《二次函数的图象与性质》教案.docx
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《二次函数的图象与性质》教案
《二次函数的图象与性质》教案
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；
2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；
3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；
2．通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.
教学重点与难点
重点：
使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.
难点：
理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：
什么叫做二次函数？
生：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
问题2：
画函数图象的主要步骤是什么？
生：
（1）列表，
（2）描点，（3）连线
问题3：
你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？
生：
一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.
思考：
在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？
你想直观地了解它的性质吗？
二、探究交流，获取新知
操作：
请你画出二次函数y=x2的图象.
（1）观察y=x²的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
（2）在直角坐标系中描点：
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x²的图象.
议一议：
对于二次函数y=x2的图象.
（1）你能描述图象的形状吗？
与同伴进行交流.
生：
抛物线
（2）图象与x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
生：
图象与x轴有交点.交点坐标是（0，0）.
（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？
当x＞0时呢？
生：
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
（4）当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
你是如何知道的？
生：
当x=0时，y的值最小，最小值是0.
因为抛物线上的最低点坐标是（0，0）.
（5）图象是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
生：
图象是轴对称图形.它的对称轴是y轴.
对称点：
（-3，9）与（3，9）关于y轴对称；（-2，4）与（2，4）关于y轴对称……
师生共同总结：
1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.
2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
做一做：
二次函数y=-x2的图象是什么形状？
先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
与同伴进行交流.
（1）列表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
（2）在直角坐标系中描点：
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=-x²的图象.
议一议：
说说二次函数y=-x²的图象有哪些性质，与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点（0，0）.
（2）y≤0.
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
例1画二次函数
的图象.
三、知识拓展
1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）抛物线y=2x2的开口方向是怎样的？
（2）抛物线y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？
（3）当x为何值时，y随着x的增大而增大；当x为何值时，y随着x的增大而减小.
（4）函数y有最大值还是最小值？
为什么？
2.给出下列四个函数：
y=x，
y=-x，
y=x2，
y=
，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
四、自我小结，获取感悟
1.二次函数y=±x2的图象是什么形状？
2.二次函数y=±x2有哪些性质？
（1）位置与开口方向；
（2）顶点坐标与对称轴；
（3）增减性与最值.
五、布置作业
课本习题1.2的第1、2题.
《二次函数的图象与性质》教案
（2）
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；
2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；
3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；
2．通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.
教学重点与难点
重点：
使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.
难点：
正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.
教学过程
一、知识回顾，导入新课
1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
y=-x2
抛物线
向下
y轴
（0，0）
2.画一画
在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
二、探究交流，获取新知
思考：
二次函数y=2x2的图象是什么形状？
它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
y=2x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
画一画：
在刚才的坐标系中再画出二次函数y=
x2的图象.
探索交流：
二次函数y=x²的图象与y=2x²、y=
x²的图象有什么相同和不同？
相同点：
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
y=2x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
y=
x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
不同点：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
做一做：
在下列平面直角坐标系中，作出y=-x2和y=-2x2的图象.
生：
动手操作画图，
思考：
它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同？
生：
它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x2和y=-2x2的图象开口向下.
探究：
函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点？
点拨：
从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.
师生共同总结：
y=ax2（a≠0）的图象与性质特征，
探究：
二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
你是怎样想的，动手验证你的想法.
生：
学生动手操作，老师巡视，
结论：
1.二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位；
2.二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位.
共同交流：
二次函数y=-3x2+
，y=-3x2-
的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？
生：
让学生总结出它们之间的关系.
思考：
二次函数y=ax2（a≠0）的图象与y=ax2+c（a≠0）的图象有什么异同？
老师点拨：
y=ax2及y=ax2+c（a≠0）的图象和性质：
y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的，
当c＞0时，向上平移c个单位；
当c＜0时，向下平移︱c︱个单位.
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
抛物线
a＞0向上
a＜0向下
y轴
（0，0）
y=ax2+c
抛物线
a＞0向上
a＜0向下
y轴
（0，c）
四、随堂练习
1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）.
A.y=-（x+2）2B.y=-x2+2C.y=-x2+2D.y=-（x-2）2
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
3.坐标平面上有一函数y=24x2-48的图象，其顶点坐标为（）
A.（0，-2）B.（1，-24）C.（0，-48）D.（2，48）
4．将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．
5．小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为
，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车__________有危险（填“会”或“不会”）.
例2、画二次函数
的图象.
五、自我小结，获取感悟
1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？
有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？
六、布置作业
习题1.2.
《二次函数的图象与性质》教案（3）
教学目标
知识与技能
1.能正确画出形如y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；
2.能正确地说出y=a（x-h）2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；
4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.
过程与方法
1.通过对二次函数y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；
2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
情感、态度与价值观
1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；
2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.
教学重点与难点
重点：
使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a（x-h）2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.
难点：
理解并把握二次函数y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.
教学准备
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：
根据你所学知识回答下列各问题，
1.函数y=
x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最_____值是________.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.
