高中数学对数型函数的应用精选试题.docx

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高中数学对数型函数的应用精选试题

高中数学-对数型函数的应用

1、已知关于x的方程x2+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m,n为横纵坐标的点Pmn表示的平面区域为D，若函数y=logax+3a>1的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围为（）

A.a>2

B.a≥2

C.1a2

D.1a≤2

2、若函数fx同时满足①有反函数；②是奇函数；③定义域与值域相同.则fx的解析式可能是（）

A.fx=-x3

B.fx=x3+1

C.f（x）=ex+e−x2

D.fx=lg1-x1+x

3、设fx=|2-x2|，若0＜a＜b且fa=fb，则a+b的取值范围是（）

A.（0，2）

B.（2，2）

C.（2，4）

D.（2，22）

4、如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=__________.

5、已知函数y=|cosx+sinx|.

（1）画出函数在x∈-π47π4的简图；

（2）写出函数的最小正周期和单调递增区间；试问：

当x为何值时，函数有最大值？

最大值是多少？

（3）若x是△ABC的一个内角，且y2=1，试判断△ABC的形状.

6、设函数fx=lg1+2x+4xa4,a∈R，如果不等式f（x）>（x−1）lg⁡4在区间13上有解，则实数a的取值范围是_________.

7、已知函数fx=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足：

对任意实数x1，x2，当x1x2≤a2时，总有fx1-fx2>0，则实数a的取值范围是（）

A.03

B.13

C.223

D.123

8、如图，倾斜角为θ的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，单位圆与坐标轴交于点A（-1，0），点B（0，-1），PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设PO⃗=xPM⃗+yPN⃗（x，y∈R）

（1）用角θ表示点M、点N的坐标；

（2）求x+y的最小值.

9、函数fx=lnx2+1的图象大致是（）

A.

B.

C.

D.

10、函数fx=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）.

A.-3,1

B.-2,2

C.-3,32

D.-2,32

11、下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的是（）

A.y=cosx

B.y=log2x

C.y=ex-e-x2

D.y=x3+1

12、在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且3a=2csinA

（1）确定∠C的大小；

（2）若c=3，求△ABC周长的取值范围.

13、已知cos⁡x+sin⁡y=12，求siny-cos2x的最值.

14、将函数f（x）=sin⁡（x+φ2）cos⁡（x+φ2）（φ>0）的图象沿x轴向右平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象.

1则ϕ的最小值__________；

2过Q（π8,0）的直线l与函数fx的两个交点M，N的横坐标满足：

0xMπ8，π8xNπ4，则ON⃗⋅OQ⃗-MO⃗⋅OQ⃗的值为__________.

15、已知两个单位向量OA⃗和OB⃗，他们的夹角为120∘，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB̂上变动.若OC⃗=xOA⃗+yOB⃗，其中x，y∈R，则x+y的最大值为___________.

16、在△ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c.已知a=2.

1若A=π3，求b+c的取值范围；

2若AB⃗⋅AC⃗=1，求△ABC面积的最大值.

17、曲线C1的参数方程为x=cosθ,y=sinθ（θ为参数），将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度建立极坐标系.已知直线l:

ρcosθ-2sinθ=6.

1求曲线C2和直线l的普通方程；

2P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值及相应的点P的直角坐标.

18、坐标平面上的点集S满足S={（x,y）|log2⁡（x2−x+2）=2sin4⁡y+2cos4y,y∈[−π8,π4]}，将点集S中的所有点向x轴作投影，所得投影线段的长度为（）

A.1

B.3+52

C.82-7

D.2

19、已知向量a⃗=（cosθ，sinθ）,向量b⃗=（3，-1）,则|2a⃗-b⃗|的最大值________.

20、已知f（x）=lg（ax−bx）（a>1>b>0）.

⑴求fx的定义域；

⑵判断fx在其定义域内的单调性；

⑶若fx在（1,+∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小.

21、已知线段AB的长为4,以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,其中AB//CD（如图）则这个梯形的周长的最大值为（）

A.8

B.10

C.42+1

D.以上都不对

22、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC⃗=13OA⃗+23OB⃗.

1求证：

A、B、C三点共线；

2已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，π2]，fx=OA⃗⋅OC⃗-2m2+23.|AB⃗|的最小值为12，求实数m的值.

23、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m⃗=（a+b，sin A-sin C），向量n⃗=（c，sin A-sin B），且m⃗//n⃗；

（1）求角B的大小；

（2）设BC中点为D，且AD=3；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积.

