第二部分第一章第三节全称量词与存在量词逻辑结构词.docx

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第二部分第一章第三节全称量词与存在量词逻辑结构词

第1章第3节

一、选择题

1．（2010·湖南理）下列命题中的假命题是（　　）

A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，（x－1）2>0

C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2

[答案]　B

[解析]　对于B选项，x＝1时，（x－1）2＝0，故不正确．

2．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的（　　）

A．充要条件　　　　　　　B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

[分析]　近几年高考中，简易逻辑试题是以考查基本概念、基本关系与其他知识相结合为主的客观题形式出现的，难度低，重基础．学习中，只要夯实基础，把握逻辑联结词的含义、充要关系的意义、四种命题及其相互关系，应用不同的求解策略，就能适应高考的考查要求．

[答案]　C

[解析]　若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．

3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（　　）

A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0

C．存在x∈R，x3－x2＋1>0

D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

[答案]　C

[解析]　“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式x3－x2＋1≤0恒成立，其否定为：

x3－x2＋1≤0不恒成立，即存在x∈R，使得x3－x2＋1>0成立．

4．下列各组命题中，满足“p或q为真”，且“非p为真”的是（　　）

A．p：

0＝∅；q：

0∈∅

B．p：

在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；

q：

y＝sinx在第一象限是增函数

C．p：

a＋b≥2

（a，b∈R）；

q：

不等式|x|>x的解集为（－∞，0）

D．p：

圆（x－1）2＋（y－2）2＝1的面积被直线x＝1平分；q：

椭圆

＋

＝1的离心率为e＝

[答案]　C

[解析]　A中，p、q均为假，故“p或q为假”，排除A；B中，cos2A＝cos2B⇔1－2sin2A＝1－2sin2B⇔sin2A－sin2B＝0⇔（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝0⇒A－B＝0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故綈p为假．

5．（2011·重庆模拟）下列四个命题中，其中为真命题的是（　　）

A．任意x∈R，x2＋3<0B．任意x∈N，x2≥1

C．存在x∈Z，使x5<1D．存在x∈Q，x2＝3

[答案]　C

[解析]　由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题；

由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，故B为假命题；

由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，故C为真命题；

由于使x2＝3成立的数只有±

，而它们都不是有理数，

因此没有任何一个有理数的平方能等于3，故D是假命题．故选C.

6．给出下列结论：

①命题“若p，则q或r”的否命题是“若綈p，则綈q且綈r”；

②命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；

③命题“存在n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否命题是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；

④命题“任意x，x2－2x＋3>0”的否命题是“∃x，x2－2x＋3<0”．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1　　　　　B．2　　　　　

C．3　　　　　D．4

[分析]　根据原命题的否命题和逆否命题的规律以及对含有量词的命题进行否定的知识对各结论逐个作出判断．

[答案]　B

[解析]　由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命题，故①正确；由于逆否命题是把原命题的否定了的结论作条件、否定了的条件作结论得到的命题，故②不正确；特称命题的否命题是全称命题，故③正确；虽然全称命题的否命题是特称命题，但对结论的否定错误，故④不正确．

7．（2010·新课标）已知命题p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：

函数y＝2x＋2－x在R为减函数．则在命题q1：

p1∨p2，q2：

p1∧p2，q3：

（綈p1）∨p2和q4：

p1∧（綈p2）中，真命题是（　　）

A．q1，q3B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

[答案]　C

[解析]　本小题考查了命题的相关知识，结合指数函数的单调性，综合考查了含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假．

p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：

p1∨p2是真命题，q2：

p1∧p2是假命题，

∴q3：

（綈p1）∨p2为假命题，q4：

p1∧（綈p2）为真命题．

∴真命题是q1，q4，故选C.

8．（2009·海南理）有四个关于三角函数的命题：

p1：

存在x∈R，sin2

＋cos2

＝

p2：

存在x、y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny

p3：

任意x∈[0，π]，

＝sinx

p4：

sinx＝cosy⇒x＋y＝

其中假命题的是（　　）

A．p1，p4B．p2，p4

C．p1，p3D．p3，p4

[答案]　A

[解析]　本题主要考查了命题的真假．

p1是假命题，∵任意x∈R，sin2

＋cos2

＝1，

p2是真命题，例如：

当x＝y＝

时，

sin（x－y）＝sinx－siny＝0.

p3是真命题，∵任意x∈[0，π]，sinx>0，

∴

＝|sinx|＝sinx.

p4是假命题，例如：

sin

＝cos

π⇒/x＋y＝

.

