空间中的平行与垂直教案.docx
《空间中的平行与垂直教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间中的平行与垂直教案.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
空间中的平行与垂直教案
直线与平面的平行与垂直教案
高级中学数学组肖蕾
教材分析
本节选自2011新课标高考总复习，属于人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修2的内容。
本节课主要复习直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定、性质定理及其简单应用。
线、面的垂直关系是空间位置关系中的核心内容之一，是线面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。
同时，线、面垂直关系的转化，能较好的培养和提高学生的转化意识和能力，对学生的空间想象能力的提高有举足轻重的作用。
学情分析
本节课是12月下旬上，学生越临近高考越患得患失，太注重结果，忽视过程，心态急躁，急功近利，毛手毛脚，不知所措，并且由于我所任课班级学生是非重点校的学生，生源弱，基本功差，学生已经学习了直线、平面垂直的判定及其性质，复习了直线、平面平行的判定及其性质，对空间概念有一定的基础。
但是，在考试中真拿满分的只有几个人，具体暴露的问题挺多，绝大多数的同学都出现“会而不对，对而不全”解题不规范的情况，另外改卷过程中发现各种不同书写错误，引发教师进一步探究，但评讲试卷时要全盘考虑不便展开，同时学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，转化意识还有待加强
考纲分析
《___普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲的说明》中要求：
了解空间直线和平面的位置关系，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理；了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
同时，考纲指出：
能以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
高考命题分析
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体。
客观题中，多考查平行与垂直有关的命题真假的判断，在解答题中多考查线线、线面、面面平行及垂直的证明。
复习时多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判定作为重点。
在新课标教材中立体几何的要求有所降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，知识深化和拓展。
教学目标
知识与技能目标
（1）在了解直线与平面的位置关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系）的基础上，掌握有关平行及垂直的判定依据（定义、公理和定理）、判定方法及有关性质定理；
（2）在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；
（3）在有关问题的分析与解决的过程中提高推理能力、运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．
过程与方法目标
（1）学生自主复习直线、平面平行及垂直的判定和性质。
。
“线线平行、线面平行、面面平行”和“线线垂直、线面垂直、面面垂直”转化的数学思想。
（2）准确运用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义和定理进行准确表述和合理转换．加强对定理的理解。
通过练习，使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系。
情感与态度目标
培养学生严谨的语言表述能力和“言之有理”的逻辑思维的习惯、提高思维品质。
养成严谨、求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．
高考命题分析
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体。
客观题中，多考查平行与垂直有关的命题真假的判断，在解答题中多考查线线、线面、面面平行及垂直的证明。
复习时多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判定作为重点。
在新课标教材中立体几何的要求有所降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，知识深化和拓展。
重点难点
重点:
直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质定理，会利用上述知识论证和解决有关问题。
难点：
线线平行、线面平行、面面平行的转化和应用。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和应用。
教学策略
采用启发式、引导式、参与式以及讲练结合的教学方法。
通过层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的复习，独立思考和探究。
注重学生的认知发展规律，加强学生空间观念的培养。
学法指导
引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式；引导学生进行“问题式学习”，培养学生分析和解决问题能力。
在提出问题后鼓励学生去主动尝试、探索，让学生体验问题解决的思维过程。
在学生遇到困难时，教师适时进行指导、讲解，帮助学生突破难点。
教学手段
计算机多媒体教学
教学过程
一、平行
复习定理
解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：
1.
直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行．
☺简称：
线线平行，线面平行.
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
☺简称：
线面平行，线线平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
☺简称：
线线平行，线面平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
☺简称：
面面平行，线线平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
☺简称：
面面平行，线线平行.
定理应用
方法一）：
构造平行四边形
方法二）：
构造平行平面
构造平行四边形
构造平行平面
二、垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：
复习定理
1．直线与平面垂直判定
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.
☺简称：
线线垂直，线面垂直.
2．直线与平面垂直性质
如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这个平面内任意一条直线都垂直.
☺简称：
线面垂直，线线垂直.
3．平面与平面垂直判定
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
☺简称：
线面垂直，面面垂直.
4．平面与平面垂直性质
性质：
如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.
☺简称：
面面垂直，线面垂直.
定理应用
1.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，AB=3，AC=5，BC=4.
1）在四面体ABCD中有几个直角三角形？
2）有几组平面垂直？
3）你能找出A点在面BCD上的射影吗？
3、如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形。
底面
，证明：
归纳小结
1．垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
巩固提高
练习：
下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是（）
A.①③B.②③C.①④D.②④
解析②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
②③错，选C.
例1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．
（1）求证：
BC1∥平面CA1D；
（2）求证：
平面CA1D⊥平面AA1B1B.
证明：
（1）连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．
又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：
（2）∵AC＝BC，
D为AB的中点，
∴在△ABC中，AB⊥CD.
又AA1⊥平面ABC，
CD⊂平面ABC，
∴AA1⊥CD.
又AA1∩AB＝A，
∴CD⊥平面AA1B1B.
又CD⊂平面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
例2.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，
四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝
，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．
（1）求证：
DE∥平面PAB；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PBC；
（1）分析：
（1）证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；
（2）证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线.
（1）方法一（构造平行平面）
证明 如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.
在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，
∴EF∥PB.
在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，
∴BF＝
BC＝1.