24、设向量a→=（4cosα,sinα），b→=（sinβ,4cosβ），c→=（cosβ,-4sinβ）

（1）若a→与b→-2c→垂直，求tanα+β的值：

（2）求|b→+c→|的最大值.

25、设▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角

1证明：

B−A=π2

2求sinA+sinC的取值范围

26、下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）

A.y=x13

B.y=log13|x|

C.y=x+2x

D.y=2-x-2x

27、已知函数fx=logax+1，gx=loga1-x（其中a>0，且a≠1）

（Ⅰ）求函数fx+gx的定义域；

（Ⅱ）判断函数fx-gx的奇偶性，并予以证明；

（Ⅲ）求使fx+gx0成立的x的集合.

28、已知a→=（32,-32），b→=（sinπx4,cosπx4），fx=a→⋅b→.

（1）求fx的单调递减区间；

（2）若函数gx=f2-x，求当x∈[0,43]时，y=gx的最大值.

29、已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=23π，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a、b、c.

（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2.求c的值；

（2）若c=3，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值.

30、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，a=2bsin  A.

（1）求B的大小；

（2）求cos A+sin C的取值范围.

fx=lnax-1，（a>0，a≠1）

（1）叙述对数换底公式并加以证明.

（2）求函数fx的定义域;

（3）讨论函数fx的单调性.用单调性定义证明a=2时fx单调递增.

32、某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90∘.

（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；

（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.

33、若△ABC的内角A，B满足sinBsinA=2cosA+B，则当B取最大值时，角C大小为_________.

34、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC

（1）求角C大小；

（2）求3sin⁡A−cos⁡（B+π4）的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小.

35、函数y=sinx+3cosx在区间[0,π2]的最小值为_______________.

36、已知函数fx=e3x⋅sinx，x∈-π4π4.

（1）求fx的单调递增区间；

（2）函数gx=f’x⋅f-x+32，x∈-π4π4，试求出其最大值.

37、若函数fx=loga2x2+x（a>0,a≠1）在区间（0,12）内恒有fx>0，则fx的单调递增区间为（）

A.（-∞,-12）

B.（-14,+∞）

C.（0,+∞）

D.（-∞,-14）

38、△ABC的三个内角为A,B,C，若3cosA+sinA3sinA-cosA=tan-7π12，则2cosB+sin2C的最大值为__________.

39、已知函数fx=sin2ωx+23sinωx-cosωxcosωx-λ的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数，且ω∈（12,1）.

（1）求函数fx的最小正周期;

（2）若存在x0∈[0,3π5],使fx0=0,求λ的取值范围.

40、在▵ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，S为▵ABC的面积，且4S=3a2+b2-c2.

（1）求角C的大小；

（2）fx=4sinxcosx+π6+1，当x=A时，fx取得最大值b，试求S的值.

41、设函数fx=cos2x-asinx+2，若对于任意的实数x，都有f（x）⩽5，求实数a的范围.

42、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120∘，AB=3，点M在线段BC上.

1若AM=1，求BM的长；

2若点N在线段MC上，且∠MAN=30∘，问：

当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？

并求出面积的最小值.

43、存在实数x，使得关于x的不等式式cos2xa-sin x成立，则a的取值范围为_________.

44、已知函数fx=4cosωx⋅sinωx-π6+1（ω>0）的最小正周期是π.

1求fx的单调递增区间；

2求fx在[π8，3π8]上的最大值和最小值.

45、在锐角▵ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2⁡B+C2−cos⁡2A=72.

1求角A的大小；

2求sinBsinC的最大值.

46、如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.

1设∠MOD=30∘，求三角形铁皮PMN的面积；

2求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值.

47、已知两圆x-a2+y-b2=4与x+22+y+22=4相外切，则ab的最小值为（）

A.-4

B.4

C.-6

D.6

48、在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+cosA-3sinAcosB=0，若点O是△ABC外一点，OA=2OB=4，则四边形OACB的面积的最大值为（）

A.8+53

B.2+53

C.12

D.4+53

49、当0xπ4时，函数fx=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是（）

A.14

B.12

C.2

D.4

50、函数fx=cos2x+2sinx的最大值与最小值的和是（）

A.-2

B.0

C.-32

D.-12

51、设函数fx=sinπx3-π6-2cos2πx6.

（1）求y=fx的最小正周期及单调递增区间；

（2）若函数y=gx与y=fx的图象关于直线x=2对称，当x∈[0，1]时，求函数y=gx的最大值.

52、已知sinx-2cosx3+2sinx+2cosx=0，则sin2x+2cos2x1+tanx的值（）

A.85

B.58

C.25

D.52

53、已知x∈[-π4，π4]，则函数fx=sinx+cos2x的最小值是（）

A.2-12

B.-2+12

C.-1

D.1-22

54、△ABC三个内角分别为A，B，C，当A为____________时，cosA+2cosB+C2取得最大值，这个最大值为____________.

