等比及求通项公式.docx
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等比及求通项公式
、等比数列常见性质:
1.等比数列的定义：
-q=0n—2,且N,q称为公比
an_J
2.通项公式：
首项：
a1;公比：
q
an二agn，二色qn=ABna1q0,AB^0，
q
n-mn_man
推广：
a“二amq，从而得q
Om
3.等比中项
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项•即：
A2二ab或订b注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
2
（2）数列a1是等比数列二an二an_iGn1
4.等比数列的前n项和Sn公式:
（1）当q=1时，Sn=nai
（A,B,A',B'为常数）
5.
等比数列的判定方法
2
（2）等比中项：
anan1an」（an・1anX=0）=｛an｝为等比数列
（3）通项公式：
a^ABnAB-0二｛an｝为等比数列
（4）前n项和：
Sn二A-AB^Sn二A'Bn-A'A,B,A',B'为常数=｛an｝为等比数列
6.等比数列的证明方法
a_*
依据定义：
若亠二qq=0n-2,且n•N或a.1二qa.=｛a.｝为等比数列a^
7、注意
（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
a1、q、n、an及Sn，其中印、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
n—1
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an二ae
如奇数个数成等差，可设为…，-a；,-,a,aq,aq2…（公比为q，中间项用a表示）；
qq
&等比数列的性质
⑴当q“时：
①等比数列通项公式an二agZ二虫qn=A・BnA・B=O是关于n的带有q
系数的类指数函数，底数为公比q
2前n项和S二印1T二色’qn=A-A创=A'Bn-A'，系数和常数项是
1-q1-q1-q1-q
互为相反数的类指数函数，底数为公比q
⑵对任何m,n，N*,在等比数列｛务｝中，有a^amqnjm,特别的，当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
*_2
⑶若m+n=s+t（m,n,s,tN）,则an，am二asat.特别的，当n+m=2k时,得an£m=ak
注：
a1an-a2an_1-a3an_2…
krk、an
⑷列｛an｝,｛bn｝为等比数列,则数列｛_｝,｛kan｝,｛an｝,｛kanbn｝｛「｝（k为非零常数）anbn
均为等比数列.
⑸数列｛an｝为等比数列，每隔k（k・N*）项取出一项（am,am+k,am42k,am3k,）仍为等比数列
⑹如果｛an｝是各项均为正数的等比数列，则数列｛logaaj是等差数列
⑺若｛an｝为等比数列，则数列Sn，En一Sn，Ssn-S?
.,…，成等比数列
（8）若｛an｝为
等比数列，贝U数列a1a2……an,an1an2……a?
n
a2n1a2n2
a3n成等比数列
（9）①当q1时，
②当03当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
4当q<0时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列｛an｝中，当项数为2n（nN*）时,鱼J,.
S禺q
1、
2、
3、
A.
4、
A.
5、
二、等比数列性质与求和强化训练
已知数列-1,a!
a2,-4成等差数列,一仙©：
-4成等比数列,
等比数列｛an｝
82一81
则-1
b2
的值为（）
11
、丄或一丄
22
中81
、10
公比
8m
—8182838485，则m=（
11
、12
已知｛8n｝是等比数列，且8n
8284■28385"848^—25，那么83■85—
10
B.15
C.
D.6
设｛8n｝是正数组成的等比数列，公比
q=2,
30
且818283|I|830二2，那么838589||（830二（
2〔0
B.
220
C.
2〔6
D.215
等比数列
{8n}中，8n
0,81,899为方程X2-10xT6=0的两根，则820-850880的值为
A32
B.64
C.256
D._64
6、等比数列
的各项均为正数，且
85868487=18,贝Vlog381log38^lOg3810=（
A.12
B.10
D.2+log35
82
81
7、Sn是公差不为0的等差江湎前口项和，且S1,S2,S4成等比数列，则等于（
A.4
B.6
C.8
D.10
8、等比数列｛8n｝的首项为1,
公比为q,前n项的和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列
由日的前n项的和是（）
9、公差不为零的等差数列订鳥的前n项和为
Sn，若84是83与87的等比中项，S10
-60,则S8等于
A、28
B、32
C、36
D、40
10、已知等比数列｛an｝的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为（）
A.15B.17C.19D.21
11、设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若一=3，则一二
S3S6
12、等比数列｛an｝的公比q•0,已知a?
