小学四年级奥数培训资料.docx
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小学四年级奥数培训资料
小学四年级奥数培训资料
第一讲定义新运算
【专题分析】
随着现代科学技术的发展，尤其是计算机技术的广泛应用，我们常常需要设计一些特定的计算程序（这里所说的程序就是认为约定的某种计算程序）。
在小学数学竞赛中，常出现一些按指定程序计算的问题，解答这类题虽然不需要新的数学知识，但必须仔细阅读题目，严格按指定程序进行计算，才能求出正确的结果。
【王牌例题】
例1设ａ※b表示ａ的3倍减去b的2倍，即ａ※b＝3×ａ－2×b。
例如，当ａ＝5，b＝4时，5※4＝5×3－4×2＝7
（1）计算：
7※8
（2）8※7
【思维点拨】这类题关键是抓住定义本质，这道题规定的运算本质是：
运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。
由此就可以把这种新运算转化成普通的数运算。
【模仿训练】
（1）设ａ、b都表示数，规定ａ○b＝5×ａ－3×b。
试计算：
3○4。
（2）设ａ、b都表示数，规定ａ◇b＝3×ａ＋2×ｂ。
试计算：
5◇ｂ。
例2对于两个数ａ与ｂ，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ＋ａ＋ｂ。
试计算：
6⊕3。
【思维点拨】这道题规定的运算本质是：
将运算符号“⊕”的前后两个数的积加上这两个数，即为运算结果。
由此转化为普通算式计算。
【模仿训练】
（1）对于两个数ａ与b，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ－（ａ＋ｂ）。
试计算：
3⊕5。
（2）对于两个数A与B，规定A◎B＝A×B÷2。
试计算：
6◎4。
例3对于两个数ａ与ｂ，规定ａ▽ｂ＝（ａ＋3）×（ｂ－5），试计算：
5▽（6▽7）。
【思维点拨】算式5▽（6▽7）中小括号的定义与常规运算相同，有括号的要先计算括号里的，再计算括号外的。
5▽（6▽7）＝5▽[（6＋3）×（7－5）]
＝5▽18
＝（5＋3）×（18－5）
＝104
【模仿训练】
（1）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ○ｂ＝ａ＋3ｂ，试计算：
3○4○5。
（提示：
3ｂ就是3×ｂ的简写）
（2）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ□ｂ＝ａ×ｂ÷2试算：
5□6□2。
例4如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规定计算：
（1）3△5
（2）8△3
【思维点拨】这道题规定的运算本质是从运算符号前面的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。
【模仿训练】
（1）如果3□4＝3＋4＋5＋6＝18，6□5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。
试计算：
1995□5
（2）如果2▽4＝24÷（2＋4），3▽6＝36÷（3＋6）。
按此规律计算：
8▽4。
例5羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：
羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上运算的意思是：
羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼；但是狼与羊在一起狼就吃掉羊只剩下狼。
同学们很希望羊能战胜狼，所以我们补充规定一种☆运算，用符号表示：
羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼。
这个运算的意思是：
羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但由于羊多便能战胜狼，当狼与羊在一起时，狼便被羊赶走了而只剩下羊。
对于羊和狼，可以用上面规定的两种运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
运算的结果或是狼，或是羊。
求下面算式的结果：
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）
【思维点拨】这道题必须确切理解两种运算的规定，并正确运用运算顺序。
【模仿训练】
（1）刚才例5是狼战胜了羊，同学们想不想羊能战胜狼，运用例5的运算规定求下面算式的结果看羊战胜狼了吗？