二、填空题

9．（2010·安徽文）命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．

[答案]　对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.

[解析]　该题考查命题的否定．注意特称命题的否定是全称命题．

10．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．

[答案]　若a≤b，则2a≤2b－1.

11．已知命题p：

“任意x∈[1,2]，

x2－lnx－a≥0”与命题q：

“存在x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（－∞，－4]∪

[解析]　命题p：

a≤

x2－lnx在[1,2]上恒成立，

令f（x）＝

x2－lnx，f′（x）＝x－

＝

，

当10，∴f（x）min＝f

（1）＝

，

∴a≤

.命题q：

Δ＝4a2－4（－8－6a）≥0，∴a≥－2或a≤－4，综上，a的取值范围为（－∞，－4]∪

.

三、解答题

12．写出下列命题的否定并判断真假

（1）p：

所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）p：

每一个非负数的平方都是正数；

（3）p：

存在一个三角形，它的内角和大于180°；

（4）p：

有的四边形没有外接圆；

（5）p：

某些梯形的对角线互相平分．

[解析]　

（1）綈p：

存在末位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；

（2）綈p：

存在一个非负数的平方不是正数，真命题；

（3）綈p：

任何一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；

（4）綈p：

所有的四边形都有外接圆，假命题；

（5）綈p：

任一梯形的对角线都不互相平分，真命题．

13．判断下列命题的真假．

（1）对任意的x，y都有x2＋y2≥2xy；

（2）所有四边形的两条对角线都互相平分；

（3）存在实数a≠2且b≠－1，使a2＋b2－4a＋2b≤－5；

（4）存在实数x使函数f（x）＝x＋

（x>0）取得最小值4.

[解析]　

（1）是真命题，因为对任意实数x，y，都有x2＋y2－2xy＝（x－y）2≥0，∴x2＋y2≥2xy.

（2）是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件．

（3）是假命题，因为a2＋b2－4a＋2b＋5＝（a－2）2＋（b＋1）2≥0，当且仅当a＝2，b＝－1时等号成立，所以不存在实数a，b，使（a－2）2＋（b＋1）2<0，即不存在实数a≠2且b≠－1使a2＋b2－4a＋2b≤－5.

（4）是真命题，因为存在实数x＝2>0，使函数f（x）＝x＋

（x>0）取得最小值4.

14．设p：

≤

，q：

关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题．

[解析]　

≤

化为

≤0，∴0≤m<3.

∵不等式x2－4x＋m2≤0的解集为∅，∴Δ＝16－4m2<0，∴m<－2或m>2.

∵p∨q真，p∧q假，∴p与q有且仅有一个为真．

当p成立而q不成立时，0≤m≤2.

当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3.

综上所述，m∈（－∞，－2）∪[0,2]∪[3，＋∞）．

15．已知命题p：

x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：

不等式ax2＋2x－1>0有解，若命题p是真命题、命题q是假命题，求a的取值范围．

[解析]　∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根

∴

∴|x1－x2|＝

＝

∴当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.

由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得：

a2－5a－3≥3

∴a≥6或a≤－1`

∴命题p为真命题时a≥6或a≤－1

命题q：

不等式ax2＋2x－1>0有解

①当a>0时，显然有解

②当a＝0时，2x－1>0有解

③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解

∴Δ＝4＋4a>0，∴－1

从而命题p：

不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1

又命题q是假命题，∴a≤－1

故命题p是真命题且命题q是假命题时

a的取值范围为a≤－1.

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一、对集合的理解以及集合思想的应用

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用．通过复习，考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用．

[例1]　已知集合A＝{t|t使x2＋2tx－4t－3≥0}＝R}，集合B＝{t|t使{x|x2＋2tx－2t＝0}≠∅}，其中x，t均为实数．

（1）求A∩B；

（2）设m为实数，g（m）＝m2－3，求M＝{m|g（m）∈A∩B}．

[分析]　解答本题首先要弄懂集合概念，以便准确把握题意，集合A其实就是“求使不等式x2＋2tx－4t－3≥0恒成立的t的取值范围”，集合B就是“求使方程x2＋2tx－2t＝0有实根的t的取值范围”．至于集合M，则应先把问题转化为求函数定义域问题来解决．

[解析]　

