2.定积分的几何意义
3.定积分的性质
性质1：
kf（x）dx＝kf（x）dx（k为常数）．
性质2：
[f（x）±g（x）]dx＝f（x）dx±g（x）dx.
性质3：
f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx.
4.微积分基本定理
一般地，如果f（x）是在区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝F（b）－F（a）．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F（b）－F（a）记为F（x）|，即f（x）dx＝F（x）|＝F（b）－F（a）．
5.定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为S.
（1）S＝f（x）dx；
（2）S＝－f（x）dx；
（3）S＝f（x）dx－f（x）dx；
（4）S＝f（x）dx－g（x）dx＝[f（x）－g（x）]dx.
6.函数f（x）在闭区间[－a，a]上连续，则有：
（1）若f（x）为偶函数，则f（x）dx＝2f（x）dx.
（2）设f（x）为奇函数，则f（x）dx＝0.
1.概念辨析
（1）在区间[a，b]上连续的曲线y＝f（x）和直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝|f（x）|dx.（ ）
（2）若f（x）dx<0，那么由y＝f（x），x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（ ）
（3）已知质点的速度v＝mt（m>0），则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是mtdt＝.（ ）
答案
（1）√
（2）× （3）√
2.小题热身
（1）如图，指数函数的图象过点E（2，9），则图中阴影部分的面积等于（ ）
A.B．8
C.D．9
答案 A
答案 B
（3）|x|dx＝________.
答案
解析 |x|dx的几何意义是函数y＝|x|的图象与x轴围成的图形（如图阴影所示）的面积，所以|x|dx＝×1×1＋×2×2＝.
（4）若x2dx＝9，则常数t的值为________．
答案 3
解析 x2dx＝|＝＝9，解得t＝3.
题型 定积分的计算
答案 C
解析
2.（3x3＋4sinx）dx＝________.
答案 0
解析 易证函数f（x）＝3x3＋4sinx为奇函数，
所以（3x3＋4sinx）dx＝0.
3.dx＝________.
答案
解析
求定积分的常用方法
（1）微积分基本定理法
其一般步骤为：
①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．
②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．
③分别用求导公式找到一个相应的原函数．
④利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
⑤计算原始定积分的值．
（2）几何意义法
将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如举例说明3.
（3）基本性质法
对绝对值函数、分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．
1.（2018·华南师大附中一模）|x2－4|dx＝（ ）
A.7B.C.D．4
答案 C
解析
2.e|x|dx的值为________．
答案 2（e－1）
解析
3.若f（x）＝，则f（x）dx＝________.
答案 π
解析 令y＝，则（x－1）2＋y2＝4（y≥0），所以函数f（x）的图象是以（1,0）为圆心，2为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分，所以f（x）dx＝×π×22＝π.
题型 利用定积分求平面图形的面积
角度1 求平面图形的面积（多维探究）
1.（2018·玉溪模拟）由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）
A.B.
C.＋ln3D．4－ln3
答案 C
解析
条件探究1 将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形”，试求此平面图形的面积．
解
条件探究2 将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由y＝，y＝－x＋2及x轴围成的封闭图形”，试求此平面图形的面积．
解
角度2 已知平面图形的面积求参数
答案 （1,1）
解析
角度3 与其他知识的交汇命题
答案 B
解析 由题意可得，是与面积有关的几何概率问题．构成试验的全部区域是矩形OABC，面积为a×＝6，
记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，为
利用定积分求平面图形面积的四个步骤
1．如图所示，阴影部分的面积为（ ）
A.B.C．1D.
答案 C
解析
2．如图，点M在曲线y＝，若由曲线y＝与直线OM所围成的阴影部分的面积为，则实数a等于（ ）
A.B.
C．1D．2
答案 C
解析
3．若函数f（x）＝Asin（A>0，ω>0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．
答案
解析
题型 定积分在物理中的应用
1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：
s，v的单位：
m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：
m）是（ ）
A．1＋25ln5B．8＋25ln
C．4＋25ln5D．4＋50ln2
答案 C
解析
2．一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在～6s间的运
动路程为________m.
答案
解析
1．物体A以v＝3t2＋1（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t（s）为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案 C
解析
2．一物体在力F（x）＝（单位：
N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：
m）处，则力F（x）做的功为________J.
答案 36
解析
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