常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
【知识拓展】
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）所有数列的第n项都能使用公式表达．（ × ）
（2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（ √ ）
（3）1,1,1,1，…，不能构成一个数列．（ × ）
（4）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．（ × ）
（5）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（ √ ）
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示）．
则第7个三角形数是（ ）
A．27B．28
C．29D．30
答案 B
解析 由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
2．已知数列，，，…，，…，下列各数中是此数列中的项的是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是．
答案 30
解析 an＝－n2＋11n＝－（n－）2＋，
∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[（n－1）2＋1]＝2n－1，
故an＝
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1
（1）（2016·杭州模拟）数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A．an＝n2－（n－1）B．an＝n2－1
C．an＝D．an＝
（2）数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝.
答案
（1）C
（2）
解析
（1）观察数列1,3,6,10，…可以发现
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
…
第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
∴an＝.
（2）数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
（1）常用方法：
观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法．
（2）具体策略：
①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用（－1）k或（－1）k＋1，k∈N*处理．
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
（1）－1,7，－13,19，…；
（2）0.8,0.88,0.888，…；
（3），，－，，－，，….
解
（1）数列中各项的符号可通过（－1）n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝（－1）n（6n－5）．
（2）数列变为，，，…，
故an＝.
（3）各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.
因此把第1项变为－，
原数列化为－，，－，，…，
故an＝（－1）n.
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
例2
（1）（2016·余姚模拟）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝.
答案 （－2）n－1
解析 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝（－2）n－1.
（2）已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.
解 ①a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
②a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）
＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式；
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
思维升华 已知Sn，求an的步骤
（1）当n＝1时，a1＝S1；
（2）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；（3）对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为．
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于（ ）
A．2n－1B．（）n－1
C．（）nD.
答案
（1）an＝
（2）B
解析
（1）当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3（n－1）2－2（n－1）＋1]
＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
（2）由an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝Sn＋1－Sn，
即Sn＋1＝Sn（n≥1），又S1＝a1＝1，
所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，
所以Sn＝（）n－1，故选B.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
（1）a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋）；
（2）a1＝1，an＋1＝2nan；
（3）a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解
（1）∵an＋1＝an＋ln（1＋），
∴an－an－1＝ln（1＋）＝ln（n≥2），
∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2
＝2＋ln（··…··2）
＝2＋lnn（n≥2）．
又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn（n∈N*）．
（2）∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1（n≥2），
∴an＝··…··a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋（n－1）＝
.
又a1＝1适合上式，故an＝
.
（3）∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3（an＋1），
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1.
思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
（1）当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；
（2）当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；（3）当出现an＝an－1＋f（n）时，用累加法求解；（4）当出现＝f（n）时，用累乘法求解．
（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1（n≥2且n∈N*），则an＝.
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1（n∈N*），则a5等于（ ）
A．－16B．16C．31D．32
答案
（1）
（2）B
解析
（1）∵an＝an－1（n≥2），
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上（n－1）个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时也满足此等式，∴an＝.
（2）当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.
∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，
故a5＝a1×q4＝24＝16.
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知an＝，那么数列{an}是（ ）
A．递减数列B．递增数列
C．常数列D．摆动数列
答案 B
解析 an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．
命题点2 数列的周期性
例5 （2016·镇海中学模拟）在数列{an}中，若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|（n≥2，n∈N），若x1＝1，x2＝a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ）
A．672B．673
C．1342D．1344
答案 D
解析 因为x1＝1，x2＝a（a∈R，a≠0），xn＋1＝|xn－xn－1|（n≥2，n∈N），所以x3＝|a－1|.又因为数列{xn}的周期为3，所以x1＝1，x4＝|x3－x2|＝||a－1|－a|＝x1＝1，解得a＝1或a＝0.因为a≠0，所以a＝1，所以x2＝1，x3＝0，即x1＋x2＋x3＝2.同理可得x4＝1，x5＝1，x6＝0，x4＋x5＋x6＝2，…，x2014＋x2015＋x2016＝2，所以S2016＝x1＋x2＋…＋x2016＝（1＋1＋0）×672＝1344，故选D.
命题点3 数列的最值
例6 数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是（ ）
A．3B．19
C.D.