羊☆（羊△狼）△狼☆（羊△羊）
（2）有一个数字符号“”使下列算式成立：
62＝12,43＝13,34＝15,51＝8，按此规律计算：
84。
【巩固练习】
1、设ａ与ｂ都表示数，规定ａ△ｂ＝3×ａ＋2×ｂ。
试算：
（1）6△3
（2）8△4（3）2△（2△3）
2、有两个数A和B，规定A※B表示A与B的积减去A与B的差，试算：
（1）5※4
（2）6※（5※4）
3、如果5⊙2＝5×6，2⊙3＝2×3×4，按此规律计算：
8⊙4
4、定义运算◎为：
A◎B＝A×B－（A＋B）。
求：
（1）8◎12
（2）12◎（3◎3）
5、规定：
ａ△ｂ＝（ａ＋ｂ）÷2。
求：
3△（6△8）
6、对于两个数ａ与ｂ，ａ⊙ｂ表示ｂ×5－ａ×2，计算
（1）29⊙57
（2）38⊙（14⊙23）
7、定义新运算ａ⊕ｂ＝（ａ×ｂ）＋（ａ＋ｂ），求：
（1）6⊕2
（2）（1⊕2）⊕3
8、对于两个数ａ和ｂ，ａ△ｂ等于ａ＋ｂ－1，计算：
（1）（7△8）△6
（2）（5△20）△61
【拓展提高】
1、定义运算为：
ａ▽ｂ＝（ａ＋1）÷ｂ，求2▽（3▽4）的值。
2、有两个整数是A和B，A◆B表示A与B的平均数，已知A◆6＝17，求A的值。
3、规定ａ△ｂ＝（ｂ＋ａ）×ｂ。
求：
（2△3）△（5△8）的值。
4、有一种新运算符号“⊕”使下列算式成立：
2⊕4＝10，5⊕3＝18，3⊕5＝14，9⊕7＝34。
求7⊕3。
5、定义运算“□”为x□y＝2xy－（x＋y）。
试求：
12□（3□4）。
（提示：
2xy就是2×x×y）。
6、4※2＝4＋44＝48，2※3＝2＋22＋222＝246，1※4＝1＋11＋111＋1111＝1234，求2※5的值。
【本章节小结】
本章所学习的定义新运算，它来源于人们的生活，反应了两种数量之间的一种新的对应关系。
在解决此类问题时，一定要严格按照新运算的规定来计算，一步步来不能随便套用普通四则运算中的运算定律。
第二讲数字谜
第1节横式数字谜
【专题分析】
同学们都知道，在数学中有横式也有竖式，如果把式子中的一个或几个数字用字母、文字或符号代替，这样不完整的式子就是数字谜题目。
这些数字好像被虫子吃掉了，所以在我国古代称这种题为“虫食算”。
要求根据算式中给定的数量关系，运用运算法则进行推理判断，求出用字母、文字或符号代替的数。
这里先向同学们介绍横式谜的解法。
【王牌例题】
例1如果A－B＝6且A＋B＝112，那么A和B各代表什么数？
【思维点拨】
（1）根据被减数＝差＋减数，由A－B＝6推出A＝6＋B，把A＋B＝112中的A换成6＋B，得6＋B＋B＝112，可以求出B，再求A。
（2）可以根据和差问题解答，A－B＝6两数差，A＋B＝112两数和，再运用公式解答。
（1）6＋B＋B＝112
（2）A＝（112＋6）÷2
B＋B＝106＝118÷2
B＝53＝59
A＝53＋6＝59B＝59－6＝53
【模仿训练】
（1）如果△＋☆＝16，且☆－△＝2，那么△和☆各代表什么数？
（2）如果☆＋△＝175，且☆÷△＝4，那么☆和△各代表什么数？
例2在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。
217÷□＝□□
【思维点拨】根据217÷□的商是一个两位数，可知除数必须大于2，因此可能是3到9中的数，逐一试除得到：
217÷3＝72……1217÷4＝54……1217÷5＝43……2
217÷6＝36……1217÷7＝31217÷8＝27……1
217÷9＝24……1
根据以上分析只有217÷7＝31符合题意，所以只有一种填法。
【模仿训练】
在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。
（1）456÷□□＝□
（2）326÷□＝□□□……□
（3）646÷□＝92……2
例3在下面方框中填上适当的数，使等式成立。
（1）156÷□＝8……4
（2）□÷7＝44……6
（3）215÷4＝□……3（4）41÷□＝□……6
【思维点拨】根据有余数的除法中的几种关系，进行解答。
被除数＝除数×商＋余数除数＝（被除数－余数）÷商
商＝（被除数－余数）÷除数
【模仿训练】
小马虎在做一道除法题时，做完后因为正确了而太高兴，一不小心将墨水涂在除数上如下式，你能求出正确的除数吗？
（1）617÷□＝25……17
（2）371÷□＝□□
例4在□里填上适当的整数，使不等式成立。
（1）14<□×3<16
（2）17<4×□<23
【思维点拨】根据“□”是整数，则“整数×整数”一定是整数，则可使问题简单。
（1）因为大于14而小于16的整数，只有15，所以□×3＝15，可得□＝15÷3＝5；
（2）因为大于17而小于23的整数有18、19、20、21、22，5个数其中是4的倍数只有20，因此4×□＝20，所以□＝20÷4＝5。
