一对一小组课培训机构专用全等三角形常见辅助线的添加方法与模型 截长补短 含答案.docx

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一对一小组课培训机构专用全等三角形常见辅助线的添加方法与模型截长补短含答案

全等三角形常见辅助线的添加方法与模型

1.通过对辅助线的引入，理解全等三角形的性质及判定并熟练掌握性质。

2.通过对学生的听觉刺激，促进学生掌握全等三角形的性质和判断，并灵活应用。

通过听觉类比法，引导学生建构学科知识体系，化简多重符号，掌握相关典型题的解法。

回顾旧知识

一、全等三角形的性质

全等三角形，对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，周长相等，面积相等．

二、全等的性质和判定

（1）全等三角形的判定方法：

（2）全等三角形的图形变换形式：

平移、对称、旋转

（3）由全等可得到的相关定理：

角平分线定理

等腰、等边三角形性质和判定

垂直平分线定理

学生根据老师的叙述提取相关知识_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

探索新知识模型总结

一：

找全等三角形的方法

1.可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等

的三角形中；

2.可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

3.可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

4.若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

二：

三角形中常见辅助线的作法

1.中线倍长得全等；

2.载长补短得全等；

3.作平行得全等；

4.作垂直得全等；

5.作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；

6.连等腰三角形顶点和底边中点得高线和角平分线；

7.补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题。

例题分析

例1：

已知：

如图AD是△ABC的中线，求证：

AB+AC>2AD

提示：

中线倍长

例2：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：

EF∥AB.

提示：

中线倍长

例3：

已知：

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：

AB=AC+CD.

提示：

载长补短

例4：

已知如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，求证：

BC+DC=AC.

提示：

载长补短

例5：

如图甲，操作：

把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．

（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；

（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；

（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：

线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．

例6：

在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：

EG=AG+BG；

（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

针对练习

1、已知：

如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，AE平分∠BAF。

求证：

AF=CF+AB.

点评_________________________________________________________________________

2、如图，已知：

AD是△ABC的中线，且CD=AB，AE是△ABD的中线，求证：

AC=2AE.

点评_________________________________________________________________________

3、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．

（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；

（2）如图2，当AB

AC，其它条件不变时，

（1）中的结论是否发生改变？

请说明理由．

点评_________________________________________________________________________

4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：

EF＝AE＋BF．

（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

点评_________________________________________________________________________

5、已知：

如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，AF平分∠EAD。

求证：

AE=BE+DF.

点评_________________________________________________________________________

6.已知，如图△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，

求证EF＝2AD。

总结

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，

思维模式是全等变换中的“对称”．

（2）遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，

构造“

”字形全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，或者沿着角平分线翻折，

利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理

或逆定理．

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，

利用的思维模式是全等变换中的“平移”．

（5）截长补短，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

具体做法是在某条线段端点处截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．

课后作业

1.下列命题错误的是（　　）

A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

B、一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

C、有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等

D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等

2、△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CD⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　）

A、3对　　　　B、4对　　　　C、5对　　　　D、6对

3.在等腰△ABC中，AB＝AC＝14cm，E为AB中点，DE⊥AB于E，交AC于D，若△BDC的周长为24cm，则底边BC为多少？

4、若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，则△ABD≌△A′B′D′，理由是，从而AD＝A′D′，这说明全等三角形相等

5：

已知：

如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的平分线BE、CF交于点O，求证：

BC=BF+CE.

6：

已知：

如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：

CD⊥AC.

