【答案】
（1）A
（2）B
【点拨】 解题
（1）的关键是准确作出两函数的图象；解题
（2）的关键是将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，数形结合加以判断．
函数图象在方程、不等式中的应用策略
（1）研究两函数图象的交点个数：
在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
（2）确定方程根的个数：
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）图象与x轴的交点的横坐标，方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标；
（3）研究不等式的解：
当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合，因此作出的函数图象一定要准确．
（2012·天津，14）已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 y＝
函数y＝kx－2恒过定点M（0，－2），kMA＝0，kMB＝4.
当k＝1时，直线y＝kx－2在x>1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈（0，1）∪（1，4）时，两函数图象恰有两个交点．
【答案】 （0，1）∪（1，4）
1．（2015·湖南株洲一模，6）函数y＝xsinx在[－π，π]上的图象是（ ）
【答案】 A 函数y＝xsinx是偶函数，所以其图象关于y轴对称，排除D；由x＝π时，y＝0，排除C；由x＝时，y＝，排除B，故选A.
2．（2015·福建三明调研，3）函数y＝ax2＋bx与函数y＝xa＋b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
【答案】 C y＝ax2＋bx＝a－.对A，由二次函数图象可知，a<0，－<0，所以b<0，函数y＝xa＋b不符合要求，同理B不符合要求；对于C，D，由二次函数图象可知，a<0，－>0，所以b>0，比较选项C，D可知C符合要求．
3．（2015·山西晋城二模，5）设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f
（1）＝0，则不等式<0的解集为（ ）
A．（－1，0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0，1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1，0）∪（0，1）
【答案】 D f（x）为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf（x）<0，f（x）的大致图象如图所示．
所以xf（x）<0的解集为（－1，0）∪（0，1）．
4．（2015·江西南昌二模，5）现有四个函数：
①y＝xsinx，②y＝xcosx，③y＝x|cosx|，④y＝x·2x的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．④①②③B．①④③②
C．③④②①D．①④②③
【答案】 D 由于函数y＝xsinx是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝xcosx为奇函数，且当x＝π时，y＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cosx|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.
5．（2015·陕西汉中模拟，6）已知函数y＝f（x）的大致图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式应为（ ）
A．f（x）＝exlnxB．f（x）＝e－xln|x|
C．f（x）＝exln|x|D．f（x）＝e|x|ln|x|
【答案】 C 由题图知，函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，排除选项A；当x→－∞时，f（x）→0，排除选项B，D.因此选C.
6．（2015·湖北武汉三模，7）对实数a和b，定义运算“□”：
a□b＝设函数f（x）＝（x2－2）□（x－1），x∈R.若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．（－1，1]∪（2，＋∞）B．（－2，－1]∪（1，2]
C．（－∞，－2）∪（1，2]D．[－2，－1]
【答案】 B 令（x2－2）－（x－1）≤1，得－1≤x≤2，
∴f（x）＝若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，画出函数f（x）的图象知，实数c的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]．
7．（2015·河南洛阳模拟，9）已知函数f（x）＝若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是（ ）
A．（1，2015）B．（1，2016）
C．[2，2016]D．（2，2016）
【答案】 D 作出函数的图象，直线y＝m交函数图象如图，不妨设a8．（2015·广东深圳质检，10）设函数y＝，关于该函数图象的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；
②任意两点的连线都不平行于y轴；
③关于直线y＝x对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是________．
【解析】 y＝＝＝2＋，图象如图所示．可知②③正确．
【答案】 ②③
9．（2014·河北秦皇岛模拟，12）若关于x的不等式2－x2＞|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
【解析】 在同一坐标系中画出函数f（x）＝2－x2，g（x）＝|x－a|的图象，如图所示．
若a≤0，则其临界情况为折线g（x）＝|x－a|与抛物线f（x）＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4（a＋2）＝0，解得a＝－；若a＞0，则其临界情况为两函数图象的交点为（0，2），此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是.