【模仿训练】
（1）在方框中填上适当的整数，使等式成立。
28<□×7<39100>□×30>40
（2）在方框里填上同一个数，是等式成立。
□÷□＋（□＋□－□）＝3
【巩固练习】
1、如果□＋△＝26，且□－△＝10，那么□和△分别代表什么数？
2、在“□”里填上适当的整数，使不等式成立。
（1）120<□×35<160
（2）89>□×3>85（3）86>23×□>60
3、如果○＋○＋○＝□，且□＋□＝120。
那么，○＝（），□＝（）。
4、在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。
（1）207÷□＝□□
（2）183÷□＝□□……1
（3）605÷□＝□□……2
5、将0,1,2,3,4,5,6这七个数字填在圆圈内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。
○×○＝○＝○÷○
【拓展提高】
1、已知□＝△＋△＋△＋△，□×△＝16，求△＝（），□＝（）。
2、在下面的式子里加上括号使等式成立。
（1）7×9＋12÷3－2＝23
（2）7×9＋12÷3－2＝65
（3）7×9＋12÷3－2＝77（4）7×9＋12÷3－2＝47
3、在下列四个5之间，填上适当的运算符号＋、－、×、÷和（），使等式成立。
（1）5555＝10
（2）5555＝15
（3）5555＝25（4）5555＝1
4、将1—8填入下列方格内，使每一横行，每一竖行的三个方格内的数字和相等。
第2节竖式数字谜
【专题分析】
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断。
2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字。
3、试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的。
4、算式谜题解出后，要验算一遍。
【王牌例题】
例1在下面的方框中填上合适的数字。
□76
×□□
18□□
□□□□
31□□0
【思维点拨】由于积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；有由于第二个因数的个位是5，结合第一个因数与5相乘所得的积的情况考虑，可推出第一个因数百位上是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十位上是8。
这样题中其他方框也就很容易填了。
【模仿训练】
（1）6□
（2）□2□□
×35×□□
33□□□04
1□8□□70
□□□□□□□□□
例2在下面的方框里填上适当的数字。
1□
7□
1□
□□
□□
0
【思维点拨】有商的十位是1，以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。
由第1次除后余数是7，可推知被除数的只可能是7、8或9，如果是7，除数个位是0，那最后必有余数，如果十位是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数十位是9时，除数的个位是2，商的个位是6，正好除尽。
【模仿训练】
在下面的方框里填上适当的数字。
□□
□□7
6□□
□□61
□□□□
0
例3下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当每个汉字代表什么数字时，等式成立。
国热＝（）
祖国爱＝（）
爱祖国祖＝（）
热爱祖国国＝（）
＋1热爱祖国
2热爱祖国
【思维点拨】解这类题要利用数字拆分的规律以及加减法之间的关系，确定某一位上要填的数字或大致范围，进行反复尝试，采用试验的方法把不合题意的数字排除掉，找到正确答案。
本题先考虑个位5个国相加的和的个位还是国，可知国＝0，或国＝5，当国＝0时，十位上的4个祖相加的和必须是祖，那么祖也等于0，矛盾！
因此国＝0的情况不可能，所以国只能＝5。
个位上向十位进2，十位上祖×4＋2的和的末位上的数还是祖，推出祖＝6，并向百位进2。
百位上爱×3＋2的和的末位还是爱，推出爱＝9，并且向千位进2。
千位上热×2＋2的和的末位上的数还是热，推出热＝8，由此可得热＝8。
【模仿训练】
下面算式不同汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的汉字，当每个汉字代表什么数时，等式成立。
腾飞巨＝（）
龙腾飞龙＝（）
＋巨龙腾飞腾＝（）
2001飞＝（）
例4在下边乘法算式中，每个字母代表一个数字，不同字母代表不同的数字，A不是0，求A、B、C、D分别代表什么数字。
