湖南省五市十校届高三上学期第二次大联考数学试题含答案解析Word格式.docx
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•两的最大值为
A.√2B.2
C.4D.4√2
8.
函数/（-2∙）=7⅛t+2cos（^）在区间［一2.4］上的所有零点的和为
二、多项选择题：
本题共4小題，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.
某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计•分成［50,60）.［60.70）,［70.80）,［80>
90）.［90300］五组•得到如图所示频率分布直方图，则下列说袪正确的是
A.a=0.008
B.该校学生数学竟赛成绩落在［60,70〉内的考生人数为24
C.该校学生数学竟赛成绩的中位数大于80
I）.估计该校学生数学竟赛成绩的平均数落在E70.80）内
10.已知实数F满足log,χ-log3y<
（y）j-<
y）M∏lJ下列结论正确的是
D・ln（y—刃>
A∙>
7ESC”V1
11.已知函数/（jr）=2cosj√simr-COsQ9则下列结论正确的是
A.函数y=fM在区间（0诗）上为增函数
B.直线H=曹是函数y=f（x）图像的一条对称轴
C.函数》=/（工）的图像可由函数^=Sin2^的图像向右平移专个单位得到
D•函数y=f（r）的图像关于点（寺H）对称12•如图•在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1∙AB=√3,E.F,G分别是AB.BC.C1D1的
中点，则下列说法正确的是
A.B,C±
D,E
B.DC〃平面GEF
C.若点P在平面ABCD内，且D』〃平而GEF,则线段DP长度的境小值为√∑
D.若点Q在平面ABCD内•且DQ丄BC,则线段DQ长度的最小值为√Σ
3.填空题；
本题共d小题海小题5分■共20分。
13.一个圆锥的紬截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.
14.（2/-2）5的展开式中$的系数为
⅜2*
15∙已知F•'
几分别是双曲线C形-君=I（Q0』>
0）的左,右焦点"
是双曲线C的右支上-点Q是厶PF1F2的内心9且Sδoif2p:
S△仆…SM时2=—2z3,则C的离心率为
16.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发岀其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强〃2与标准声调mgg约为10^1∖单位：
W/n?
〉之比的常用对数称作声强的声强级.
记作1（贝尔）•即L=Ig-,取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝•已知某处栏喊mO
泉”的声音响度，（分贝）与喷出的泉水高度工（米）满足关系式，=2工・现知A同学大喝一声激起的涌泉最髙高度为50米,若A同学大喝一声的声强大约相当于10个E同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为米.
四、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在①2α-√2c=2Z>
cosC;
②α?
+/—∕√=4S,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在厶ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,j设厶ABC的面积为S•已知.
⑴求tanB的值；
⑵若S=10,α=5,求〃的值.
注：
如果选择多个条件分别解答•按第一个解答计分.
18.<
12分）
已知等比数列｛心〉的各项均为正数是4©
与2心的等差中项.（】）求数列（“H的通项公式；
（2）设S=—,求数列｛仇｝的前”项和T1,.
（。
卄|—1）（f1）
19.（12分〉
如图，在四棱锥P-ABCD中，FA丄底面ABCDI底面ABCD是矩形fAP=AB^l,PD与底面ABCD所成角的正切值为寺,F是PB的中点，E是线段BC上的动点.
（1）证明MF丄平面PBCi
⑵若二而角P-DE-A的余弦值为曲徑，求EE的长•
20.（12分）
某公司有1400名员工•其中男员工900名•用分层抽样的方法随机抽収28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员T称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中屈于“追光族”的女员工有2人.男员工有10人.
（1）完成下面2X2列耽表•并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
屈于^追光族”
屈于•'
观望者”
合计
女员工
男员工
28
（2）在抽取的属于“追光族"
的员工中任选4人,记选出的4人中男员工冇X人，女员工冇Y人.
求随机变呈w=x—y的分布列与数学期望・
21.（12分）
已知椭圆Ej4+⅛=1（u>
6>
0）的右焦点为F（√2,0）,顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成
ab
一个边长为用的菱形•
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设M（彳，*）,0为坐标原点・A・£
是椭圆E上两点，且AE的中点在线段OM（不含端点0、
M）上,求AAOB面积S的取值范围.
22.（12分）
已知函数/（j-）=（lnr-l）（αχ-l）（α>
O）,设曲线y=f<
τ'
>
在点（e,∕（e））处的切线方程为y=（ζ（τ）.
