概率论试题及答案文档格式.docx
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三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1.袋中装有5个白球，3个黑球。
从中一次任取两个。
求取到的两个球颜色不同的概率。
2.10把钥匙有3把能把门锁打开。
今任取两把。
求能打开门的概率。
3.一间宿舍住有6位同学，
求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。
4.50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，
求至少取到一个次品的概率。
5.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。
求该种零件的次品率。
6.已知某品的合格率为，而合格品中的一级品率为。
求该产品的一级品率。
7.一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。
开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。
若已知该箱产品已通过验收，
求其中确实没有次品的概率。
8.某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为与。
现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，
求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题（共6分）
设，。
证明
试卷一
参考答案
一、填空
1.或
2.出现的点数恰为5
3.
与互斥
则
4.0.6
故
5.
至少发生一个，即为
又由得
二、单项选择
1．
2.A
3.A
利用集合的运算性质可得.
4．
5．
6．
相互独立
7.
且
则
8.
9.B
10.B
故P（A）+P（B）–P（C）≤1
三、计算与应用题
1.解：
设表示“取到的两球颜色不同”，则
而样本点总数
2.解：
设表示“能把门锁打开”，则，而
3.解：
设表示“有4个人的生日在同一月份”，则
而样本点总数为
4.解：
设表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”
则包含的样本点数为。
5.解：
设“任取一个零件为次品”
由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，
于是
6.解：
设表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”
显然，则
即该产品的一级品率为
7.解：
设“箱中有件次品”，由题设，有，
又设“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
8.解：
依题意，该厂产品的合格率为，
于是，次品率为
设表示“有放回取5件，最多取到一件次品”
四、证明题
证明
，，
由概率的性质知则
又
且
试卷二
1.若随机变量的概率分布为，，则__________。
2.设随机变量，且，则__________。
3.设随机变量,则__________。
4.设随机变量，则__________。
5.若随机变量的概率分布为
则__________。
二、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
1.设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。
（A）（B）
（C）（D）
2.设随机变量的概率密度为，则（）。
3.下列函数为随机变量分布密度的是（）。
4.下列函数为随机变量分布密度的是（）。
（C）（D）
5.设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。
6.设服从二项分布，则（）。
7.设，则（）。
8．设随机变量的分布密度为,则（）。
（A）2（B）1
（C）1/2（D）4
9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。
（A）二项分布（B）指数分布
（C）正态分布（D）泊松分布
10．设为服从正态分布的随机变量，则（）。
（A）9（B）6
（C）4（D）-3
1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。
采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。
求抽取次数的概率分布。
2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求
（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少
3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为
求
（1）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
4.某种电池的寿命（单位：
小时）是一个随机变量，且。
求
（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2），使电池寿命在内的概率不小于。
5.设随机变量。
求概率密度。
6.若随机变量服从泊松分布，即，且知。
求。
7.设随机变量的概率密度为。
求和。
8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。
以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求
（1）的概率分布；
（2）。
设随机变量服从参数为2的指数分布。
证明：
在区间上，服从均匀分布。
1.6
由概率分布的性质有
即，
得。
2.
，则
3.0.5
4.
5.0.25
由题设，可设
即
1
1.（）
由分布函数的性质，知
则，经验证只有满足，选
2.（）
由概率密度的性质，有
3.（）
由概率密度的性质，有
4.（）
由密度函数的性质，有
5.（）
是单减函数，其反函数为，求导数得
由公式，的密度为
6.（）
由已知服从二项分布，则
又由方差的性质知,
7.（）
8.（A）由正态分布密度的定义,有
9.（D）
∴如果时,只能选择泊松分布.
10.（D）
∵X为服从正态分布N（-1,2）,EX=-1
∴E（2X-1）=-3
设为抽取的次数
只有个旧球,所以的可能取值为：
由古典概型，有
则
2
3
4
设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，
，于是
（1）的最可能值为，即概率达到最大的
（2）
（1）由可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则
而
（1）
（查正态分布表）
（2）由题意
即查表得。
5.解:
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6.解:
而
由题设知
即
可得
查泊松分布表得，
7.解:
由数学期望的定义知,
8.解:
（1）的可能取值为且由题意,可得
（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有
由已知则
又由得连续，单调，存在反函数
当时，则
试卷三
一、填空（请将正确答案直接填在横线上。
每小题2分，共10分）
1.设二维随机变量的联合分布律为，
则__________，__________.
2.设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，
则__________.
3.若随机变量与相互独立，且，，
则服从__________分布.
4.已知与相互独立同分布，且
5.设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有
__________.
二、单项选择（在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
1.若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）.
2.设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（）.
3.设随机向量（X,Y）的联合分布密度为,则（）.
（A）（X,Y）服从指数分布（B）X与Y不独立
（C）X与Y相互独立（D）cov（X,Y）≠0
4.设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）.
5.设随机变量与随机变量相互独立且同分布,且
则下列各式中成立的是（）.
（A）（B）（C）（D）
6．设随机变量的期望与方差都存在,则下列各式中成立的是（）.
7.若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（）.
8.设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）.
（A）
（B）
（C）
（D）
9.设是个相互独立同分布的随机变量，，
则对于，有（）.
10.设,为独立同分布随机变量序列，且Xi（i=1,2,…）服从参数为λ的指数分布，正态分布N（0,1）的密度函数为,则（）.
1.将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.
求二维随机变量的联合概率分布.
2.设二维随机变量的联合概率密度为
（1）确定的值；
（2）求.
3.设的联合密度为
（1）求边缘密度和；
（2）判断与是否相互独立.
4.设的联合密度为
求的概率密度.
5.设，，且与相互独立.
求
（1）的联合概率密度；
（2）；
（3）.
6.设的联合概率密度为
求及.
7.对敌人阵地进行100次炮击。
每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是.
求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.
8.抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达.
设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.
参考解答
1.
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布
且，
，
∴
1.（B）
由
∴选择（B）.
2.（B）
由题设可知，
故将标准化得
3.（C）
∴选择（C）.
4.（C）
∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则
5.（A）
∴选择（A）.
6.（A）
∵由期望的性质知
7.（D）
∴选择（D）.
8.（B）
与不相关的充要条件是
9.（C）
10.（A）
Xi（i=1,2,…）服从参数为λ的指数分布，则
1.解
显然的可能取值为；
的可能取值为
注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有
即的联合分布律为
2.解
（1）由概率密度的性质有
（2）设，则
3.解
（1）
（2）当时
故随机变量与不相互独立.
4.解
先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此
当时，，
当时，
故的概率密度为
5.解
（1）与相互独立
的联合密度为
（3）
6.解
由对称性
.
7.解
设表示第次炮击命中目标的炮弹数，
由题设，有，
则次炮击命中目标的炮弹数，
因相互独立，同分布，则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是
8.解
设应检查个产品，其中次品数为，则由题设，
这里，可以认为较大，则由棣莫弗—拉普拉斯定理知，
依题意，有
亦即
查表得
故至少应检查个产品，才能达到题设要求.
证
由协方差的定义及数学期望的性质，得
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