ABC
×C
DBC
【思维点拨】这道题如果从正面思考难度比较大，我们应当从反面思考，从乘法算式中可以判断C乘C的个位数字还是C，所以C只能是1、5或6，如果C＝1，乘积仍然是第一个因数与条件不符合。
所以C只能是5或6，那么A只能是1。
当C＝6时，无解。
当C＝5时，B＝2或7。
如果B＝2，那么D＝6；如果B＝7，那么D＝8。
所以A、B、C、D各代表1、2、5、6或1、7、5、8。
125175
×5或×5
625875
【模仿训练】
下面的字母分别代表一个数字，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同数字。
AABA＝（）
×CB＝（）
2001C＝（）
例5算式中的汉子分别代表什么数字？
2万紫千红春
×3
万紫千红春2
【思维点拨】个位上的“春”与3的积的末尾是2，则春＝4；十位“红”与3的积的末位应是4－1＝3，则红＝1；百位上“千”与3的积的末位是1，则千＝7；千位上的紫与3的积的末位应是7－2＝5，则紫＝5；万位上“万”与3的积的末位是5－1＝4，则万＝8。
【模仿训练】
花红绿柳花＝（）红＝（）
×9绿＝（）柳＝（）
柳绿红花
【巩固练习】
1、在下面的□里，各填上一个合适的数字，使等式成立。
□□5□10□□
＋□□9－□54
6846
2、下面算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？
科学我＝（）们＝（）
爱科学爱＝（）科＝（）
我爱科学学＝（）
＋我们爱科学
20000
3、在下面的□里填上合适的数字。
□766□
×□□×□□
18□□33□
□□□□1□8
31□□0□□□□
【拓展提高】
下面乘法算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当每个汉字代表什么数时，竖式成立。
欢迎澳门回归祖国
×国
111111111
欢＝（）迎＝（）澳＝（）门＝（）
回＝（）归＝（）祖＝（）国＝（）
第三讲简便运算
【专题分析】
速算和巧算是计算中一个重要组成部分，掌握一些速算和巧算的方法，既能训练思维，又能提高计算效率，节省计算时间。
加减法、乘除法的巧算主要是根据加减法、乘除法的运算定律和运算性质、通过对算式的适当变形使计算简便。
加减法、乘除法的运算定律和运算性质主要有：
加法交换律：
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
加法结合律：
（ａ＋ｂ）＋c＝ａ＋（ｂ＋c）
乘法交换律：
ａ×ｂ＝ｂ×ａ
乘法结合律：
（ａ×ｂ）×c＝ａ×（ｂ×c）
乘法分配律：
（ａ＋ｂ）×c＝ａ×c＋ｂ×c
减法的性质：
ａ－ｂ－c＝ａ－（ｂ＋c）
除法的性质：
ａ÷ｂ÷c＝ａ÷（ｂ×c）
通过本节学习和训练，使学生能够进一步熟练加减法、乘除法运算定律和性质的运用，合理进行转化，从而培养认真观察、细致计算的良好习惯，提升计算能力。
【王牌例题】
例1用简便方法计算下列各题。
（1）558＋764＋442
（2）726＋484＋274＋516
【思维点拨】
（1）根据加法的交换律和结合律，交换加数764和442的位置，使558和442凑成1000再计算；
（2）运用加法的交换律和结合律，使726和274结合，484和516结合，分别凑成1000再计算。
（1）558＋764＋442
（2）726＋484＋274＋516
＝（558＋442）＋764＝（726＋274）＋（484＋516）
＝1000＋764＝1000＋1000
＝1764＝2000
【模仿训练】
用简便方法计算下列各题。
（1）99＋136＋101
（2）361＋972＋639＋28（3）1451＋972＋549＋28
例2计算下面各题。
（1）872－48－272
（2）842－567－133（3）128＋186＋72－86
【思维点拨】
（1）根据减法的性质，交换减数之间的位置，差不变，用872先减去272得整百数，然后再减去48，就比较简便。
（2）这题和
（1）题有所不同，其两减数的和是整百数。
所以根据减法的另一性质：
一个数连续减去几个数，可以用这个数减去几个减数的和，ａ－ｂ－c＝ａ－（ｂ＋c）。
（3）在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
（1）872－48－272
（2）842－567－133（3）128＋186＋72－86
＝872－272－48＝842－（567＋133）＝（128＋72）＋（186－86）
＝400－136＝842－700＝200＋100
＝264＝142＝300
【模仿训练】
用简便方法计算下列各题。
（1）1306－726－306
