高考考前训练4数学理试题Word下载.docx
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（A）或（B）
（C）（D）或
14．把函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是（）
（A）奇函数（B）偶函数
（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数
15．设函数的反函数为，则（）
（A）在其定义域上是增函数且最大值为
（B）在其定义域上是减函数且最小值为
（C）在其定义域上是减函数且最大值为
（D）在其定义域上是增函数且最小值为
16．函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图）,则不等式的解集为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、解答题：
17．如图，在直三棱柱中，
为侧棱上一点，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离。
18．某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任意选其中一条旅游线路.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（2）求恰有2条线路被选择的概率；
（3）（理）求选择甲线路的旅游团个数的期望。
19．已知函数是定义在上的奇函数，其中、且
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（3）求函数的值域；
20．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）求证直线与x轴始终围成一个等腰三角形。
21．已知数列和满足：
其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?
若存在，求的取值范围；
若不存在，说明理由。
参考答案：
1．{2,4,8}2．3．104．5．6．6,60
7．；
8．9．
10．分析：
根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利用等差数列的定义求出前项和。
解：
根据调和数列的定义知：
数列为调和数列，则
，也就是数列为等差数列，现在数列为调和数列，则数列为等差数列，那么由，得
，20
答案：
20
11．-112．②④13．D14．B15．D16．A
17．证明：
（Ⅰ）在直三棱柱中，易知面面，
，∴.…………………………………………2分
∴，
∴.………………………4分
（Ⅱ）设与的交点为，连结，由（Ⅰ）可知，且，
所以为二面角的平面角.…………………………………5分
在和中，，
∴.∴∽.∴.
∴.……………………………………7分
∴在中，.
，
∴.
∴在中，.
∴，故所求二面角的大小为.……………………………9分
（Ⅲ）设点到平面的距离为，易知，
可知
……………………………10分
………………………………………………………………11分
∴
∴
∴点到平面的距离为………………………………………………13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一…………………………4分
（Ⅱ）如图以为原点，所在直线
分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则
，设
.∴.
即，故，
所以.……………………………………6分
设向量为平面的法向量，则，
∴.即
令，则平面的一个法向量为…………………………8分
显然向量是平面的一个法向量
易知，与所夹的角等于二面角的大小，
故所求二面角的大小为.……………………………………………9分
（Ⅲ）所求距离为：
即点到平面的距离为………………………………13分
18．
19．解：
由题意上是奇数，
-----------------------3分
又易得-----------------------------------5分
-----------------------------6分
（2）在内任取令-------------------------------7分
所以，在上是单调递增的--------------------------------------------11分
（3）（解法一）由，
令
----------------------------------14分
的值域为
---------------------------16分
（解法二）利用
（2）的结论，也可.
20．解：
（1）设椭圆方程为………………………………1分
………………………………………………3分
∴椭圆方程为…………………………………………………………4分
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=
……………………………………………………5分
由
……………………………………6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分
设
……………………10分
……………………………………………………10分
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分
21．解：
（Ⅰ）证明：
假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
（Ⅱ）解：
因为bn+1=（-1）n+1［an+1-3（n-1）+21］=（-1）n+1（an-2n+14）
=（-1）n·
（an-3n+21）=-bn
又b1x-（λ+18）,所以
当λ＝－18，bn=0（n∈N+）,此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=（λ+18）≠0,由上可知bn≠0，∴（n∈N+）.
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·
（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<
Sn<
b对任意正整数n成立，
即a<
-（λ+18）·
［1－（－）n］〈b（n∈N+）
①
当n为正奇数时，1<
f（n）
∴f（n）的最大值为f
（1）=,f（n）的最小值为f
（2）=,
于是，由①式得a<
-（λ+18）,<
当a<
b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>
3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<
b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）.
设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；
（），（，），（，，），（，，，）；
（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式
对一切都成立，求的取值范围．
（1）因为点在函数的图象上，
故，所以．
令，得，所以；
令，得，所以．
由此猜想：
．………………………………………………………………2分
用数学归纳法证明如下：
①当时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设时猜想成立，即成立，
则当时，注意到，
故，．
两式相减，得
，所以．
由归纳假设得，，
故
．
这说明时，猜想也成立．
由①②知，对一切，成立．……………………………………5分
另解：
因为点在函数的图象上，
故，所以①．
……………………………………………1分
时②
时①－②得………………………………………………2分
即
与比较可得
，解得．
因此
又，所以，从而．………………5分
（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；
（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；
（42），….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以．又=22，所以=xx.………………8分
（3）因为，故
所以
又
对一切都成立，就是
对一切都成立．……………9分
，则只需即可．
由于
所以，故是单调递减，于是．
令，………………………………………………………………………12分
即，解得，或．
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是．……………………………………………………………………14分
一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球，某人一次从中摸出2个球。
（1）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？
（2）（文）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在没有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？
（理）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？
（3）（理）在
（2）条件下，级为三次摸球中中大奖的次数，求的数学期望。
（1）记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件A
则………………………………………………………………4分
（2）记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件B
则………………………………………………………………6分
3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验
………………………………8分
（3）中大奖的次数可能取的值为0,1,2,3
∴的数学期望为
………………12分
或E
如图,已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点，是中点.
（Ⅰ）已知过圆心,求证:
与垂直；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）设,试问是否为定值,若为定值，请求出的值；
若不为定值，请说明理由.
解:
（Ⅰ）由已知,又圆心,则.故.
所以直线与垂直.………………………3分
（Ⅱ）当直线与轴垂直时,易知符合题意;
………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.…………5分
由于,所以
由,解得.………………7分
故直线的方程为或.………………8分
（Ⅲ）当与轴垂直时,易得,,又则
故.………………10分
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
.则
即,
.又由得,
则.
.
综上,的值与直线的斜率无关,且.…………14分
另解一:
连结,延长交于点,由（Ⅰ）知.又于,
故△∽△.于是有.
由得
故………………………14分
另解二:
连结并延长交直线于点,连结由（Ⅰ）知又,
所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得
.……………14分
在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，
，是的中点．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）（文）求异面直线所成的角；
（理）求二面角的大小。
（Ⅰ）取的中点，连结，.
四边形为菱形,,
则……………3分
同理.
故.………………………6分
（或用同一法可证）
（Ⅱ）取的中点，过作于点，连结.
是二面角的平面角，………9分
可求得.
故二面角的大小为.………………………12分
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