7：

如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，

求证：

AB－AC＞PB－PC

参考答案

记忆再现

1.证明：

延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD

∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD

在△ABD和△CED中

BD=CE

∠ADB=∠EDC

AD=ED，

∴△ABD≌△CED，

∴AB=EC，

在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC＞AE

而AB=EC，AE=2AD

∴AB+AC＞2AD

2.证明：

延长AD,使DN=AD，连接EN

在△ACD和△NED中

DE=DC

∠ADC=∠NDE

AD=ND

∴△ACD≌△NED

∴DN=AC,∠DNE=∠CAD

∵EF=AC

∴EF=EN

∴∠DNE=∠EFD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴∠BAD=∠EFD

∴EF∥AB

3.证明：

在AB上取AE=AC，连接DE

△ACD和△AED中

AC=AE，

∠CAD=∠EAD

AD=AD

∴△ACD≌△AED。

∴DE=CD，且∠AED=∠C=2∠B

∵∠B+∠EDB+∠BED=180，∠AED+∠BED=180

∴∠AED=∠B+∠EDB

∵∠B=∠EDB，BE=DE=CD

∴AB=AE+BE=AC+CD

4.证明：

连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE

∵AB=AD，∠BAD=60°，AB=AD

∴△ABD是等边三角形

∴∠ADB=60°，AD=BD

∵∠BCD=120°

∴∠DCE=60°

∴△DCE是等边三角形

∴∠CDE=60°，DC=DE

∴∠ADC=∠BDE

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=BC+CD

5.解：

（1）MD=MF，MD⊥MF；

（2）结论不变MD=MF，MD⊥MF，

证明：

如图乙，延长DM交FE于N．

∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，

∴∠1=∠2．

在△AMD与△EMN中，

∠1＝∠2

MA＝ME

∠3＝∠4

∴△AMD≌△EMN，

∴AD=EN，MD=MN，

∵CF=2AD，EF=2EN，

∴FD=FN．

∵∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD；

（3）MD=MF，MD⊥MF，

证明：

如图丙，延长DM到N，

使MN=MD，连接FD、FN、EN，

延长EN与DC延长线交于点H．

在△AMD与△EMN中，

MA＝ME

∠1＝∠2

MD＝MN

∴△AMD≌△EMN，

∴∠3=∠4，AD=NE．

又∵正方形ABCD、CGEF

∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．

∴DC=NE．

∵∠3=∠4，

∴AD∥EH．

∴∠H=∠ADC=90°．

∵∠G=90°，∠5=∠6，

∴∠7=∠8．

∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，

∴∠DCF=∠FEN．

在△DCF与△NEF中，

DC＝NE

∠DCF＝∠FEN

FC＝FE

∴△DCF≌△NEF，

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．

∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD．

6.解：

（1）证明：

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH.

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等边三角形.

∴AG=HG.

∴EG=AG+BG.

（2）

（3）

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.

∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH.

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直∠三角形.

∴

AG=HG.

∴

追踪演练

1.证明：

将AE延长交DC延长线于点G，

∵E是BC中点，     

∴BE=CE，

∵AB//CD，      

∴∠BAE=∠G，∠B=∠GCE   

∴△ABE≌△GCE     

∴CG=AB，

∵AB=BC， 

∴BC=CG，

∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE=∠FAE，

∵AB∥CD，     

∴∠ BAE=∠CGE，

∵FAE=G，

∴AF=FG，

∴AF=BC+CF。

2.证明：

延长AE，使EF=AE，连接DF

∴AF=EF+AE=2AE

∵AE是三角形ABD的中线

∴BE=DE

∵∠AEB=∠DEF

∴三角形ABE和三角形FDE全等（SAS）

∴AB=DF

∠B=∠BDF

∴AB平行DF

∴∠BAD+∠ADF=180度

∵AD是三角形ABC的中线

∴BD=DC

∵CD=AB

∴DF=AB=BD

∴∠BAD=∠ADB

∵∠ADC+∠ADB=180度

∴∠ADC+∠ADB=∠BAD+∠ADF=∠ADB+∠ADF=180度

∴∠ADF=∠ADC

∵DF=CD（已证）

∴三角形ADF和三角形ADC全等（SAS）

∴AF=AC

∴AC=2AE

3.解：

（1）DE=DF．

（2）DE=DF不发生改变．

分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN．

∵D为BC的中点，∴

．

∵

∴

．

∴

．

∴

．

同理

．

∴四边形MDNP为平行四边形．

∴

．

∵

∴

．

∴

．

∴△EMD≌△DNF．

∴DE=DF．

4.