55、设向量a→=（sinx,cosx）,b→=（cosx,cosx）,x∈R,函数fx=a→⋅a→+b→.

（1）求函数fx的最大值与最小正周期;

（2）求使不等式f（x）⩾32成立的x的取值范围.

56、已知向量m→=（sinA,cosA）,n→=（3,-1）且m→⋅n→=1,且A为锐角.

（1）求角A的大小;

（2）求函数fx=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域.

57、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC⃗=13OA⃗+23OB⃗.

（1）求证：

A、B、C三点共线；

（2）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0，π2]，fx=OA⃗⋅OC⃗-2m2+23⋅|AB⃗|的最小值为12，求实数m的值.

58、在△ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的两边AC+AB的取值范围是（）

A.[33，6]

B.（2，43）

C.（33，43]

D.（3，6]

59、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA=c3cosC.

（1）求角C的大小；

（2）求3sinA-cosB的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.

60、若θ∈[0，2π]，OP⃗1=（cosθ，sinθ），OP⃗2=（3-cosθ，4-sinθ），则|P1P2⃗|的取值范围是（）

A.[4，7]

B.[3，7]

C.[3，5]

D.[5，6]

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a-ccosB=bcosC.

1求角B的大小;

2设m→=（sinA，cos2A），n→=（4k，1）（k>1），且m→⋅n→的最大值为5，求k的值.

62、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinA=c3cosC.

（1）求角C的大小；

（2）求3sinA-cosB的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小.

63、直线y=x-1上的点到曲线x=-2+cosθ,y=1+sinθ上点的最近距离是（）

A.22

B.2-1

C.22-1

D.1

64、若动点（x，y）在曲线x24+y2b2=1（0b4）上变化，则x2+2y的最大值为____________.

65、如图所示，A、B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0θπ），C点坐标为（-2，0），平行四边形OAQP的面积为S.

（1）求OA⃗⋅OQ⃗+S的最大值；

（2）若CB//OP，求sin⁡（2θ−π6）的值.

66、设函数fx=sinπx4-π6-2cos2πx8+1.

（1）求fx的最小正周期.

（2）若函数y=gx与y=fx的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，43]时，y=gx的最大值.

67、已知a>0，函数f（x）=−2asin⁡（2x+π6）+2a+b，当x∈[0，π2]时，−5⩽f（x）⩽1.

（1）求常数a，b的值；

（2）设g（x）=f（x+π2）且lg gx>0，求gx的单调区间.

68、已知函数fx=3sinωx+ϕ（ω>0，−π2⩽φπ2）的图象关于直线x=π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和ϕ的值；

（2）当x∈[0，π2]时，求函数y=fx的最大值和最小值.

69、设函数fx=32-3sin2ωx-sinωxcosωx（ω>0），且y=fx图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.

（1）求ω的值；

（2）求fx在区间[π，3π2]上的最大值和最小值.

70、已知函数fx=cosxsinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（1）求fx的最小正周期；

（2）求fx在闭区间[-π4，π4]上的最大值和最小值.

71、已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b=3，且函数fx=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A处取得最大值.

（1）求fx的值域及最小正周期；

（2）求△ABC的面积.

72、已知在锐角△ABC中，两向量p→=（2-2sinA，cosA+sinA），q→=（sinA-cosA，1+sinA），且p→与q→是共线向量.

（1）求A的大小；

（2）求函数y=2sin2B+cosC-3B2取最大值时，B的大小.

73、给定两个长度为1的平面向量OA⃗和OB⃗，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB̂上运动.若OC⃗=xOA⃗+yOB⃗，其中x，y∈R，求x+y的最大值.

74、已知函数fx=lg1-x1+x，若fa=b，则f-a等于（）

A.b

B.-b

C.1b

D.−1b

75、设函数f（x）=log2⁡（4x）⋅log2⁡（2x）,14⩽x⩽4.

（1）若t=log2x，求t的取值范围；

（2）求fx的最值，并写出取最值时对应的x的值.

76、函数y=12sin2x+sin2x,x∈R的值域是（）

A.[-12,32]

B.[-22+12,22+12]

C.[-32,12]

D.[-22-12,22-12]

77、使奇函数fx=sin2x+θ+3cos2x+θ在[-π4，0]上为减函数的θ的值为（）

A.-π3

B.-π6

C.5π6

D.2π3

78、已知向量a→=（cos3x2,sin3x2）,b→=（cosx2,-sinx2），且x∈[-π3,π4].