=1,an：
：
2an-1-6an，则｛an｝的前4项和St=
13、等比数列a［的前n项和Sn=a2n•a-2，则a.=_.
14、记正项等比数列：
an/的前n项和为Sn，已知S4=1,S8=17,求？
anf的通项公式。
参考答案:
1A2、
C3、C4、
D5、B6、B7、C8、C9、B10、B
11、-12、
15
n-1
3
2
13an=
n-1
2
14、an匚
2-
15
三、数列综合复习一一通项公式、前n项求和的求法归纳
通项公式的求法：
一、直接法
如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得a1,d（或q）,
从而直接写出通项公式。
例1.等差数列a｛是递减数列，且a2a3a4=48,a2a3a4=12，则数列的通项公式是（）
（A）an=2n-12（B）an=2n4（C）an=—2n12（D）an=-2n10（D）。
二、累加（乘）法
对于形如an1=anf（n）型或形如anf（n）an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1
12
答案：
an二？
（n-n6）
到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例2、若在数列：
「中，a1=3，and-an-n，求通项an。
n（n1）
例3、在数列&｝中，a1=1，a^=2冷.（n^n*）,求通项a.。
答案：
an=22
例4、已知数列｛a.｝满足nan厂（n1）an，求数列｛an｝的通项公式。
（解：
a^n）
练习1.已知数列｛an｝满足anan2n1,a^1，求数列｛务｝的通项公式。
（解：
a^n2）
练习2:
若在数列中，a^3,an^an'2n，求通项a..答案：
an=2n1
1练习3:
在数列｛an｝中，a1=1,（n+1）•an1=n・an，求an的表达式.答案：
an:
n
三、构造法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
n/
例5:
已知数列｛%｝的递推关系为and-2an1，且a^1求通项答案：
a^2-1
例6、已知数列乩沖，ai=1,且满足an+i=3an+2,n?
N，求数列玄匚的通项公式。
n.1.
答案：
a^231
练习1：
已知数列:
an［中，a1=2，且满足2an+1=3an+1,n?
N，求数列：
an/的通项公式
n
o3d
答案：
a「3（?
）1
练习：
3已知数列｛an｝满足an2an32n，a^2，求数列｛an｝的通项公式。
an丄.3
答案：
2n二1（n-1）2，
S,n=1
四、公式法：
知Sn利用公式
Sn一SnJnF2
例7:
已知下列两数列
｛an｝的前n项和sn的公式，求｛an｝的通项公式.
（1）S.二n3•n-1.
（2）s.二n2-1
…20答案：
（1）an=3n—3n+2，
（2）an=丿
2n-1
（n=1）
（n_2）
点评：
先分n=1和n_2两种情况，然后验证能否统五、倒数法：
11、
先求出，再求得an.
anan_1an
数列有形如f（耳^,耳^;,片耳^_1）0的关系，可在等式两边同乘以
求数列前n项和的方法:
1基本公式法：
①等差、等比数列的前n项和公式；
2221
②12|j|nnn12n1、
6
2•错位相消法：
给Sn二印飞271-an各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和
原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.
-般适应于数列^nbn/的前n向求和，其中〈aj成等差数列，b?
成等比数列。
3.裂项法：
将数列的各项均分拆成两项的差，而后和式子中的一些项相互抵消，以达到求和的目的。
试一试1求1•11•111亠亠111T之和.简析：
由于与
n个1
分别求和.
2.裂项求和法
如果一个数列的每一项都能拆成两项之差，在求和中，一般除首末两项或附近几项外，其余各项先后
抵消，那么这个数列的前n项较易求出，在解决分数数列求和问题时经常用到。
常见类型：
（1）an二1「n1「n；
（2）a厂-丄
Vn+中n+1n（n十1）nn十1
66
6
…的前n项和。
答案
［例2］求数列12,23，…
…n（n1），…
[例3]
4.错位相减法
如果｛an｝是等差数列，Bn｝是等比数列，那么求｛anbn｝的前n项和，可用错位相减法。
［例5］求｛n2"｝的前n项和Sn。
答案：
Sn=（n-1）-2^-2
试一试1:
求数列2,4r,-6r^前n项的和•
222232n
［例6］在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3a1log3a^…小log3a10的值；答案10
等比强化训练：
a_1
1>｛an｝的通项n•n•n•1，若Sn=9，求n。
2.
12
3
n
3.求数列2，4，
8，…
…2n，…
…•的前n项和。
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