中考数学压轴专题强化卷 等腰三角形的存在性无答案.docx

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中考数学压轴专题强化卷等腰三角形的存在性无答案

等腰三角形的存在性专题

例题讲解

例1、已知抛物线y＝－x2＋mx－n的对称轴为x＝－2，

且与x轴只有一个交点．

（1）求m，n的值；

（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；

（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：

在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝1，OC＝2，点D在边OC上且OD＝

．

（1）求直线AC的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？

若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

例3、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在AB边上，AE＝3，F是BC边上不与B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′＝．

例4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），

例5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2－3x－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E（3，－4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：

当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

进阶训练

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为t，若△DMN是等腰三角形，求t的值．

2、设二次函数y＝x2＋2ax＋

（a＜0）的图象顶点为A，与x轴的交点为B，C．

（1）当△ABC为等边三角形时，求a的值，

（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求a的值．

3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（0，2），E为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），以E为顶点作∠OFT＝45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC＝AB．抛物线y＝

x2＋mx＋n经过A，C两点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）求证：

∠BEF＝∠AOE；

（3）

当△EOF为等腰三

角形时，求此时点E的坐标．

4、如图，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A（－5，0），B（－1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，连结PA，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，请问：

△APD能否为等腰三角形？

若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

5、如图，抛物线y＝ax2＋2x－3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（1，0）．直线y＝

x－

分别与x轴，y轴交于C，F两点．Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF干点D．点E在线段CD的延长线上，连结QE，问：

以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

破解策略

线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：

先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．

如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐

角三角函数、相似三角形等知识解决问题．

（2）代数法：

先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．

有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．