（1）要使x2＋2tx－4t－3≥0恒成立，

则只要使Δ1＝（2t）2－4（－4t－3）≤0，

解得－3≤t≤－1，故集合A＝{t|－3≤t≤－1}．

要使方程x2＋2tx－2t＝0有解，

则只要使Δ2＝（2t）2－4·（－2t）≥0，

解得t≥0或t≤－2，故集合B＝{t|t≥0或t≤－2}．

所以A∩B＝{t|－3≤t≤－2}．

（2）设g（m）＝u，则问题

（2）可转化为：

已知函数u＝g（m）的值域（u∈[－3，－2]），求其定义域．

令－3≤m2－3≤－2，可解得－1≤m≤1，

所以M＝{m|－1≤m≤1}．

二、数形结合思想在集合问题中的应用

在解决一些集合问题时，求数集常用的方法为数轴法，取交、并集，如果是点集，常常通过画出函数的图像，观察图像的交点以及位置关系来解决问题．Venn图法在解决有限集之间的关系时也会经常用到．

[例2]　向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：

赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问：

对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

[分析]　解答本题的关键是考生能由题目中的条件画出Venn图，形象地表示出各数量关系间的联系．

[解析]　赞成A的人数为50×

＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，如图，

记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.

设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为

＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.

依题意（30－x）＋（33－x）＋x＋

＝50，

解得x＝21.

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．

三、充要条件的理解与判定方法

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系，力求通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的逻辑关系．

[例3]　（2011·日照模拟）求关于x的方程ax2－（a2＋a＋1）x＋a＋1＝0至少有一个正根的充要条件．

[解析]　解法1：

若a＝0，则方程变为－x＋1＝0，x＝1满足条件，

若a≠0，则方程至少有一个正根等价于

<0或

或

⇔－10.

综上：

方程至少有一正根的充要条件是a>－1.

解法2：

若a＝0，则方程即为－x＋1＝0，∴x＝1满足条件；

若a≠0，∵Δ＝（a2＋a＋1）2－4a（a＋1）

＝（a2＋a）2＋2（a2＋a）＋1－4a（a＋1）

＝（a2＋a）2－2a（a＋1）＋1＝（a2＋a－1）2≥0，

∴方程一定有两个实根．

故而当方程没有正根时，应有

，解得a≤－1.

∴至少有一正根时应满足a>－1且a≠0，

综上，方程有一正根的充要条件是a>－1.

四、逻辑用语在描述数学问题中的应用

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力而设置的．关于逻辑用语的知识较为抽象，在高考命题中较少单独考查这一方面知识，更多会作为一种描述数学问题的语言出现．所以，结合实际问题对逻辑用语进行理解是掌握这方面知识的关键．

[例4]　命题p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q：

方程4x2＋4（m＋2）x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．

[解析]　“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题．

（1）当p为真命题时，则

，得m<－2；

（2）当q为真命题时，则Δ＝16（m＋2）2－16<0，

得－3

综上，m的取值范围是m<－1.

五、利用集合关系，借助于数轴、维恩图求参数的值或参数的范围

1．集合关系转化

A∩B＝B⇔B⊆A；A∪B＝B⇔A⊆B

2．借助数轴、维恩图解集合问题使解答直观、简捷．

3．含参数的，常需分类讨论，或进行等价转化．

[例5]　由集合A＝{x|1

[解析]　∵B＝{x|－1

（1）当a＝0时，A＝∅，∴满足A⊆B.

（2）当a>0时，A＝

，

∵A⊆B，∴

，∴a≥2.

（3）当a<0时，A＝

.

∵A⊆B，∴

，∴a≤－2.

综上可知：

a＝0或a≥2或a≤－2.

六、等价转化思想在解题中的应用

一个命题的原命题与其逆否命题同真假；当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断它的逆否命题的真假，从而得知原命题的真假．

[例6]　已知p：

x＋y≠3，q：

x≠1或y≠2，则p是q的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[分析]　当条件用否定形式表达时，最好运用原命题和其逆否命题的同真同假性来求解，即p⇒q与¬q⇒¬p同真同假，q⇒p与¬p⇒¬q，同真同假．

[解析]　选A.因为¬p：

x＋y＝3，¬q：

x＝1且y＝2，则¬q⇒¬p为真，¬p⇒¬q为假，所以p⇒q为真，q⇒p为假．所以p是q的充分而不必要条件．