（1）求a→⋅b→及|a→+b→|；

（2）若fx=a→⋅b→-|a→+b→|，求fx的最大值和最小值.

79、函数y=2sinxsinx+cosx的最大值为___________.

80、已知函数fx=12sin2xsinϕ+cos2xcosϕ-12sinπ2+ϕ（0ϕπ），其图象过点（π6，12）.

（1）求ϕ的值；

（2）将函数y=fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，求函数gx在[0，π4]上的最大值和最小值.

81、已知函数fx=2cos2x+sin2x-4cosx.

（1）求fπ3的值；

（2）求fx的最大值和最小值.

82、求函数fx=sinx+cosx+sinx⋅cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值.

83、函数fx=cosx-sin2x-cos2x+74的最大值是____________.

84、设函数fx=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ，其中θ∈[0，5π12]，则导数fˊ

（1）的取值范围是（）.

A.[-2，2]

B.[2，3]

C.[3，2]

D.[2，2]

85、关于函数f（x）=lg⁡x2+1|x|（x≠0），有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当x>0时，fx是增函数；当x0时，fx是减函数；

③fx的最小值是lg2；

④fx在区间（-1，0），（2，+∞）上是增函数；

⑤fx无最大值，也无最小值.

其中所有正确结论的序号是_________.

86、已知函数fx=log12|x-1|，则下列结论正确的是（）

A.f-12f0f3

B.f0f-12f3

C.f3f-12f0

D.f3f0f-12

87、已知函数fxx∈R是以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，fx=lnx2-x+b.若函数fx在区间[-2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是（）

A.−1b⩽1

B.14⩽b⩽54

C.-1b1或b=54

D.14b⩽1或b=54

88、设函数fx=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f’1的取值范围是（）

A.[-2，2]

B.[2，3]

C.[2，2]

D.[3，2]

89、设fx=-cosx-sinx，f’x是其导函数，若命题“∀x∈[π2，π]，f’xa”是真命题，则实数a的取值范围是________.

90、设函数fx=αcos2x+α-1cosx+1，其中α>0，记|fx|的最大值为A.

（Ⅰ）求f’x；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明|f′（x）|⩽2A.

fx=x-13sin2x+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）

A.[-1，1]

B.[-1，13]

C.[-13，13]

D.[-1，-13]

92、函数fx=cos2x+6cosπ2-x的最大值为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

93、若函数fx=1+3tanxcosx，0⩽xπ2，则fx的最大值是（）

A.1

B.2

C.3+1

D.3+2

94、函数fx=sin2x-cos2x的最小正周期是（）

A.π2

B.π

C.2π

D.4π

95、函数fx=sin2x-π4-22sin2x的最大值是_______________.

96、已知函数f（x）=2sin2⁡（π4+x）−3cos⁡2x，x∈[π4，π2]，

（1）求fx的最大值和最小值；

（2）若不等式|fx-m|2在x∈[π4，π2]上恒成立，求实数m的取值范围.

97、求函数y=sin3xsin3x+cos3xcos3xcos22x+sin2x的最小值.

98、已知向量a→=（cos⁡32x,sin⁡32x），b→=（cos⁡x2,−sin⁡x2），且x∈[π2,3π2].

（1）求|a→+b→|的取值范围；

（2）求函数fx=a→⋅b→-|a→+b→|的最小值，并求此时x的值.

99、如图所示，在△ABC中，已知B=π3，AC=43，D为BC边上一点.

⑴若AD=2,sin∠DAC=12,求DC的长;

⑵若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值.

100、若y=∫0xsint+costsintdt，则y的最大值是（）

A.1

B.2

C.−72

D.0

101、若fx=lg21-x+a为奇函数，则a=_________.

102、已知函数fx=2sin2x+π6，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=3，fA=1，则b+c的最大值为____________.

103、函数fx=sin2x+3sinxcosx在区间[π4，π2]上的最大值（）.

A.1

B.1+32

C.32

D.1+3

104、已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2sin2C2+cosC2=2，求角C的大小.

105、函数y=sinx+10∘+cosx+40∘（x∈R）的最大值是___________.

106、关于函数fx=cos2x-23sinxcosx，下列命题：

①若存在x1，x2，且有x1-x2=π时，fx1=fx2成立；

②fx在区间[−π6，π3]上单调递增；

③函数fx的图象关于点（π12，0）成中心对称图象；

④将函数fx的图象向左平移5π12个单位后将与y=sin2x的图象重合.

其中正确命题的序号是____________.

107、已知函数fx=asinx-bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=π3处取得最