20函数测试.docx

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20函数测试

单元检测二　函数

（时间:

120分钟　满分:

150分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.函数f（x）=lg（x3-x2）的定义域是（　　）.

A.（2,+∞）B.（1,+∞）

C.[1,+∞）D.[2,+∞）

2.若函数y=（x+1）（x-a）为偶函数,则a等于（　　）.

A.-2B.-1

C.1D.2

3.已知函数f（x）=若f

（1）+f（a）=2,则a的值为（　　）.

A.1B.2

C.4D.4或1

4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）.

A.y=-x3,x∈R

B.y=sinx,x∈R

C.y=x,x∈R

D.y=,x∈R

5.函数y=的大致图象是（　　）.

6.函数y=的定义域为R,则实数k的取值范围为（　　）.

A.k<0或k>4

B.0≤k<4

C.0

D.k≥4或k≤0

7.函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（　　）.

A.B.

C.D.

8.函数f（x）=ax+logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为-,最大值与最小值之积为-,则a等于（　　）.

A.2B.

C.2或D.

9.已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数,且在（-∞,0]上是增函数,设a=f（log47）,b=f（lo3）,c=f（0.2-0.6）,则a,b,c的大小关系是（　　）.

A.c

B.b

C.c

D.a

10.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=x2+2x+20（万元）.一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为（　　）.

A.36万件B.18万件

C.22万件D.9万件

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分）

11.已知偶函数f（x）在区间[0,+∞）上单调递增,则满足f（2x-）

12.设函数f（x）=|log2x|,则f（x）在区间（m-2,2m）内有定义且不是单调函数的充要条件是　　　　　. 

13.若函数f（x）=ax2+x+1的值域为R,则函数g（x）=x2+ax+1的值域为　　　　　. 

14.已知定义在（0,+∞）上的函数f（x）为单调函数,且f（x）·f=1,则f

（1）=　　　　　. 

15.（2011安徽名校高三模拟）给出定义:

若m-

①函数y=f（x）的定义域为R,值域为;②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称;③函数y=f（x）是周期函数,且最小正周期为1;④函数y=f（x）在上是增函数.其中正确的命题是　　　　　. 

三、解答题（本大题共6小题,共75分）

16.（12分）已知函数f（x）=2x,g（x）=+2.

（1）求函数g（x）的值域;

（2）求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值.

17.（12分）已知函数f（x）=loga（x+1）（a>1）,若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象.

（1）写出函数g（x）的解析式;

（2）当x∈[0,1）时,总有f（x）+g（x）≥m成立,求实数m的取值范围.

18.（12分）定义在R上的函数y=f（x）,f（0）≠0,当x>0时,f（x）>1,且对任意的a,b∈R,有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求证:

f（0）=1;

（2）求证:

对任意的x∈R,恒有f（x）>0;

（3）求证:

f（x）是R上的增函数;

（4）若f（x）·f（2x-x2）>1,求x的取值范围.

19.（12分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面（阴影部分）的示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CMD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y.

（1）写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;

（2）当x取何值时,凹槽的强度最大?

20.（13分）已知函数y=x+有如下性质:

如果常数a>0,那么该函数在（0,]上是减函数,在[,+∞）上是增函数.

（1）如果函数y=x+在（0,4]上是减函数,在[4,+∞）上是增函数,求实常数b的值;

（2）设常数c∈[1,4],求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值.

21.（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a,b为实数）,x∈R,F（x）=

（1）若f（-1）=0,且函数f（x）的值域为[0,+∞）,求F（x）的表达式;

（2）在

（1）的条件下,当x∈[-2,2]时,g（x）=f（x）-kx是单调函数,求实数k的取值范围;

（3）设m·n<0,m+n>0,a>0,且f（x）为偶函数,判断F（m）+F（n）能否大于零?

##

参考答案

一、选择题

1.B　解析:

由对数的定义知x3-x2>0,故x>1.

2.C　解析:

当a=1时,y=x2-1是偶函数,故选C.

3.C　解析:

f

（1）=0,∴f（a）=2.

∴log2a=2（a>0）或2α=2（a≤0）,

解得a=4或a=1（舍）.

4.A　解析:

y=-x3在其定义域内为奇函数且单调递减.

y=sinx在其定义域内为奇函数但不单调.

y=x在其定义域内为奇函数且单调递增.

y=在其定义域内为单调减函数,但不具备奇偶性.

5.D　解析:

y=为奇函数,其图象关于（0,0）对称,排除A,B;当x=2时,y=>0,排除C,故选D.

6.B　解析:

由题意,知kx2+kx+1≠0对任意实数x恒成立,

当k=0时,1≠0恒成立,

∴k=0符合题意.

当k≠0时,Δ=k2-4k<0,

解得0

综上,知0≤k<4.

7.C　解析:

因为f（x）在定义域内为单调递增函数,而在4个选项中,只有f·f<0,

所以零点所在区间为.

8.B　解析:

ax与logax具有相同的单调性,最大值与最小值在区间的端点处取得,f

（1）+f

（2）=-,f

（1）·f

（2）=-,解得f

（1）=a=.

9.A　解析:

∵f（x）为偶函数,

∴f（-x）=f（x）.

又∵f（x）在（-∞,0]上递增,且关于y轴对称,

∴在（0,+∞）上递减.