（1）求gCr）的解析式;
（2）证明：
对定义域内任意都有∕ω≥g（x）;
（3）当a=l时，关于X的方程f（x）=m有两个不等的实数根证明：
K
高三数学参考答案
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
BD
ABC
AB
ABD
6.B解析：
设小李这两次加油的油价分别为X元/升、夕元/升，则方案一：
两次加油平均价格为
40x+40>
z=Ξ±
Z≥λ/^:
方案二：
两次加油平均价格为≤√^・
802+X+y
×
y
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
7∙c解析：
Z"
"
pP是弧M上的一个三等分点，故ZMB吟，ZPo0,莎.PN=（PO+OMy（PO+ON）=PO2+PoON+兄.OM+OM・ON=4+0+2∙∣δΛ7∣cos^+∣δM∣∣δy∣cos^=4-y-∣δΛ7∣∙（2+∣δ7√∣）≤4故当IOM1=0吋，丽•顾取最大值4・
8.A解析:
令/（x）=0,得丄=_2cos（-工），函数f（x）的零点就是函数V=-L与函数y=-2cos（-x）
x-12x-l2
图象交点的横坐标•又函数P=丄的图象关于点（1,0）对称，函数
X-I
y=-2cos（∣Λ）的周期为4,其图象也关于点（1,0）对称，画出两函数图象如图：
共有4个交点，这4个点两两关于点（1,0）对称，故其横坐标的和为4.
9.BD解析：
对于兄，由频率分布直方图性质得：
（α+0∙02+0.035+0∙025+α）xl0=l,解得«
=0.01,故X错误；
对于乩由频率分布宜方图得成绩落在［60,70）的概率为0.2,0.2×
I20=24,故〃正确；
对于C,由频率分布直方图得：
［50,70）的频率为（0.01+0.02）x10=0.3,［70,80）的频率为0.035x10=0.35,・•・成绩的中位数位于［70,80）内，故C错误；
对于Zλ佔计成绩的平均数为：
X=55x0.01x10+65x0.02x10+75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10=75.5
•••成绩的平均数落在［70,80）内，故Z）正确•故选：
BD.
10∙ABC解析：
由IOgJX-Iog3y<
（^）t-（y）v变形得IOgJX-（^）X<
Iog3y-（^）V，令函数
/（Λ）=log3Λ-（-）S已知函数在定义域上单调递増，所以0VXV八则丄>
丄，A正确；
√<
∕,B正3Xy
确；
x-βy<
0,所以2x^<
1,C正确；
y-x>
O,In®
-x）的符号无法判断，D错.故选：
ABC.
11.AB解析：
/（x）=2SinxCoSX-2cos2%=sin2x-1-cos2x=√2sin∣^2λ-1-1,对于A选项，当珂0,£
时，2一*（-彳,0）,函数y=f（x）为增函数，A正确：
令ZX-^→kπ,Λr∈Z,得
+第，jt∈Z,当k=0时，X再,所以直线"
辛是函数P=∕（x）图象的一条对称轴，B正O2OO
函数7=sin2x的图象向右平移彳个单位得到函数尸Sin2卜-日=sin（2x-f）图象'
C错误：
函数尸/«
）关于律,T）对称,D选项错误，故选:
AB.
12.ABD解析：
连结AC9DiA9BCl.-Bfi丄BC】，BQ丄M■二BC丄面JBCIDJ.XvDIEU面
ABC1D19坊C丄故川选项是正确的；
又VEFlIAC,ADJIGE.面/Γ∖C//而GEF,又VPlCU面AD1C9:
.DQj面GEF・•・3选项是正确的.若P在平面ABCD内，且DXPll面GEF,
则F的轨迹是直线/C,此时Qf的最小值为Df丄力C时。
在"
AC中，JD1=√2,P1C=2,
AC=2、VDIPLAC•••D∖P=adwzD∖AC=丘逅=互∙∙∙C选项是钳误的∙丄面42
ABCIDI,且DQ丄BiC,/.点Q的轨迹是直线AB,二DiQ的最小值是OQ丄时，即0与/重合，
此时，Z）IJ=√2,ΛD选择项是正确的，故选：
ABD.
三、填空题（本大题共4小題，每小題5分，共20分）
15.3解析：
设内切圆半径为厂，贝IJ
Sdq:
Sg片P:
Sgk*∣PEi厂弓IP弘弓皿IZIPEl：
lPAI：
1恥41:
2:
3,
12242
故∖PF2∖=-∖FlF2∣=-c,IP^l=-I^I=-C,又IM；
H昭I=2d,即丁=2°
故e=3.
16.45解析：
设3同学的声强为加，喷出泉水高度为X,则/同学的声强为IOw,喷出泉水高度为
50,
相减得I=IO-0.2x=>
0.2x=9≈>
x=45・故答案为45.
