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线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换

知识要点：

1线性空间的概念和结构，基变换、过渡矩阵和向量的坐标变换。

2、线性子空间的概念，维数定理，直和与直和分解定理。

3、线性变换及其矩阵表示。

4、欧氏空间与酉空间，正交阵与酉阵，正交补与正交分解。

5、正交变换及其特征。

6、应用于小波变换的框架理论（对偶框架，紧框架，Riesz基）。

§・1线性空间

一、线性空间的概念

在诸如所有n维实向量构成的集合Rn等集合中，线性运算是研究向量性质的基本工具，它能从线性相关性和线性结构的角度研究向量、向量组之间的关系，这在线性代数课程中已

得到充分展示。

对于更加一般的元素构成的集合，也可同样在其中引入“线性运算”，进行集合性质和结构的研究。

通常具有某些运算工具的集合称为“空间”。

定义1（definition）：

设非空集合V相对于数域P具有封闭的加法和数乘运算，并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素，同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。

若V

中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与分配律和乘1不变性，则称V为数域P上

的线性空间。

注1（note）：

数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集，如有理数集、实数集和复数集等。

注2：

易证零元素和负元素均是唯一的，零元素为0,元素x的负元素记为-X。

注3:

任何线性空间必含有零元素0,只含有零元素0的线性空间称为零空间，记为。

对于元素x,y和数■,」，x与y的和记为xy，■与x的数乘记为x，■x」y称

为x与y的线性运算或线性组合。

一个集合是否构成一个线性空间，主要是看所引入的线性运算是否具有封闭性。

例1（example）:

数域P上的n维（行或列，以后若不加声明均指列）向量空间Pn。

按n维向量的线性运算，Pn构成数域P上的线性空间。

例2：

Pn中的子集S二「xAx=0l，其中A为P上mn阶矩阵。

按Pn中的线性运算，非空子集S是封闭的，从而构成数域P上的线性空间。

例3：

数域P上的mn阶矩阵空间Pmn。

按mn阶矩阵的线性运算，Pmn构成数域P上的线性空间。

例4：

数域P上的多项式空间P[x]。

按多项式的线性运算，P［x］构成数域P上的线性空间。

例5：

区间［a,b］上的实值连续函数空间C［a,b］。

按函数的线性运算，C［a,b］构成数域P上的线性空间。

例6：

pn中子集V=「xAx=b=O?

，其中APmn，bPm。

因为A（2x）二2b=b，所以x7时，2x・，V，即数乘运算不满足封闭性，因而V不

构成数域P上的线性空间。

例7：

设V={x^Rx定义V中的"加法㊉”和"数乘3”为：

x十y=xy，人述x=x

x,rV，■-R，则V为R上的线性空间，其中V中零元素为1，x的负元素为一。

以上各例的完整证明留给读者完成。

二、线性空间的结构

由于线性空间中已建立了线性的运算工具，因此可类似于n维向量空间中的做法，考察

元素间的线性相关性和线性空间的结构。

为习惯起见，以后线性空间中元素仍称为向量。

定义2:

设〉1,〉2,_,儿为数域P上的线性空间V中的一组向量，若有P中不全为零的一组数ki,k2,…,kr，使得ki：

ik2〉2•kPr=0，则称〉1,〉2,…，〉r线性相关，否则称为线性无关。

显然，若使得k1：

「k2〉2•kr〉r=0成立的数«*2,…，匕只能全为0,则向量组

〉1」2,…，〉r必是线性无关的。

由此可知，单个非零向量也是线性无关的。

定义3：

设线性空间V中有一组非零向量…，ar，满足：

（1）〉1,〉2，…Jr线性无关；

（2）V中任一向量均可由〉1,〉2，…」r线性表示。

则称一叫，二2,…，召为V的一组基，数r称为V的维数，记为dimV。

注1线性空间的基不是唯一的，但其维数是唯一确定的。

注2：

线性空间的基可以理解为空间中的参照系，能将所有元素线性表示出来。

定理1：

设〉1」2,…，〉n为数域P上线性空间V的一组基，则对于任何向量—V，存在唯一一组数k1,k2/,kn•P，使得1=kr1k2〉2宀」k"n，从而

V={&%+k2^2+…+人％匕人,…KEP}。

证明：

对于向量］=kr1k^k^：

n，若有一组数k；,k2,…，k「P，使得

-哉：

1卡2：

2"n：

n，则（匕一匕）：

1化一k』：

2「心一k）：

n=0。

由基〉1」2,…「n的线性无关性可知，k^k；,k^k2/,kn=kn。

因此，向量：

在基宀，〉2,…「n下的线性表示是唯一的。

由基的定义可知，Vu｛匕耳+k2o（2+…+knank1,k2,…，kn€P｝。

由线性运算的封闭性可知，对于任意灯k2,…，kn：

二P，k,：

「k2〉2亠•亠kn〉n：

=V，

从而^kvk^2'"+佔匕也,…KEP｝uV。

因此，V=｛kg+k2o（2+…+knank1,k2/t,knP｝。

■-kr

lkn丿

广1

0…

■0

1■■亠

0、

0…

0、

0…

0」

m-n

0…

0」

m对

0…

1」

m：

二mn；

为Pmn中的一组基，

dimPmn

组基,dimP[x]n二n；

C［a,b］均不是有限维的线性空间。

以上结论由读者自行证明。

由此可得，k=k2=k3=k4=0。

因此，Eh,E12,Er,E22线性无关。

2ab

对于R>?

中的任意矩阵A=，总有

工d丿

A=（a-b）E“（b-c）E12（c-d）E21dE22,

（21、因此，EgE12,E21,E22为R2>2中的一组基，并且矩阵B=在这组基下的坐

I。

2丿

标为（1,1,—2,2）t。

匕+k2+k3+k4=2

注：

若令krEn+k?

E12*ksE?

1*E22=

k2k3k4=1k3k4=0k4=2

解之即得，k=1,k2=1,k3=-2,k4=2。

三、基变换、过渡矩阵和坐标变换

在实际问题中，某个参照系中的描述和分析较为复杂和困难时，往往需要建立新的参照

系，使得原问题形式简化和分析简单。

就像转换观察角度后，问题的形式和性质可以变得更

加简单明了。

因此，当线性空间的一组基被理解为空间中的一种参照系时，自然就存在基之

间的转换。

定义4：

设〉1,：

2_,：

「和42…，订为线性空间V中的两组基，若

卄口1〉1*P21〉2宀」PnV'n

'2~口2闷.p22=2'Pn2=n

卄Pin—P2『2「一Pnn〉n

则矩阵P=（卩几称为从基〉1,〉2,…，〉n到基-1,-2/','n的过渡矩阵。

将上述基变换表达式简记为r,、,…，=〕：

〔：

対，〉2,…「nP，称之为基变换公式。

定理2：

线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。

证明：

设从基〉1,〉2,i「n到基■J,…，=的过渡矩阵为P，则

…,「二〉1宀,…/nP。

%、

tk2「亠

对于任何列向量（ki,k2,…，kn）,P:

=0时，必有

占丿

由基広爲,…，久的线性无关性，可得：

=0。

再由线性代数知识可知，过渡矩阵P是可逆的。

推论：

设P为基5〉2,…「n到基'I,'2/',：

n的过渡矩阵，则基：

1,\厂，=到基

冷「2,…，〉n的过渡矩阵为P。

证明：

设基',J,…，：

n到基〉1,〉2,i,〉n的过渡矩阵为Q，则由

F2…,X二>1,>2,…,〉nP，〉1,〉2,i,〉n=5-，…,1nQ

可得-1,-2/',—「宀，〉2,…，：

nP=-1,-2/','nQP。

Z1、

比较左、右对应项在基即02，…，札下表达式的系数，可得QP=（记为E），

即Q=P'。

这说明1「2,…，=到：

d〉2,…厂n的过渡矩阵为P_1。

注：

由一组基：

二一,…，〉n和一个可逆矩阵P，可构造出另一组基^/'2/'/'nP。

定理3：

设向量〉在基〉1」2,…」n和基'1,'2/','n下的坐标分别为

基〉1」2,…」n到基-1,'2/',：

n的过渡矩阵，则

甲1、

為

込

九2

■-

或

■

l»n丿

冲j

甲1、

证明：

由（厲,®，…,an）

化2

=（B1,02，…,Bn）

及（优严2广，忻）=（^1,色，…，5）P

1打J

Vn丿

得,（0（1,。

2，…，％）

I-

=1,口2，…«n）P

卩2

，从而

K-

■

或

・■

=P-

1扎丿

严J

占J

注：

上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式。

例10：

验证：

1=1,:

・2=x,>3=X2和M=1,-^x-1,X-1均为P[x]3中的基，并求前一组基到后一组基的过渡矩阵，以及p=1-2x「3x2在后一组基下的坐标。

解：

考察匕二转2〉2*k3〉3=0，即k1k2xk3x2二0对任何数x成立，则由多项式理论可

知k1=k2=k3=0。

因而>1,〉2,>3是线性无关的，并构成P[x]3的一组基。

由：

1=1「「，2=^x~^-：

^：

2,：

3=〔X-1「1一2〉2*3及矩阵

G-11、

P=01-2可逆知，％,打严3也构成P[x]3的一组基，并且基«1«2«3到基

201」

-1,-2,-3的过渡矩阵为P。

由p=1-'2x-'3x=-4-8（x-1）-'3（x「1）=-4-1~'8-2~'3-3可得，p在基，Z-4X

冃,乌,％下的坐标为-8。

<_3J

r1、

注：

也可先求出P=

，再计算出

-2

-8

[丿

1一3」

<_3>

例11：

已知R4的两组基分别为

■^（1,0,0,0）T,-2=（1,2,0,0）T「3=（0,0,1,1）T,\=（0,0,—1,1）T，

试求基〉1,：

2：

3〉4到基：

1,：

2,3：

4的过渡矩阵。

解：

设：

1,：

2,：

3,：

4一「1,〉2,：

3〉4P，则

（1

0、

「1

0、

-1

1°

-b

四、线性子空间的概念

质研究的一个补充，至少可以将整个集合分解成一些特殊的子集。

对于线性空间，那些保持着原有的线性运算封闭性的子集，有着重要的意义。

定义5：

设W是线性空间V的非空子集，若W关于V中的加法和数乘也构成线性空间，则称W是V的一个线性子空间。

显然，零空间是任何线性空间V的子空间。

例12：

设冷，…,…，〉n是数域P上线性空间V中的一组向量，则集合

丄1〉1k2〉2+k「nk1,k2，，kn•P'

构成V的子空间，称为由［忙匕,…，〉n的生成子空间，记为Span：

®,—,…，。

证明留给读者完成。

子空间判别定理：

线性空间V的非空子集W为V的子空间的充分必要条件是W对V中的

线性运算封闭。

从子空间的定义中很容易看出该定理是正确的。

根据上述判别定理，不难证明以下的结

论1和结论2。

结论1:

设V1、为线性空间V的子空间，贝UV1与的交V1V2也是V的子空间，称为交空间。

结论2：

设V1、V2为线性空间V的子空间，贝UV与V2的和

y+v2={%十冬囤乏v2}

也是V的子空间，称为和空间。

例13：

设V1二'xAmnX=O,X，Rn',V2=B|“X^O,X，R^?

Amn,Bln均为实矩阵，

则yGV?

=｛xAm刈x=0,B|刈x=0,x€Rn｝。

结论是显然成立的。

例14：

设8=（2,—1,0,1Tg=（1,-1,3,7卡厲=（1,2,1,0=（-W,lj,

V,=Spa用：

',：

/,V2二Span匚＜，求VV2、V）V2及它们的一组基。

%）

Ik解：

任取gV^lV2，则ot=匕％+k2ot2=hE+12%，即（旳,0^,—/,—%）2=0。

J2」解之得，（k1,k2,h,l2）T=k2（—3,1,—1,4）丁，从而a=k2（—5,2,3,4）T，k2^R。

由此可得，二｛k（—5,2,3,4）T|k€r｝，（_5,2,3,4）T为其一组基。

任取xV（+V2，贝则：

=匕：

kz-s+hrl2：

2,因此VV2=Span：

、s,「2,「，：

2】。

由秩R（：

1,：

2,：

1）=秩RC1,：

2,1,：

2）=3可知，〉1,〉2,：

1为V1V的一组基。

维数定理：

设V1、V为线性空间V的子空间，贝U

dimyi亠dimV,二dimV（V2i亠dimV（V2。

证明：

设dimV=m,dimV2=n,dimVV2=l，取MV2的一组基：

仆：

2「，：

丨,并将其分别扩展为M和V2的基：

〉1,〉2厂，〉|,〉11厂，：

韦；〉1「2,…「「1…，"。

以下证明＞1,…/m,-1/',-n_l是线性无关的，从而构成V1V2的一组基。

考察冷1gm也1J心n「n厂0,

由“1宀」Jim二-6Jr」G可知，右端属于UV?

