求通项公式练习题.docx
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求通项公式练习题
an1=n•an，求an的表达式。
1.在数列｛an｝中，a1=1,（n+1）
1
2.已知数列an中，43，前
n项和
Sn与an的关系是Snn（2n1）an，试求通项
公式an。
3.已知数｛an｝的递推关系为an
2
an
3
4，且a11求通项an。
4.在数列an
中，a11,a2
an2
2
孑n1
n，求an。
5.已知数列｛
an｝中a11且an1
an
，，求数列的通项公式。
6.已知数列
的前n项和
求数列
的通项公式;
an
，其中
是首项为1，公差为2的等差数列.
7.已知等差数列｛an｝的首项a1=1,公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二项、第三项、第四项•求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；
8.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,
且满足2Sn
2an
n3（nN）.
求数列
｛an｝的通项公式；
9.设数列
2
an满足a13a23a3
…3n1an
n
3，
nN.求数列
an的通项；
10.数列
an的前n项和为Sn,印
1,an1
2Sn（n
N）.求数列
an的通项an；
11.已知数列｛an｝和｛bn｝满足：
a11,a22,a.0,bna.an1（nN*），且｛bn｝
是以q为公比的等比数列.I）证明：
an2anq2；
（II）若Cna2n12a2n,证明数列｛Cn｝是等比数列；
1
12.设数列｛an｝的前项的和S=（an-1）（nN）.
3
（I）求a1；a2；（n）求证数列｛an｝为等比数列.
13.已知二次函数yf（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f'（x）6x2，数列｛an｝的
前n项和为Sn,点（n,Sn）（nN）均在函数yf（x）的图像上.求数列｛a.｝的通项公式；
14.已知数列an的前n项和S满足Sn2an
（1）n,n1.
（I）写出数列an的前3项a「a2,a3；（n）求数列a.的通项公式.
15.已知数列｛an｝满足an12an32n,a12，求数列｛an｝的通项公式。
16.已知数列｛an｝满足an1an2n1,a11，求数列｛an｝的通项公式。
17.
已知数列
{an}满足
an
an
23n1，a1
3，求数列{an}的通项公式。
18.
已知数列
{an}满足
an
3an
23n1，a1
3，求数列{an}的通项公式。
19
已知数列
{an}满足
an
2（n
1）5nan，a1
3，求数列{an}的通项公式。
20.
已知数列{an}满足ani
2an35n，a1
6，求数列{an}的通项公式。
21.已知数列{an}满足an13an4，a1
7，求数列{an}的通项公式。
在数列｛an｝中，a1=1,（n+1）
■ani=n•an，求an的表达式。
1
已知数列an中，a1，前n项和Sn与an的关系是Snn（2n1）an试求通项公式an。
3
2
已知数｛an｝的递推关系为an1-an4，且a11求通项an。
在数列an中，a11,a2
2，an2
2
an1
3
an，求an。
3
已知数列｛an｝中a11且a*1
an
an1
N），,求数列的通项公式。
已知数列
的前n项和
，其中是首项为1,公差为2的等差数列
求数列的通项公式；
已知等差数列｛an｝的首项a1=1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二项、第三项、第四项•求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足2Sn2ann3•求数列｛a.｝的通项公式;
设数列an满足a13a232a3
nN.求数列an的通项;
数列an的前n项和为Sn,
a1
an12Sn（n
N）•求数列an的通项an；
已知数列｛an｝和｛bn｝满足:
ai
a22,an
0,bnanan1，且｛bn｝是以q为公
比的等比数列.证明：
an2
2
anq;
右Cna2n1
2a2n，证明数列｛Cn｝是等比数列;
1
设数列｛an｝的前项的和S=—（an-1）（nN）.（I）求a1；a2；求证数列｛an｝为等比数列.
3
已知二次函数yf（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f'（x）6x2，数列｛an｝的
前n项和为Sn，点（n,Sn）（nN）均在函数yf（x）的图像上.
（I）求数列｛an｝的通项公式；
已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an
（1）n,n1.
（1）写出数列an的前3项a1,a2,a3；
（n）求数列an的通项公式.
8.已知数列｛an｝满足an
12an3
2n,
a1
2，求数列｛an｝的通项公式。
已知数列
｛an｝满足
an
an
2n1,
a1
求数列｛an｝的通项公式。
已知数列
｛an｝满足
an
an
23n
1,a13，求数列｛an｝的通项公式。
已知数列
｛an｝满足
an
3an
23n
1,a13，求数列｛an｝的通项公式。
已知数列｛an｝满足an12（n1）5nan,a13，求数列｛an｝的通项公式。
14.已知数列｛an｝满足
an1
2an35
a16，求数列｛an｝的通项公式。
17.已知数列｛an｝满足
an1
a1
7,求数列｛an｝的通项公式。
答案:
1
1.解：
（I）由S1（a1
3
1
a1a2-（a21）,得a?
3
1）,得
ai
1）--a1
1又S2-（a21）,即
23
（n）当n>1时，an
Sn5n
扣n1）
3（an11）>
得电
an1
an是首项
丄的等比数列.