四、解答题（本大题共6小題，共70分）
17.解析：
（1〉选择条件①.∙.∙2α-√2c=2ΛcosC>
A2sinJ-√2sinC=2sinj5cosC
（2）由tan5=SinB=9V5=10>
a=5,
1&
解析：
（1）设等比数列公比为g,依题有an>
0.q>
092aA=4α2+2α3,即axq3=2aiq^alq2,即
q2_q_2=Q,：
•q=2、q=_\（舍）
又i?
3=2α12,艮卩al×
4=2×
α12,λai=2・・∖an=T6分
（2）b二2”二1
w~（2M,-l）（2rt-l）~2A,-Γ2λu-1
19・解析：
（1）QFA丄平^ABCD9BC⊂^ABCD,/.BC丄PM
又BC丄VB/BIAP=A,AByAPU平面PABy:
.BC丄平面PAB9
又AFU平面,∙∙∙AF丄BC・
^PA=AB=∖,F是PB的中点，AAF丄PB,
又QPBCBC=B,PB,BCU平面PBC,二FF丄平面P3C.
设BE=X（OSXS3）,则E（X丄0）,
TT14
WlMPl
而平面血）E的一个法向量为ZiP=（0,0,1）.依题意得：
IWJPl-3λ^
12分
即_≤=至叵，得A-=I或χ=5（舍）.故BE=∖.
√I0+（3-x）214
20.解析：
（1）由题意得，2X2列联表如下:
属于“追光族"
属于“观望者"
18
16
2分
Q=2sΛ7?
XlIO）2=TT7≈3∙32<
3.841,故没有95%的把握认为该公司员工属丁“追光族”与12×
16×
10x18135
“性别”有关；
5分
（2）由
（1）知在样本里属于“追光族“的员工有12人.其中男MXlO人，女员工2人.
C4C021014
所以？
可能的取值有0,2,4.P（<
=4）=P（%=4且30戶苛=：
祐=看；
P（⅞≡2）≡P（X=3Hy=I）=^=g=g;
P（Ko）=P（X=2且Y=2）=普=盖诂9分
所以§
的分布列为:
ξ
P
H
33
14
所站的期望EeoXF2瘁+4煜岭12分
设直线的方程为y=Λx+mj联立X→疋=1得：
9x2-8≡+16w2-32=0.
442
又号I=夺（O,|）»
輕0申
10分
12分
I^I=古J（XZ）J"
2=$国」Frn-,do_AB=黑,
.：
SSAoB=IlJJ=√72-32w2=-i√18zn2-8m4.
又加G（0,£
）・••ShAOBG（0,√2].
22、解析：
（1）V∕,（x）=αlnx一丄Λ∕l（e）=α--∙
Xe
又/（e）=0,・•・g（X）=（«
--）（x-e）.3分
e
⑵令F（X）=/（x）一g（x）=/（x）一Γ（e）（x一e）,
ΛFr（X）=∕t（x）-∕l（e）=alnx---α+-^（0,+∞）上单调递增，且F（β）=0,
・•・当0VXVe时FcX）V0,F（X）单调递减，当x>
e时F（X）〉0,F（X）单调递增5分
∙∙∙F（X）>
F（e）=O恒成立,Λ∕（x）>
g（x）恒成立.6分
（3）当Q=I时，/（x）=（lnx-l）（x-l）,则∕,（x）=lnx--,显然/©
）在定义域内单调递增，而X
f（I）=-IvO,∕,W=1-->
O∙Λ存在Xoe（I^）•使∕,（⅞）=0.
・；
当x∈（O,XO）时，f（x）<
O,/（κ）单调递减：
当x∈（x0,+Co）时，/'
（x）>
0,/（X）单调递增8分
令/（x）=0解得X=I或£
・由
（1）
（2）可知y=/（x）在Go）处的切线方程为g（x）=（I-I）G-G）,且e
f（x）>
g（x）恒成立，同理可得y=∕（x）在（1,0）处的切线方程为Λ（x）=-x+h
令H（X）=f（x）_h{x）=（InX—I）（X-I）_（_X+1）=（λ-1）1πx,
当兀>
1时，x-l>
OJnx>
O,当OVXVl时，x-l<
O,lnx<
O,
∙∙∙H（x）AO恒成立・10分
设函数y=fM在两个零点处的切线方程与直线y=m的交点的横坐标分别为λ√和花‘，不妨设xι<
^2>
则Xl>
x,,x2<
x2t>
令g（x）=h（x）=m,解得吋=+SXIt=I-W,11分
e-1
∙e∙Ix2—X]∣<
∣λ2—x1,∣=W（IH—）+<
?
—1>
得证.12分
E-1
升级会员 