高一数学必修一 教案 15 全称量词与存在量词.docx

高一数学必修一 教案 15 全称量词与存在量词.docx

《高一数学必修一 教案 15 全称量词与存在量词.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学必修一 教案 15 全称量词与存在量词.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高一数学必修一教案15全称量词与存在量词

1．5　全称量词与存在量词

1．5.1　全称量词与存在量词

学习目标

　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.

3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

知识点　全称量词和存在量词

全称量词

存在量词

量词

所有的、任意一个

存在一个、至少有一个

符号

∀

∃

命题

含有全称量词的命题是全称量词命题

含有存在量词的命题是存在量词命题

命题形式

“对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）”

“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（　×　）

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（　√　）

3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．（　√　）

一、全称量词命题与存在量词命题的辨析

例1　

（1）下列语句不是存在量词命题的是　（　　）

A．有的无理数的平方是有理数

B．有的无理数的平方不是有理数

C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数

D．存在x∈R,2x＋1是奇数

答案　C

解析　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．

（2）给出下列几个命题：

①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；

②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．

其中是全称量词命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．0

答案　B

解析　因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.

反思感悟　全称量词命题或存在量词命题的判断

注意：

全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

跟踪训练1　下列命题中全称量词命题的个数为（　　）

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两边平行；

③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题．

二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例2　判断下列命题的真假．

（1）∃x∈Z，x3<1；

（2）存在一个四边形不是平行四边形；

（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；

（4）∀x∈N，x2>0.

解　

（1）因为－1∈Z，且（－1）3＝－1<1，

所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

（2）真命题，如梯形．

（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

（4）因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

反思感悟　全称量词命题和存在量词命题真假的判断

（1）要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p（x）为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为假．

（2）要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p（x）为假．

跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．

（1）∀x∈N,2x＋1是奇数；

（2）存在一个x∈R，使

＝0.

解　

（1）是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

（2）是存在量词命题．因为不存在x∈R，使

＝0成立，所以该命题是假命题．

三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

（1）若命题p：

“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

（2）命题q：

“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

解　

（1）由于命题p：

“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，

所以

解得2≤m≤3.

（2）q为真，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.

所以

解得2≤m≤4.

反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略

对于全称（存在）量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立（能成立）问题，通常转化为求函数的最大值（或最小值）．

跟踪训练3　若命题“对任意实数x,2x>m（x2＋1）”是真命题，求实数m的取值范围．

解　由题意知，不等式2x>m（x2＋1）恒成立，

即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．

（1）当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．

（2）当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，

则

解得m<－1.

综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.

1．下列语句不是全称量词命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高二

（一）班绝大多数同学是团员

D．每一个学生都充满阳光

答案　C

解析　“高二

（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二

（一）班有的同学不是团员”，是存在量词命题．

2．下列命题中为全称量词命题的是（　　）

A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆

C．存在一个实数与它的相反数的和为0

D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

答案　B

3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　）

A．每个二次函数的图象都开口向上

B．存在一条直线与已知直线不平行

C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b

D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立

答案　C

解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a<0）的图象开口向下，也应排除，故应选C.

4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________（填序号）．

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

答案　①②③　④

解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．

5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．

答案　a≤3

解析　对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.

1．知识清单：

（1）全称量词命题、存在量词命题的概念．

（2）含量词的命题的真假判断．

（3）通过含量词的命题的真假求参数．

2．常见误区：

有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．

1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是（　　）

A．有一个x∈R，使得x2>3

B．对有些x∈R，使得x2>3

C．任选一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x∈R，使得x2>3

答案　C

2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成（　　）

A．若x∈R，则x2＋1>0B．∀x∈R，x2＋1<0

C．∃x∈R，x2＋1<0D．以上都不正确

答案　C

解析　存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C.

3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使

>2

答案　B

4．给出下列三个命题：

①对任意的x∈R，x2>0；

②存在x∈R，使得x2≤x成立；

③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．

5．下列说法正确的是（　　）

A．对所有的正实数t，有

B．存在实数x，使x2－3x－4＝0

C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0

D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4

答案　B

解析　t＝

时，

>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．

6．下列存在量词命题中真命题有________．

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形．

答案　①②③

7．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．

答案　∃x<0，（1＋x）（1－9x）2>0

解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”．

8．下列命题中，是全称量词命题的有________．（填序号）

①有的实数是整数；②三角形是多边形；

③矩形的对角线互相垂直；④∀x∈R，x2＋2>0；

⑤有些素数是奇数．

答案　②③④

9．判断下列命题的真假．

（1）每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

（2）存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．

解　

（1）假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为

，

就不能用正有理数表示．

（2）假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：

（1）∃x，x－2≤0.

（2）三角形两边之和大于第三边．

（3）有些整数是偶数．

解　

（1）存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．

（2）全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．

（3）存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．

11．下列全称量词命题中真命题的个数为（　　）

①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1B．2C．3D．0

答案　B

12．已知命题p：

∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a>－1B．a<－1C．a≥－1D．a≤－1

答案　B

解析　依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.

13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．

答案　{a|a<1}

解析　当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；

当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1

故0

综上所述，实数a的取值范围是a<1.

14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解　

（1）当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.

（2）当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，

恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0，

解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，－1≤a≤1.

15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5

答案　C

解析　当该命题是真命题时，只需a≥（x2）max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.

16．已知函数y1＝x

，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．

解　因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，

所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，

又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，

即y1的最小值大于等于y2的最小值，

即－4－m≤0，

所以m≥－4.

真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。

——欧文

土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。

如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连小草也长不出来的。

——别林斯基

我需要三件东西：

爱情友谊和图书。

然而这三者之间何其相通！

炽热的爱情可以充实图书的内容，图书又是人们最忠实的朋友。

——蒙田

时间是一切财富中最宝贵的财富。

——德奥弗拉斯多