（1）证明：

∵AE垂直CF,BF垂直CF,∠ACB＝90°,

∴∠ACE＋∠BCF＝90°,∠CAE＋∠ACE＝90°,∠BCF＋∠CBF＝90°,

∴∠ACE＝∠CBF,∠CAE＝∠BCF,又∵AC＝CB,

∴△ACE≌△CBF

∴AE＝CF,CE＝BF,

∵CE＋EF＝CF

∴AE＝BF＋EF

（2）

（1）AD大于BD时,EF=BF-AE.

△AEC≌CFB,

AE=CF,BF=CE,

EF=CE-CF=BF-AE.

（2）AD=BD时,EF=0.

D、E、F三点重合,

AE=BF.EF=0

（3）AD小于BD时,EF=AE-BF,

△AEC≌CFB,

AE=CF,BF=CE,

EF=F-CE=AE-BF.

5、证明：

延长CB到G,使BG=DF,联接AG

∵ABCD是正方形

∴AB=AD   ∠ABC=∠D=90° 

∴∠ABG=∠D=90° 

∴△ABG ≌△ADF

∴∠G=∠AFD    ∠BAG=∠DAF

∵∠DAF=∠EAF

∴∠BAG=∠EAF

∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF

∵AB∥CD

∴∠AFD=∠BAF

∴∠G=∠EAG

∴AE=GE

∵GE=BE+BG=BE+DF

∴AE=BE+DF

6.证明：

在AD的延长线上取点G,使AD＝GD,连接BG、CG

∵等腰RT△ABE、等腰RT△ACF

∴∠BAE＝∠CAF＝90,AE＝AB,AF＝AC

∴∠BAC+∠EAF＝360-∠BAE-∠CAF＝180

∵AD是BC边上的中线

∴BD＝CD

∵AD＝GD

∴平行四边形ABGC

∴CG＝AB,∠ACG+∠BAC＝180

∴CG＝AE,∠ACG＝∠EAF

∴△ACG≌△FAE （SAS）

∴EF＝AG

∵AG＝AD+GD＝2AD

∴EF＝2AD

任务B

1．C

2．D

3、10cm

4.AAS，对应边上的高

5．证明：

在BC上取BD=BF，连接ID。

∵BF=BD，∠ABE=∠CBE，BI=BI，

∴△BFI≌△BDI，

∴∠BIF=∠BID，IF=ID。

∵∠BIC=∠ABE+∠BFC=∠ABE+∠A+∠ACF，

∠ABE=∠ABC/2，∠ACF=∠ACB/2，

∴∠BIC=∠A+（∠ABC+∠ACB）/2=∠A+（180°-∠A）/2=90°+∠A/2=120°。

∴∠BIF=∠BID=∠CID=∠CIE=60°；

∵IC=IC，∠ACF=∠BCF，

∴△CID≌△CIE，

∴CD=CE，

∴BC=BD+CD=BF+CE。

6

、证明：

在AC的延长线上取点E,使AC＝EC,连接DE

∵AC＝EC

∴AE＝AC+EC＝2AC

∵AB＝2AC

∴AE＝AB

∵AD＝AD,∠1＝∠2

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴DE＝BD

∵AD＝BD

∴DE＝AD

∴CD⊥AC（三线合一）

7：

证明：

如图，在AB上截取AE，使AE=AC，连接PE，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AEP和△ACP中，

AE＝AC

∠1＝∠2

AP＝AP

∴△AEP≌△ACP（SAS），

∴PE=PC，

在△PBE中，BE＞PB-PE，即AB-AC＞PB-PC．