（2）283＋69－183（3）648－172－15－13
例3用简便方法计算下面各题。
（1）678×1001
（2）48×88＋12×48（3）（360＋108）÷36
【思维点拨】
（1）将1001分成1000与1的和，然后运用乘法的分配率进行计算比较简便。
（2）运用乘法的分配率进行计算比较简便。
（3）两个数的和、差除以一个数，可以用这个数分别去除以这两个数，再求出两个商的和或差。
利用这一性质，可以使计算简便。
（1）678×1001
（2）48×88＋12×48（3）（360＋108）÷36
＝678×（1000＋1）＝48×（88＋12）＝360÷36＋108÷36
＝678×1000＋678×1＝48×100＝10＋3
＝678000＋678＝4800＝13
＝678678
【模仿训练】用简便方法计算下列各题。
（1）（720＋96）÷24
（2）108×12（3）384×105－5×384
例4用简便方法计算下列各题。
（1）4000÷125÷8
（2）25×125×4×8（3）125×64
【思维点拨】
（1）根据除法运算性质，可以用4000除以125乘8的积，这样计算简便。
（2）在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。
此题运用乘法的交换律和结合律，使计算简便。
（3）此题要先变化，把64转化成8×8，先算125×8＝1000，再用1000×8，这样计算比较简便。
（1）4000÷125÷8
（2）25×125×4×8（3）125×64
＝4000÷（125×8）＝（25×4）×（125×8）＝125×8×8
＝4000÷1000＝100×1000＝1000×8
＝4＝100000＝8000
【模仿训练】用简便方法计算下列各题。
（1）16×25
（2）25×17×4（3）5400÷15÷4
例5用简便方法计算下列各题。
（1）125×25×32
（2）9999×2222＋3333×3334
【思维点拨】
这两道题都要先转化，然后运用乘法的运算定律来计算比较简便。
（1）先把32转化成8×4，再把128和8结合，把25与4结合。
（2）此题毛看不能用乘法分配律，其实仔细观察发现，9999×2222可以转化成3333×3×2222，也就是3333×6666。
（1）125×25×32
（2）9999×2222＋3333×3334
＝125×25×8×4＝3333×3×2222＋3333×3334
＝（125×8）×（25×4）＝3333×6666＋3333×3334
＝1000×100＝3333×（6666＋3334）
＝100000＝3333×10000
＝33330000
【模仿训练】
用简便方法计算下列各题。
（1）125×25×5×64
（2）72×94＋36×12（3）430×36＋640×43
【巩固练习】
1、用简便方法计算下列各题。
（1）46＋87＋54
（2）37＋56＋63＋44（3）2318＋625－1318＋625
（4）987－178－222（5）132－85＋68（6）4428＋2267＋7733＋5572
2、用简便方法计算下列各题。
（1）105×16
（2）76×99＋76（3）（4500－90）÷45
（4）36900÷4÷25（6）125×5×2×8（6）88×125
3、用简便方法计算下列各题。
（1）25×24
（2）125×32×5（3）222×64＋444×18
【拓展提高】
用简便方法计算下列各题。
（1）138×27÷69×50
（2）1000×32÷125×25
（3）369＋4598－435＋5402＋631－565（4）3600×25＋7500×36
（5）100000÷32÷125÷25（6）183183×294－294294×183
第四讲错中求解
【专题分析】
在加减乘除算式中，如果粗心大意将算式中的一些数或者运算符号抄错，就会导致计算结果发生错误，如：
小华在计算除法时，把被除数630错写成360，结果得到商是12，正确的商应该是多少？
同学们在做数学题时，往往会写错数字，造成错误答案，在这一讲里专题研究改错的对策，根据熟练加减乘除各部分之间的关系，依题目中所给的条件，认真分析隐含的数量关系，从而找到正确的结果。
【王牌例题】
例1小李在计算两个数相加时，把一个数个位上的7错写成了1，把另一个加数百位上的2错写成3，所得和是2003，原来两个数相加的正确答案是多少？
【思维点拨】根据题意，一个加数个位上的7被写成了1，少加了6；另一个加数百位上的2错写了3，多加了100，这样所得的和比原来多了100－6＝94。
2003－（100－6）或2003
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