（4）在所作角的另一边截取长度分别等于旋转中心的距离的线段，即可得到各关键点的对应点；
（5）顺次连接各对应点，即可。
【巩固练习】
1.如图所示的△ABC是等腰直角三角形，且∠C=90°，将△ABC绕A点顺时针旋转45°，作出旋转后的图形.
2.如图，四边形ABCD为正方形，△ABF旋转后与△ADE重合.则旋转中心是点_______，旋转角等于_______.
第2题第3题
3.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，如果以AC的重点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为_______.
4.如图，等腰梯形ABCD绕O点旋转后，顶点A转到了点H的位置，作出旋转后的图形.（不要求写出画法）
考点三图形旋转的应用
1.如图所示，四边形ABCD,DEFG都是正方形，则图中具有旋转关系的两个三角形是（）
A.△DEC与△GFCB.△ADE与△CDGC.△ADE与△BCED.△CDG与△CBE
2.如图，一块含有30°的直角三角形ABC，在水平桌面上饶C按顺时针方向旋转到△ABC的位置.若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长度为（）
A.10πcmB.5πcmC.20πcmD.30πcm
3.如图所示，P是正三角形ABC中一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为________，∠APB=________.
4.如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若
∠A′DC=90°，则∠A的度数是_______.
5.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于H,那么DF的长为_______.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．
求证：
AM=AN
7.将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B′A′C=30°）按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．
（1）求证：
△BCE≌△B′CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？
请说明理由．
（2）∠BEC=60°
8.如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．
（1）求证：
△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
9.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．
（1）求∠OFE1的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部，外部，还是边上？
证明你的判断．
10.
（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【课后练习】
一、选择题（40分）
1．下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（）.
（A）（B）（C）（D）
2.下列图形中,旋转1200后能与原图形重合的是（）
A等边三角形B正方形C正五边形D正六边形
3.如图，把△ABC绕点C逆时针旋转900得到△EDC，若∠A=350，则∠ADE为（）
A.350B.550C.1350D.1250
E
A
4.如图,等腰
直角△ABC绕顶点A逆时针旋转650后得到△AED,则∠EAC=（）
A.250
B.850C.650D.1050
5.把∠A是直角的△ABC绕A点顺时针旋转60度,点B转到点E得△AEF,则下列结论错误的是（）
A.AB=AFB.∠BAF=1500C.EF=BC
D.∠CAF=600
6.如图,△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF,下列错误的是（）
E
D
A.AC=DFB.EB=FCC.DE∥ABD.∠D=∠DEF
C
7.如图,直角△ABC中,AB=2,B
C=1,将△ABC绕顶点C旋转1800,
点A落在E处,则AE的长（）
第7题图
A.
B.
C.
.D.
8.如图,EF∥BC,ED∥AC,FD∥AB,D,E,F为三边中点，
图中可以通过平移互相得到的三角形有（）对
.
A.2B.3
C.4D.5
第8题图
二、填空题（20分）
B
C
1.如图是由两个正三角形和两个等腰三角形组成的图案,图中两个阴影部分的三角形可以通过:
①平移、②旋转、③轴对称中的哪些方式得到.在横线上写上你的答案的序号:
.
F
E
D
A
第1题图
第4题图
第2题图
2.如图∠AOB=900,∠B=300,△COD可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转
角度得到的。
若点C在AB上，则
的大小为.
3.五角星图形绕它的中心旋转,要与它本身完全重合,旋转角至少为.
4.如图，将边长为1cm的正方形ABCD在直线l上绕点D翻转一次得到正方形CDEF.则点B所经过的路径长是
三.解答题（40分）
1.（10分）要求画出图形．
（1）将△ABC向下平移4格后的△
；
（2）再画出△ABC绕点O逆时针旋转90º的△
。
2.（5分）下图可以看作是由什么“基本图案”通过怎样旋转得到的？
每次旋转了多少度？
F
3.（10分）四边形ABCD是正方形，点E是AB边上的点，BE=1.将△BCE绕点C顺时针旋转900得到△DCF.已知EF=2
.求正方形ABCD的边长。
4.（5分）利用平移、旋转、轴对称分析下面两个图案的形成过程。
（说出任意一种形成过程即可）
5．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB。
求：
（1）PP′的长；
（2）∠APB的度数.
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