68 线性空间的同构.docx
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68线性空间的同构
学习单元8：
线性空间的同构
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l导学
学习目标：
了解同构映射的概念，掌握线性空间同构的概念；理解同构映射的性质；掌握线性空间同构的判别。
学习建议：
建议大家多看书，认真阅读定义，理论联系实际，通过具体线性空间去理解相关概念与结论，对例题要深刻理解，认真完成练习题。
重点难点：
重点：
线性空间的同构映射的概念与性质。
难点：
同构映射在实际问题中的应用。
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l学习内容
一、n维线性空间中向量与坐标的对应关系
令V为Pxxn维线性空间，
a
1,L,a
n为V的一个基，Vxx每个向量在a
1,L,a
n下有唯一的坐标，令
s:
V®Pn
a®a在a
1,L,a
n下的坐标
即当
a=x
1a
1+L+x
na
n时，s（a）=（x
1,L,x
n）。
命题s为V到
Pn的一一映射（双射），并且
s（a+b）=s（a）+s（b）,a,bÎV；
注：
这种对应正是几何问题转化为代数问题的理论依据。
二、线性空间同构的概念
定义设V与
V'均为数域Pxx线性空间，若存在V到
V'的双射s满足。
（1）s（a+b）=s（a）+s（b）,a,bÎV（即s保持加法）。
（2）s（ka）=ks（a）,。
kÎP,aÎV（即s保持数乘）
则称s为V到
V'的一个同构映射。
若V到
V'之间存在同构映射，则称V与
V'同构，记为V@V'。
定理设V为数域Pxxn维线性空间，则
V@Pn。
三、线性空间同构的性质
令
V,V'为Pxx线性空间，s为V到
V'的同构映射。
1．s（0）=0,s（-a）=-a。
2．s（k
1a
1+L+k
ra
r）=k
1s（a
1）+L+k
rs（a
r）。
3．a
1,L,a
r为Vxx一个向量组，则
a
1,L,a
r线性相关当且仅当s（a
1）,L,s（a
r）线性相关。
4．dimV=dimV'，特别当
V
1£V时，s|
V为V
1到s（V
1）的同构映射，且1
dimV
1=dims（V
1）,s（V
1）£V'。
5．s-1为
V'到V的同构映射。
6.令V,V',V''为P上线性空间，s为V到V'的同构映射，t为V'到V''的同构映射，则ts为V到
V''的同构映射。
命题线性空间之间的同构关系为一个等价关系。
12n
（b
1,L,b
s）=（a
1,L,a
n）A。
证明：
dimL（b
1,L,b
s）=R（A）。
证明方法一：
令
R（A）=r，只需证R
（b
1,b
2,L,b
s）=r即可。
对A，存在n阶可逆阵P和s阶可逆阵Q，使得
éE
r
A=P
ê
ë00ù
Q。
ú
0
û
于是
éE
（b
1,L,b
s）=（a
1,L,a
n）P
êr
ë00ù
Q，
ú
0
û
即
éE
（b
1,L,b
s）Q-1=（a
1,L,a
n）P
êr
ë00ù
。
0ú
û
令
（g
1,L,g
s）=（b
1,L,b
s）Q-1，（h
1,L,h
n）=（a
1,L,a
n）P，
则
g
1,L,g
s与b
1,L,b
s等价，h
1,L,h
n与a
1,L,a
n等价。
éE
r
又
（g
1,L,g
s）=（h
1,L,h
n）
ê
ë00ù
，所以
0ú
û
g
1=h
1,L,g
r=h
r,g
r+1=0,Lg
s=0。
故
R（g
1,L,g
s）=r，所以R（b
1,L,b
s）=r。
方法二：
令s为V到
Pn的一个同构映射，则
（s（b
1）,L,（s（b
s））=（s（a
1）,L,（s（a
n））A。
1s1s1s
【教师解读】
在代数系统的研究中，同构是一个重要问题，不同的代数系统中元素不同，运算定义也不同，通过同构可以对它们进行比较，利用同构可以将抽象的代数系统转化为具体的代数系统。
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l拓展资料
1．设R+为全体正实数的集合，R为实数集，
R+的加法及数量乘法规定为：
aÅb=aba,bÎR+,k×a=ak,aÎR+,kÎR。
R+对如上规定的加法与数量乘法作成R上的一个线性人间；R对普通数的加法及乘法作成R上的线性空间，试找出
R+到R的一个同构映射。
2．举例说明无限维线性空间可以与它的一个真子空间同构。
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l讨论交流
讨论主题：
在同构映射下，子空间的像是否是子空间，子空间的原像是否是子空间。
教师提示：
回顾同构映射的性质。
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