问题2：
你会用类比法画二次函数y=2（x-1）2的图象吗？
它与y=2x2有什么异同吗？
它有哪些性质呢？
二、探究交流，获取新知
请你在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y=2x2
（2）y=2（x-1）2
完成下表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
2x2
…
…
2（x-1）2
…
…
观察上表，你能发现2（x-1）2与2x2的值有什么关系？
生：
在同一坐标系中画出这两个函数图象，
议一议：
（1）二次函数y=2（x-1）2的图象与y=22的图象有什么关系？
生：
二次函数y=2（x-1）2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.
（2）二次函数y=2（x-1）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
生：
开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，0）
（3）二次函数y=2（x-1）2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
生：
当x＜1时，y的值随x值的增大而增大；当x＞1时，y的值随x值的增大而减小.
（4）你能发现二次函数y=2（x-1）2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？
生：
二次函数y=2（x-1）2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.
结论：
二次函数y=2x2，y=2（x-1）2，y=2（x+1）2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2（x-1）2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2（x+1）2的图像.
想一想：
由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2-
，y=2（x+3）2，y=2（x+3）2-
的图象吗？
生：
由二次函数y=2x2的图象向下平移
个单位长度可得二次函数y=2x2-
的图象；由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2（x+3）2的图象；由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移
个单位长度，能得二次函数y=2（x-3）2-
的图象.
归纳总结：
二次函数y=a（x-h）2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？
二次函数y=a（x-h）2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左（或向右）平移|h|个单位长度，再向上（或向下）平移|k|个单位长度得到的.
H＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移.
k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移.
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x-h）2+k的图象.因此，二次函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=a（x-h）2+k
向上（a＞0）
直线x=h
（0，0）
向下（a＜0）
三、随堂练习
1.回答下列问题：
（1）二次函数y=3（x+2）2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？
它是轴对称图形吗？
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
（2）对于二次函数y=-3（x+2）2当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？
当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）
A.y=（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1C.y=（x-2）2-3D.y=（x+2）2-3
3.将抛物线y=2（x-1）2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为___________.
4.将抛物线y=-
x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．
5.若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…，则E（x，x2-2x+1）可以由E（x，x2）怎样平移得到（）
A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位
例3、画函数y=（x-2）2的图象.
六、自我小结，获取感悟
1.y=a（x-h）2+k的图象特征.
2.y=a（x-h）2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
七、布置作业
习题1.2.
《二次函数的图象与性质》教案（4）
教学目标
知识与技能
1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；
3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.
过程与方法
1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；
2．通过学生的合作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.
情感、态度与价值观
1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；
2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点与难点
重点：
使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.
难点：
理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.
教学准备：
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：
二次函数y=-2（x-3）2+5的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是____.当x=_________时，y有最_______值，是__________；当x___________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小.它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度，再向_____平移____个单位长度得到的.
问题2：
对于二次函数y=a（x-h）2+k
（1）当a＞0时，它的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是__________________.
当x=_________时，y有最_____值是_______；当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小.
（2）当a＜0时，它的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是_________________.当x=_________时，y有最_______值是______；当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小.
问题3：
我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？
二、探究交流，获取新知
请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式.
解：
y=2x2-4x+5
=2（x2-2x）+5
=2（x2-2x+1-1）+5
=2（x-1）2-2+5
=2（x-1）2+3
三、例题讲解
例1：
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解析：
要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.只需将它化为y=a（x-h）2+k的形式.
解：
y=2x2-8x+7
=2（x2-4x）+7
=2（x2-4x+4）-8+7
=2（x-2）2-1
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）.
做一做：
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7
（2）y=2x2-12x+8
生：
学生解答，教师巡视，发现问题即时解答.
例2:
求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
生：
指点一名学生上黑板解答，教师点拨.
解：
把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得：
y=ax2+bx+c
=a（x2+
x）+c
=a[x2+2·
x+（
）2-（
）2]+c
=a（x+
）2+
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-
，顶点坐标为（-
，
）.
点拨：
由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式
四、随堂练习
1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=
x2+
x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标
（1）y=2x2-12x+3；
（2）y=-5x2+80x-319；
（3）y=2（x-
）（x-2）；（4）y=3（2x+1）（2-x）.
合作交流：
二次函数图象与系数a、b、c之间有何关系？
a决定抛物线的形状、开口方向
当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，
越大抛物线的开口越小.
b影响对称轴的位置
当ab＞0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，当ab＜0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.
c确定抛物线与y轴的交点位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，当c=0时，抛物线经过坐标原点，当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上
例4、画二次函数
的图象.
例5、已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
例6、求二次函数
的最大值.
五、挑战自我：
1.对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）
A.图象的开口向下B.当x＞1时，y随x的增大而减小
C.当x＞1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1
2.（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）
A.B.C.D.
3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为（0，-3），则此二次函数有（）
A.最小值-2B.最小值-3C.最小值-4D.最大值-4
4.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A（-1，0），B，顶点为P，
求△PAB的面积.
六、自我小结，获取感悟
1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？
有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？
七、布置作业
习题1.2
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