∵log47=log2>1,

而f（lo3）=f（-log23）=f（log23）且log23>1,

又∵<3,∴1

而f（x）在（0,+∞）上递减,

∴f（log2）>f（log23）,即a>b.

又∵0.2-0.6=

==>2,

∴1

∴f（log23）>f（0.2-0.6）,故b>c.

∴a>b>c.

10.B　解析:

利润L（x）=20x-C（x）=-（x-18）2+142,

当x=18时,L（x）有最大值.

二、填空题

11.（0,）　解析:

由题意知,f（|2x-|）

∴-<2x-<,

解得0

12.2≤m<3　解析:

由题知,只需1∈（m-2,2m）,且m-2≥0即可.

于是0≤m-2<1,且2m>1,

于是2≤m<3.

13.[1,+∞）　解析:

要使f（x）的值域为R,必有a=0,于是g（x）=x2+1,值域为[1,+∞）.

14.　解析:

设f

（1）=m,令x=1,

得f

（1）·f=1,

∴f（f

（1）+1）=,

即f（m+1）=.

令x=m+1,

则有f（m+1）·f=1,

即·f=1,

∴f=m=f

（1）.

又∵f（x）在（0,+∞）上是单调函数,

∴+=1,即m2-m-1=0,

解得m=.

15.①②③　解析:

由条件知-

三、解答题

16.解:

（1）g（x）=+2=+2,

因为|x|≥0,所以0<≤1,

即2

（2）由f（x）-g（x）=0得2x--2=0,

当x≤0时,显然不满足方程,

当x>0时,由2x--2=0,

整理得（2x）2-2·2x-1=0,（2x-1）2=2,故2x=1±,

因为2x>0,所以2x=1+,

即x=log2（1+）.

17.解:

（1）设P点坐标为（x,y）,则Q点坐标为（-x,-y）.

∵Q（-x,-y）在函数y=loga（x+1）的图象上,

∴-y=loga（-x+1）,

即y=-loga（1-x）.

这就是说,g（x）=-loga（1-x）.

（2）当x∈[0,1）时,

令F（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga（a>1）.

由题意知,只要m≤即可,∵F（x）=loga

=loga在[0,1）上是增函数,

∴F（x）min=F（0）=0.

故m∈（-∞,0]即为所求.

18.

（1）证明:

令a=b=0,

则f（0）=f2（0）.

又f（0）≠0,∴f（0）=1.

（2）证明:

当x<0时,-x>0,

∴f（0）=f（x）·f（-x）=1.

∴f（-x）=>0.

又x≥0时f（x）≥1>0,

∴x∈R时,恒有f（x）>0.

（3）证明:

设x1

则x2-x1>0.

∴f（x2）=f（x2-x1+x1）

=f（x2-x1）·f（x1）.

∵x2-x1>0,

∴f（x2-x1）>1.

又f（x1）>0,∴f（x2-x1）·f（x1）>f（x1）.

∴f（x2）>f（x1）.

∴f（x）是R上的增函数.

（4）解:

由f（x）·f（2x-x2）>1,f（0）=1得f（3x-x2）>f（0）.

又f（x）是R上的增函数,

∴3x-x2>0.∴0

19.解:

（1）易知半圆CMD的半径为x,故半圆CMD的弧长为πx,2x+2y+πx=4,解得y=,

依题意知0

（2）设凹槽的强度为T,

则有T=

=-+,

∵0<<,

∴当x=时,凹槽的强度最大.

20.解:

（1）由函数y=x+的性质知:

y=x+在（0,]上是减函数,在[,+∞）上是增函数,

∴=4,∴2b=16=24,∴b=4.

（2）∵c∈[1,4],∴∈[1,2].

又∵f（x）=x+在（0,]上是减函数,在[,+∞）上是增函数,

∴在x∈[1,2]上,当x=时,函数取得最小值2.

又f

（1）=1+c,f

（2）=2+,

f

（2）-f

（1）=1-.

当c∈[1,2）时,f

（2）-f

（1）>0,f

（2）>f

（1）,

此时f（x）的最大值为f

（2）=2+.

当c=2时,f

（2）-f

（1）=0,f

（2）=f

（1）,

此时f（x）的最大值为f

（2）=f

（1）=3.

当c∈（2,4]时,f

（2）-f

（1）<0,f

（2）

（1）,

此时f（x）的最大值为f

（1）=1+c.

综上所述,函数f（x）的最小值为2;

当c∈[1,2）时,函数f（x）的最大值为2+;

当c=2时,函数f（x）的最大值为3;

当c∈（2,4]时,函数f（x）的最大值为1+c.

21.解:

（1）∵f（-1）=0,∴a-b+1=0.

又x∈R,f（x）值域为[0,+∞）,

∴

∴b2-4（b-1）=0,b=2,a=1.

∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2.

∴F（x）=

（2）g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx

=x2+（2-k）x+1

=+1-,

当≥2或≤-2,

即k≥6或k≤-2时,g（x）是单调函数.

（3）∵f（x）是偶函数,

∴f（x）=ax2+1,

F（x）=

∵m·n<0,

设m>n,则n<0.

又m+n>0,则m>-n>0.

∴|m|>|n|.

F（m）+F（n）=（am2+1）-an2-1

=a（m2-n2）>0,

∴F（m）+F（n）能大于零.