可由〉1,〉2，…，一线性表示，即有-心仆*…RnJ：

n_L—…*乍1，整理后得到

1「^'|：

「心J1…心n「n4=0。

由爲1，…，-可,'1,'n4的线性无关性可得，，1二…-'|=心1二…=km-nJ=0,从而

心1…=0。

再由＞1,…，〉m的线性无关性可得，K二…二5二匕1二…二也卫=0，从而向量组[…，打，…」m,[,…，—线性无关，并构成V1V2的一组基。

由此可得，

dimV1V2二nm-I，并且dimydimV,=dimMV2dimMV2。

定义6：

设v、V2为线性空间v的子空间，若VV中每个向量：

-的分解式■■■-r?

（V1,:

2V2）是唯一的,即〉1*2=〉1+〉2,〉1,V，:

2＜＜V2时，总有〉1厂1,

〉2=〉2，则称VV2为V1与V2的直和，记为Vi二V2。

直和判别定理：

设V1、V2为线性空间V的子空间，则

V1V2=V1-V^V1勺2==dimV1dimV2=dimV1V2。

证明：

若V1V2是直和，假设存在xeV1V2,〕=0,则x三u,-一V2，并且•-?

-0，由零向量分解式的唯一性可得，:

=0，这与假设矛盾，因此而v1v2。

若ViV^'o?

，假设V1V2中向量〉的分解式不唯一，即存在：

-1,M-Vi「2「2・V2，:

八|-；1,:

八1：

>2，使得〉=:

1「1=：

»-2。

由此可得，：

1-二2=：

2_：

1.VV2，从而冷-「2「2-和=0,即卩>1=匚〉2「2，这与假设矛盾，因此VV2是直和。

这说明yv2二v2=v1v2二。

另由维数定理可知，V1V2邛0二=dimV1dimV2=dimV1V2。

注1：

VV,为直和的充要条件为某一向量（包括0）的分解式唯一。

这只要注意到如下事实：

设向量:

的分解式■■-M---->2是唯一的，并且0的分解式为0=1；1「2，贝2-「0=（〉1「1）（七•-2）。

由此可得，S=0「2=0，因而0的分解式是唯一的。

对于任意向量•V，若=1•2=1+2,1,

则（1-1）（2-）2=0，并且1-「V1,2-2*V2。

由0的分解唯一性的可得，1=1,2=2，即任意向量的分解也是唯一的。

注2：

V、V2的基合并在一起构成VV2基的充分必要条件是VV2为直和。

直和分解定理：

设v为线性空间V的子空间，则存在V的子空间v2，使得V二y二v2。

证明：

任取V的一组基：

-1,>2,…，〉1,将其扩展为V的一组基〉1，〉2,…，〉l，〉l・1…「m。

令V2=SpanJ，〉J,则V1V2“0?

。

因此V为V和V2的直和，并且V二V2。

注1:

若:

