概率论试题及解答.docx

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概率论试题及解答

1．

（1）设随机变量X的分布律为

为常数，试确定常数a．

（2）设随机变量X的分布律为

．试确定常数a．

解：

（1）

；

（2）

．

2．若在每次试验中，X总是取常数C，那么X是否可以作为随机变量？

解：

可以将X看作是服从二点分布的随机变量，其概率分布与分布函数分别为：

．

3．设随机变量X的分布为

求

（1）常数a；

（2）

．

解：

（1）随机变量X的概率分布为

，所以有

；

（2）

＝

．

二项分布

1．某产品的一等品率为0.2，若从总产品中随机取30件，求取到的一等品数的分布律．

解：

设

表示取到的一等品数，则

可能取值0,1,2,…,30，本题可看作独立抽取30次，一次抽取一件，抽得一等品的概率为0.2，于是X服从二项分布，其概率分布为：

=0,1,2,…,30．

2．一位射手命中目标的概率为0.6，在相同条件下进行5次射击，求击中目标次数X的分布律．

解:

独立进行5次射击，命中目标的概率为0.6，故X服从二项分布，其概率分布为：

=0,1,2,3,4,5．

3．某一大楼有5个同类型供水设备，以往资料表明，在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求；

（1）在同一时刻被使用的设备数X的分布律；

（2）恰有2个设备被使用的概率；

（3）至少有3个设备被使用的概率；

（4）至多有3个设备被使用的概率；

（5）至少有1个设备被使用的概率．

解：

（1）X服从二项分布，

故有

=0,1,2,3,4,5；

（2）

；

　　（3）

；

　　（4）

；

　（5）

．

超几何分布

1．100件产品中5件为次品，从中任取20件，求取到的次品数X的概率分布．

解：

本题X服从超几何分布，其概率分布为：

=0,1,2,3,4,5．

2．从一副52张的扑克中任取15张，求其中“红桃”的张数X的概率分布．

解：

X服从超几何分布，其概率分布为：

=0,1,2,…,13．

泊松分布：

1、某交通道口每天有大量的车辆通过，设在一天的某时间段内发生交通事故的概率为0.0001，若某天在该时间段内有1000辆车辆通过，求发生事故次数不小于2次的概率（利用泊松定理计算）．

解：

设X表示发生事故的次数，将一辆车通过看作一次试验，事故A发生的概率是0.0001，则X＝k表示在1000次独立试验中，A发生了k次，故X服从二项分布

，由于

太大，p太小，利用泊松定理，取

，

．

2．一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率．

（2）每分钟的呼唤次数大于10次的概率．

解：

（1）

，则

；

　　　　　（可通过查书未的泊松分布表求得：

）

（2）可直接查表得：

．

3．一本300页的书中共有240个错误,若每个印刷错误等可能地出现在任一页中,求此书首页有印刷错误的概率．

解：

设一页上的错误个数为X，一个错误在300页书中任一页的概率为1/300，共有240个错误，故X～

，所求概率为　

，

利用泊松定理，取

，故上述概率近似为

．

4．某设备在10000次运行中，平均发生故障次数为10次，求在100次运行中发生故障的概率．

解：

由已知条件，可认为设备发生故障的概率约为

．

设事件A表示“在100次运行中不发生故障”，则由泊松定理可得

，

所以在100次运行中发生故障的概率为：

．

5．设某产品不能经受疲劳试验的概率为0.001，试求：

5000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验的概率，并比较用泊松分布和二项分布计算的结果．

解：

设X是“不能经受疲劳试验的产品个数”，则

，其中

，

，

所以“5000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验”的概率

＝

＝

；

利用泊松定理，取

，则有

（查表可得）．

可见，当

充分大，而

充分小时，用泊松分布去近似二项分布是比较准确的.