又∵AD∥BC，且AD＝1，
∴AD
BF.
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴FD∥AB.
又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，
∴平面EFD∥平面PAB.
又∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面PAB.
方法二：
（构造平行四边形）
证明：
如图所示，取线段PB的中点H，连接
EH、ＡＨ.
在△PBC中，E、Ｈ和分别为PC、PB的中点，
∴EH
BC.
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，且AD＝1，BC＝２
∴AD
BC.
∴AD
EH.
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴ＥD∥AH.
又∵ＡＨ⊂平面PAB，且ＥD
平面PAB
∴DE∥平面PAB.
（2）证明 在直角梯形中，CB⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD＝AB，
∴CB⊥平面PAB.
∵CB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB.
巩固提高
1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．
在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法．不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系．
2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易
忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明．
课题：
空间中的平行关系
授课人:
杜仙梅
教学目标：
1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。
2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化．
教学重点、难点：
线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用；两个平面平行的判定和性质及其灵活运用．
教学方法：
探究、引导、讲练相结合
教学过程：
基础知识梳理
1．直线与平面平行的判定与性质
（1）判定定理：
平面外一条直线与_______________平行，则该直线与此平面平行．（此平面内的一条直线）
（2）性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线．（平行）
2．平面与平面平行的判定与性质
（1）判定定理：
一个平面内的与另一个平面平行，则这两个平面平行．（两条相交直线）
（2）性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线．（平行）
思考：
能否由线线平行得到面面平行？
【思考·提示】 可以．只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行．
三基能力强化
1．两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是（ C ）
A．a∥α
B．a与α相交
C．a与α不相交
D．a⊂α
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_____．（平行）
课堂互动讲练
考点一
直线与平面平行的判定：
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
（1）利用定义（常用反证法）．
（2）利用判定定理：
关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
（3）利用面面平行的性质定理：
当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．
特别提醒：
线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．
例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.
求证：
PQ∥平面BCE.
【证明】 法一：
如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN、PQ.
正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.
又∵PM∥AB∥QN，
∴PM∥QN，
即四边形PMNQ为平行四边形，
又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
法二：
如图所示，连结AQ，并延长交BC于K，连结EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，
∴HQ∥AD，即HQ∥BC.
又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B，
∴平面PHQ∥平面BCE，
而PQ⊂平面PHQ，∴PQ∥平面BCE.
【点评】 法一、法二均是依据线面平行的判定定理在平面BCE内寻找一条直线l，证得它与PQ平行．
特别注意直线l的寻找往往是通过过直线PQ的平面与平面BCE相交的交线来确定．
法三是利用面面平行的性质，即若平面α∥β，l⊂α，则l∥β.
考点二
平面与平面平行的判定
（1）利用定义（常用反证法）．
（2）利用判定定理：
转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行．
例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：
平面A1EF∥平面BCGH.
【思路点拨】 本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明．
【证明】 △ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.
又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，
∴EF∥平面BCGH.
又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，
∴四边形A1FCG为平行四边形．
∴A1F∥GC.
又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又∵A1F∩EF＝F，
∴平面A1EF∥平面BCGH.
【点评】 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行是常用的方法，即若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，a∩b＝O，则α∥β.
考点三
直线与平面平行的性质
利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找（或作）过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．
例3如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：
AP∥GH.
【思路点拨】 要证AP∥GH，只需证PA∥面BDM.
【证明】 如图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，∴MO∥PA.
又∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.
又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.
【点评】 利用线面平行的性质定理证明线线平行，关键是找出过已知直线的平面与已知平面的交线．
考点四
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图．
应用性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．
例4（解题示范）（本题满分12分）
如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截．
（1）是否一定有AD∥BE∥CF?
（2）若＝λ，＝μ，试判断λ与μ的大小关系．
【思路点拨】 本题是开放性题目，是近年来高考热点，利用面面平行的性质证明BG∥CH，从而可得λ=μ.
【解】
（1）平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE.
同理不总有BE∥CF，
∴不一定有AD∥BE∥CF4分
（2）过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面交平面α，β，γ于AD，GE，HF.
根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF，6分
∴AG＝DE，同理GH＝EF.
又过AC，AH两相交直线的平面与平面β，γ的交线为BG，CH.9分
根据两平面平行的性质定理，
有BG∥CH，
【误区警示】
（1）小题易出错，其原因是把AC、DF习惯地认为是相交直线．
规律方法总结
1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．在应用有关定理、定义等解决问题时，应当注意规范性训练，即从定理、定义的每个条件开始，培养一种规范、严密的逻辑推理习惯，切不可只求目标，不顾过程，或言不达意,出现推理“断层”的错误．
课后作业
1．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为（ ）
A．若a∥β，α∥β，则a∥α
B．若α∥β，a⊂α，则a∥β
C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b
D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
答案：
B
2．（教材习题改编）a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
其中正确的命题是（ ）
A．①②③B．①④⑤
C．①④D．①④答案：
C
3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．（6）
3．互动探究：
正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，若D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：
如图所示，连结A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连结ED，
∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D=ED，
∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点，
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
又A1D1∩BD1=D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
4．
高考检阅：
（本题满分12分）如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间，点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.
解：
（1）证明：
如图，连结BM、EM、BE.
∵β∥γ，平面ACF∩β＝BM，
平面ACF∩γ＝CF，
升级会员 