答案 C
解析 令f（x）＝x＋（x>0），运用基本不等式得f（x）≥2，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．
思维升华
（1）解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
②用作商比较法，根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
（2）解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
（3）数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．
（1）（2016·台州模拟）数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2015项为．
（2）设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是（ ）
A.B.
C．4D．0
答案
（1）
（2）D
解析
（1）由已知可得，a2＝2×－1＝，
a3＝2×＝，
a4＝2×＝，
a5＝2×－1＝，
∴{an}为周期数列且T＝4，
∴a2015＝a503×4＋3＝a3＝.
（2）∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.
13．解决数列问题的函数思想
典例
（1）数列{an}的通项公式是an＝（n＋1）·（）n，则此数列的最大项是第项．
（2）若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是．
思想方法指导
（1）可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；
（2）数列的最值可以根据单调性进行分析．
解析
（1）∵an＋1－an
＝（n＋2）（）n＋1－（n＋1）（）n
＝（）n×，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项．
（2）由an＋1>an知该数列是一个递增数列，
又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，
所以（n＋1）2＋k（n＋1）＋4>n2＋kn＋4，
即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.
答案
（1）9或10
（2）（－3，＋∞）
1．数列，－，，－，…的第10项是（ ）
A．－B．－C．－D．－
答案 C
解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：
符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝（－1）n＋1·，故a10＝－.
2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（ ）
A．3不是数列{an}中的项
B．3只是数列{an}中的第2项
C．3只是数列{an}中的第6项
D．3是数列{an}中的第2项和第6项
答案 D
解析 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.
3．（2016·宁波中学月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为（ ）
A．16B．20C．33D．120
答案 C
解析 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.
4．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝（n≥3,且n∈N*），则a2018等于（ ）
A．3B．2C.D.
答案 A
解析 由已知a3＝＝，a4＝＝，
a5＝＝，a6＝＝，
a7＝＝2，a8＝＝3，
∴数列{an}具有周期性，T＝6，
∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝3.
5．数列{an}满足an＋an＋1＝（n∈N*），a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为（ ）
A．5B.
C.D.
答案 B
解析 ∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11×＋10×2＝.故选B.
6．（2016·宁海中学一模）已知函数y＝f（x）的定义域为R.当x<0时，f（x）>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）＝f（x＋y）恒成立．若数列{an}满足a1＝f（0），且f（an＋1）＝（n∈N*），则a2015的值为（ ）
A．4029B．3029C．2249D．2209
答案 A
解析 根据题意，不妨设f（x）＝（）x，则a1＝f（0）＝1，∵f（an＋1）＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，
∴a2015＝4029.
7．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），则a7＝.
答案 1
解析 由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，
能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝.
答案 2n－1
解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋（n－1），
即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2（an－1＋1），
∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
9．已知数列{an}的通项公式an＝（n＋2）·（）n，则数列{an}的项取最大值时，n=．
答案 4或5
解析 假设第n项为最大项，则
即
解得 即4≤n≤5，
又n∈N*，所以n＝4或n＝5，
故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
*10.在一个数列中，如果任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝.
答案 28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4（a1＋a2＋a3）＝4×（1＋2＋4）＝28.
11．已知数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若Sn＝（－1）n＋1·n，求a5＋a6及an；
（2）若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解
（1）因为a5＋a6＝S6－S4
＝（－6）－（－4）＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝（－1）n＋1·n－（－1）n·（n－1）
＝（－1）n＋1·[n＋（n－1）]
＝（－1）n＋1·（2n－1），
又a1也适合此式，
所以an＝（－1）n＋1·（2n－1）．
（2）因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－1）＋1]
＝2×3n－1＋2，
由于a1不适合此式，
所以an＝
12．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
解
（1）由Sn＝a＋an（n∈N*）可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1，
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，
同理，a3＝3，a4＝4.
（2）Sn＝＋a，①
当n≥2时，Sn－1＝＋a，②
①－②得（an－an－1－1）（an＋an－1）＝0.
由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，
又由
（1）知a1＝1，
故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，
故an＝n.
*13.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）．
（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解
（1）∵an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0），
又a＝－7，∴an＝1＋（n∈N*）．
结合函数f（x）＝1＋的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，
a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
（2）an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f（x）＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.
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