【答案】
1．（2015·湖北，12，易）函数f（x）＝4cos2cos－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________．
【解析】 令4cos2cos－2sinx－＝0.
∴2sinx＝，
即sin2x＝.
令y1＝sin2x，y2＝.
如图画出y1，y2的图象，
结合图象可得y1与y2有两个交点，
∴方程有2个根．
∴函数f（x）有2个零点．
【答案】 2
2．（2015·安徽，15，难）设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．（写出所有正确条件的编号）
①a＝－3，b＝－3； ②a＝－3，b＝2； ③a＝－3，b＞2；
④a＝0，b＝2； ⑤a＝1，b＝2.
【解析】 令f（x）＝x3＋ax＋b，
则f′（x）＝3x2＋a.
（1）当a≥0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在R上单调递增，
∴y＝f（x）在R上有一个零点．
∴x3＋ax＋b＝0有一个实根．
∴④⑤正确；
（2）当a＜0时，令3x2＋a＝0.
当a＝－3代入得x＝－1或x＝1.
∴f（x）极大值＝f（－1）＝－1＋3＋b＝b＋2，
f（x）极小值＝f
（1）＝1－3＋b＝b－2.
又∵x3＋ax＋b＝0仅有一实根，
∴f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，
∴b＜－2或b＞2，∴①③正确，②不正确．
∴综上可知符合的为①③④⑤.
【答案】 ①③④⑤
3．（2015·湖南，15，难）已知函数f（x）＝若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，则a的取值范围是________．
【解析】 令g（x）＝f（x）－b＝0，
∴f（x）＝b.
在同一坐标系下，作出y＝f（x），y＝b的图象．
当a>1时，如图
（1）．
由图象可知，存在实数b，使g（x）＝f（x）－b有两个零点．
当a<0时，如图
（2）．
由图象可知，存在实数b，使g（x）＝f（x）－b有两个零点．
当0≤a≤1时，如图（3）．
由图象可知，g（x）＝f（x）－b最多有一个零点．
综上可得a的取值范围为（－∞，0）∪（1，＋∞）．
【答案】 （－∞，0）∪（1，＋∞）
4．（2015·江苏，13，难）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝则方程|f（x）＋g（x）|＝1实根的个数为________．
【解析】 ∵|f（x）＋g（x）|＝1，
∴g（x）＝－f（x）＋1或g（x）＝－f（x）－1，
①当g（x）＝－f（x）＋1时，
由图可知，此时y＝g（x）与y＝－f（x）＋1的图象有两个交点，
即g（x）＝－f（x）＋1有2个实根．
②当g（x）＝－f（x）－1时，
由图可知，此时y＝g（x）与y＝－f（x）－1的图象有两个交点．
即g（x）＝－f（x）－1有2个实数．
综合①②，可知方程有4个实根．
【答案】 4
5．（2015·北京，14，难）设函数f（x）＝
（1）若a＝1，则f（x）的最小值为________；
（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】
（1）若a＝1，
则f（x）＝
当x<1时，f（x）＝2x－1，
f（x）无最小值；
当x≥1时，f（x）＝4（x－1）（x－2）＝4－1，
∴当x＝时，f（x）取得最小值，
即f（x）min＝f＝－1.
∴f（x）的最小值为－1.
（2）①若f（x）在x<1时恰有1个零点，则∴0f（x）在x≥1时恰有1个零点，
∴2a≥1且a<1，即≤a<1.
综上所述，≤a<1.
②若f（x）在x<1时无零点，则a≤0或2－a≤0，即a≤0或a≥2.
f（x）在x≥1时恰有2个零点．
当a≤0时，f（x）在x≥1时无零点，不符合题意．
当a≥2时，f（x）在x≥1时有2个零点．
∴a的取值范围为∪[2，＋∞）．
【答案】 －1 ∪[2，＋∞）
1．（2012·湖北，9，易）函数f（x）＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为
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