2
2.解：
⑴当n=1时，有：
S=a1=2ar+（-1）a1=1；
2
当n=2时,有：
S2=a1+a2=2a2+（-1）a2=o；
当n=3时，有：
S=a1+a2+a3=2a3+（-1）a3=2；
综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得:
an
Sn
Sn1
2an
（1）n2an1
（1）n1
化简得：
an2an12
（1）n1
上式可化为：
an3（W2[an13（1^]
22
故数列｛an
（1）n｝是以a
（1）1为首项，公比为2的等比数列
33
3.解：
（I）设这二次函数
•••an
12
g2
3a
3（
2“
n2“
n.
an[2
（
1）].
3
故色mA”，
数列｛an｝的通项公式为:
1）n；[2n2
（1）n]
f（x）=ax2+bx（a丰0）,则F（x）=2ax+b,
由于f'（x）=6x—2,得
2
a=3,b=—2,所以f（x）=3x—2x.
2
又因为点（n,Sn）（nN）均在函数yf（x）的图像上，所以Sn=3n—2n.
当n>2时，an=Sn—Sn-1=（3n2—2n）—（n1）22（n1）=6n—5.
2
当n=1时，ai=Si=3X1—2=6X1—5，所以，an=6n—5（nN）
6.方法（
1）：
构造公比为一2的等比数列a
3n，用待定系数法可知
方法
（2）
an
n
an
方法
an
（
:
构造差型数列〜，即两边同时除以
（2）n得:
（2）n
13
丄（3）n，从而可以用累加的方法处理.
（2）n'32
（3）:
直接用迭代的方法处理：
2am小1
2）2（2an
2）3an
2）nao
an1
n1
7.
2）nao
3n12（2an23n
33n3）
（2）23n2
（2）23n3
（2）3n2
2）n130
（2）n
3n
（1）n12n
5
231
2）3n1（
3n1
3n1
2）n
332
2）2an2
（2）23n
2）3n23n1
（2）3n2
3n
分析：
Sn2an
（1）'
S12a11,得a1
2得，a1a22a2
3"得，a1a2a3
1代n得Sn12an1
SnSn12an
12
（1）n
n,n
1.
a1n
1.
1
2a3
（
得a?
1,得
1）n1
a3
①一⑤：
an即an2an
2an1
2（
-⑤
1）n
--⑥
an2an1
2
（1）n
22an2
2
（1）n
2
（1）n
22an
22
（1）n1
2
（1）n
n1
2a1
2n1（
1）2n2（
1）2
2
（1）n
2n2
（1）n1
8.解：
an12an3
2n两边除以2n1，得貂
an
3贝yan1匀
2’2n12n
故数列自是以于I
3
1为首，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
2
an
2n
3
1（n1）2，所以数列
{an}的通项公式为an§n1）2no
9.
an1an2n1
an1an2n1
an（anan1）（an1
an2）
（a?
a?
）
aja
[2（n1）1][2（n
2）1]
（221）
（2
11）1
2[（n1）（n2）
21]
（n1）1
c（n1）n/八
2（n1）
1
所以数列｛an｝的通项公式为ann2
10.解
an1an23n1得
an1an
23n
an（anan1）（an1
an2）
（a3a2）（a2
a1）a1
（23n11）（23n21）
21
（2321）（2311）3
2（3n1
3n2
3231）（n1）3
所以an
33n
13
n23nn1
3an23n1两边除以3n1，得
an1
an
2
1
3n1
3n
3
3n1
则
an1
an
2
3n1
3n
3
anan
nU
an1）
（an1
an2）
2）
（為
n
2
2
33
an1
an1
3
3
2
1
、2
1
、2
1
（
）（
1）（■
2）
3
3n
3
3n
13
3n
2（n
1）
（1
1
1
1
3
（3n
3n
3n1
3n
2
t（1
3n1）
因此幻
2（n
1）
3n
1
3n
3
1
3
2
1
n1
则an
n3n
3n
3
2
2
12.解
:
因为
an1
2（n
1）5n
an，
11.解：
an1
1
3n1
an3）
3）
（0|却
3n3
33
3
2
1、3
（
2）
3
323
1
0
1
2n1
1
32
23n'
a〔3，
所以an0
，则也2（n
an
1）5n，则
anan1
an---
an1an2
a3
a2
a2a1a1
n1
[2（n11）5]
[2（n
21）5n2]
2
[2（21）5]
[2（1
1
1）5]3
2n1[n（n1）
32]5（n1}（n
2）
所以数列｛an｝的通项公式为
n（n1）
an32n15^^n!
13.解：
因为ana1
2a2
3a3
（n
1）ani（n
2）
所以an1a12a2
3a3
（n
1）an
nan
所以②式—①式得a
an
nan
则an1
（n1）an（n
2）
则也
an
n1（n2）
所以an
anan1
an1an2
a2
a2
[n（n
1）4
3]
a2
n!
2
a2
由an
a12a2
3a3
（n1）an1（n
2）,
取n=2得a2
a12a2
，贝Ua2a1，又
知a11,
则a2
代入③得
an1
n!
n
14.解：
设an1
n1
52（anx
5n）
将an12an
5n代入④式，得
2an
35n
x5n1
2an
2x5n
，等式两边消去
2an,得35nx5n12x5n，两边除以5n，得3x52x,则x=—1,代入④式,
得ani5n12（an5n）⑤
由ai
5165
nn1
1工0及⑤式，得an50,则——
an
5n1
5n
2，则数列｛an5n｝是
以a151
1为首项，
以2为公比的等比数列，则an5n
12n1
，故an2n15n。
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