'1/'2/'/n为V的一组基，则V=SpanX-VSpan=2C…三Spa,但SpanI®』Span<<2}U…USpan°n}远远不能充满线性空间V。

注2：

直和分解的意义还在于将大规模的线性运算分解成较小规模线性运算的线性组合，这

将大大加快线性运算的速度，傅立叶（Fourier）变换的快速计算就是建立在这种思想上的。

§・2线性变换及其矩阵

一、线性变换及其运算

线性变换是线性运算和运算具有线性性的共性化的概念，其本质是像的线性运算与原像

的线性运算可以互相转换。

如n维向量的线性变换、函数的微分和积分运算均为线性变换。

定义1：

设T是数域P上线性空间V到V（或另一线性空间）中的映射，若对任何a,b・V,

P，总成立着T（ab^TaTb，T（，a）—（Ta），则称T是V上线性变换。

222^22

例1：

对于任意x€P,T（x）=Ax€P，其中AEP江，则T为P上的线性变换。

对于任意f（x）=a+bx+cx2^P[x]3,T（f）=beP3，则T为P[xb上的线性变换。

对于任意f（x）・C[a,b]，T（f）二f（x）dx・P，则T为C[a,b]上的线性变换。

对于任意f（x）C[a,b]，D（f）二f（x）C[a,b]，则D为C[a,b]到C[a,b]中的线性变换。

对于任意A=（ajn•Pnn，T（A）=A•P,则T不构成Pnn上的线性变换。

以上结论由读者自证。

结论1：

线性变换的加、减、乘、数乘和逆运算仍为线性变换，线性空间V上所有线性变换

的集合构成线性空间，记为L（V）。

线性变换的研究与其他许多数学对象一样，常常是从运算性质、特殊区域上的表现、运

算表达式等方面着手的。

二、象空间、核空间和不变子空间

定义2：

设T是V上线性变换，V中所有向量在T下的像构成的集合T（V）二＜Txx・V?

称为T的像空间，V中所有被T变换成0的向量构成的集合Ker（T）=「xTx=0,x・V?

称为T的核空间。

注：

T的像空间和核空间均为V的子空间。

定理1：

设T是V上线性变换，则dimT（V）dimKer（T）二dim（V）。

证明：

取Ker（T）的一组基二，：

’,…，：

'，并将其扩张为V的一组基〉1,…，'〉丨1,…，〉n,则对于任何：

…V，「-心]•…•Qi「Tn〉n，总有「•-kl汀打•kn「n，从而T（V）二Sapn：

T：

j彳,，T：

n』。

考察’l1「|1*'n「n=0,由T的线性性可知，T（'|.i〉ii「——’n〉n）H0,

从而’i「ii…Ker（T），因此可由、二,i线性表示，即有

lVi1r'n〉n=A〉1宀2〉2Wl。

再由…，订：

i1,…」n的线性无关性可知，’|1「二’n=0,从而1,…，TS线性无关，因此T〉|1,-,T〉n构成T（V）的一组基。

由此可知，dimT（V）二n-1，从而dimT（V）dimKer（T）二dim（V）。

定义3：

设T是线性空间V上的线性变换，W是V的子空间，若T（W）W，则称W为T

的不变子空间。

例2：

对于任意f（x）・P[x]，设Tf=fX）PX]，则P[x]n是线性变换T的不变子空间。

显然，T是P[x]上的微分变换，也是一个线性变换。

由于多项式的导数必为低阶的多

项式，因此P[x]n是线性变换T的不变子空间。

例3：

对于任意xePn，设Tx=Axwpn，aePn>n，贝yS、={xAx=XxxePn}是线性

变换T的不变子空间。

显然，T为Pn上的线性变换，S}Ax=^x,xePn}是A的特征子空间。

对于任何XS,,A（Tx）二A（Ax）=ACx）—（Ax）='（Tx），即TxS.,因而S是线性变换T的不变子空间。

注：

不变子空间是线性变换的属性在定义空间上的反映，不变子空间中线性变换的性质独立

于其它范围中的性质，因此寻找合适的不变子空间是性质分析的重要内容。

结论2：

设T是V上线性变换，则T（V）,Ker仃）均为T的不变子空间。

三、线性变换在基下的矩阵表示

定义4：

设T为线性空间V上的线性变换，若V的一组基e11e2/',en在T下的像为

'an2en

Tei=玄110■玄2冷2■…■an£n

，则称A=（aj）「Pnn为T在e,e2,…0下的矩阵表示

Ten+a2ne2卄"+annen

（或为T的变换矩阵），并将上述表达式记为

T（e,e2,,en）=（Te1,Te2,g）二⑥忌,en）A。

注：

A不一定可逆，但A可逆时Te11Te2/,Ten也构成一组基。

结论3：

设T为线性空间V上的线性变换，则L（V）与Pnn是同构的（isomorphic）。

即L（V）中线性变换与Pnn中矩阵一一对应，并且保持对应的线性运算。

因此，L（V）中的基对应于

Pnn中的基，两空间的维数相同。

这说明除符号形式不同外，从线性运算的角度看，L（V）与Pnn没什么区别。

可以认为，

矩阵和线性变换本质相同，只是表现形式不同而已。

因此，在变换分析和代数运算两种基本

方法之间就架起了沟通和转换的桥梁。

定理2：

设〉1「2,…

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