均值不等式含答案.docx

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均值不等式含答案

课时作业15均值不等式

时间：

45分钟满分：

100分

课堂训练

53

1．已知x＋y＝1（x>0，y>0），则xy的最小值是（）

xy

A．15

C．60【答案】

【解析】∴xy≥60，

B．6

D．1C

5315

∵＋＝1≥2，

xyxy

当且仅当3x＝5y时取等号．

4

2．函数f（x）＝x＋x＋3在（－∞，－2］上（）

A．无最大值，有最小值7B．无最大值，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1

D．有最大值－1，无最小值【答案】D

4

【解析】∵x≤－2，∴f（x）＝x＋＋3

x

44

＝－－x＋－＋3≤－2－x－＋3xx

4

＝－1，当且仅当－x＝－4x，即x＝－2时，取等号，

x

∴f（x）有最大值－1，无最小值．

14

3．已知两个正实数x，y满足x＋y＝4，则使不等式x＋y≥m恒成

所以y＝

立的实数m的取值范围是．

【答案】

9

－∞，

－∞，4

【解析】

14x＋y145yx5191x＋y4＝4x＋y＝54＋4yx＋xy≥54＋241＝94.

4．求函数

x2＋7x＋10

y＝x＋1（x＞－1）的最小值．

【分析】

对于本题中的函数，可把x＋1看成一个整体，然后

将函数用x＋1

来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的

形式特点，从而能用均值定理来处理．

【解析】

因为x＞－1，

所以x＋1＞0.

x2＋7x＋10x＋12＋5x＋1＋4

x＋1＝x＋1

4

当且仅当x＋1＝x＋41，即x＝1时，等号成立．

∴当x＝1时，函数y＝x＋x7＋x＋110（x＞－1），取得最小值为9.

规律方法】

ax2＋bx＋c

形如f（x）＝mx＋n（m≠0，a≠0或）者g（x）＝

mx＋n

ax2＋bx＋c（m≠0，a≠0的）函数，可以把mx＋n看成一个整体，设mx

＋n＝t，那么f（x）与g（x）都可以转化为关于t的函数．

课后作业

、选择题（每小题5分，共40分）

1

1．设x>0，则y＝3－3x－x的最大值是（）

B．3－32

D．－1

A．3

C．3－23【答案】C

11

【解析】y＝3－3x－x＝3－（3x＋x）≤－3

＝3－23.

当且仅当3x＝1x，即x＝33时取“＝”．

x3

2．下列结论正确的是（）

1

A．当x>0且x≠1时，lgx＋lgx≥2

B．当x>0时，x＋1x≥2

1

C．当x≥2时，x＋x的最小值为2

1

D．当0

x

【答案】B

1

【解析】A中，当x>0且x≠1时，lgx的正负不确定，∴lgx＋lgx

115

≥2或lgx＋lgx≤－2；C中，当x≥2时，（x＋x）min＝2；D中当0

113y＝x－x在（0,2］上递增，（x－x）max＝2.

1

3．如果a，b满足0

大的是（）

答案】

又a2＋b2≥2ab，

∴最大数一定不是a和2ab，

又a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab，

∵1＝a＋b>2ab，∴ab<14，

111

∴1－2ab>1－2＝2，即a2＋b2>2.

1245

方法二：

特值检验法：

取a＝31，b＝23，则2ab＝94，a2＋b2＝95，

1＋b－c>a－c

12

＋b－c

12

＋b－c≥a－c

12

＋b－c≤a－c

【答案】A

【解析】∵a>b>c>0，

∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，

11

＝[（a－b）＋（b－c）]·a－b＋b－1c

b－ca－b

2＋a－b＋b－c

b－ca－b

≥2＋2a－－b·b－－c＝4.

5．下列函数中，最小值为

4的是（

4

A．

f（x）＝x＋x

B．

C．

f（x）＝3x＋4×3－x

D．

）

f（x）＝lgx＋logx10

f（x）＝2×xx2＋4

答案】C

1142a－b＋b－c≥a－c>a－c

x2＋5

能取等号，f（x）＝2×xx2＋54＝2×x2＋4

取等号，必须x2＋4＝x21＋4，即x2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.

6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a，b（a≠b），则物体的实际重量为多少实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了（）

；小

；小

；大

；大

答案】D

解析】设物体真实重量为m，天平左、右两臂长分别为l1，

l2，则

ml1＝al2①

ml2＝bl1②

①×②得m2l1l2＝abl1l2

∴m＝ab

a＋ba＋b

又∵2≥ab且a≠b，∴等号不能取得，故m<2.

7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（）

A．3B．4

【答案】B

8－x

【解析】∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝2x＋2>0，

＋

∴－1

8－x99

∴x＋2y＝x＋2·28x－＋x2＝（x＋1）＋x＋91－2≥2x＋1·x＋91－2＝4，

9

当且仅当x＋1＝9时“＝”成立，此时x＝2，y＝1，故选B.

x＋1

1x2＋x＋1

8．在区间[2，2]上，函数f（x）＝x2＋bx＋c（b、c∈R）与g（x）＝x

1在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在区间[21，2]上的最大值是

（）

B．4

C．8

【答案】B

x2＋x＋11

【解析】∵g（x）＝xx＝x＋x1＋1≥3，当x＝1时取等号，即

当x＝1时取最小值3，∴f（x）的对称轴是x＝1，∴b＝－2，将（1,3）代

1

入即得c＝4，∴f（x）＝x2－2x＋4，易得在[2，2]上的最大值是4.

二、填空题（每小题10分，共20分）

x2＋2

9．比较大小：

x2＋12（填“>”“<或”“≤≥．”）

【答案】≥

【解析】xx＋2＋21＝x2＋1＋x21＋1≥2.

1

10．当x>1时，不等式x＋x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围x－1

是．

【答案】（－∞，3]

1

【解析】∵x>1，∴x＋>0，

x－1

11

要使x＋≥a恒成立，设f（x）＝x＋（x>1），则a≤f（x）min对x>1

x－1x－1

恒成立．

111

又f（x）＝x＋＝x－1＋＋1≥2x－1×＋1＝3，当且

x－1x－1x－1

1

仅当x－1＝1即x＝2时取“＝”．

x－1

∴a≤3.

三、解答题（每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤）

11．设x，y∈R＋，且x＋y＋xy＝2，

（1）求x＋y的取值范围；

（2）求xy的取值范围．

x＋y

【解析】

（1）2＝x＋y＋xy≤x＋y＋

（2）2，

当且仅当x＝y时取“＝”．

∴（x＋y）2＋4（x＋y）－8≥0.

∴[（x＋y）＋2]2≥12.

∵x＋y>0，∴x＋y＋2≥12.

∴x＋y≥23－2，当且仅当x＝y＝3－1时取“＝”．

故x＋y的取值范围是[23－2，＋∞）．

（2）2＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，当且仅当x＝y＝3－1时取“＝”．

∴（xy）2＋2xy≤2∴.（xy＋1）2≤3.

又x、y>0，∴xy＋1>0.∴xy＋1≤3.

∴0

∴0

12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．

（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少

（2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少

【解析】

（1）设船捕捞n年后的总盈利y万元．则

nn－1

y＝50n－98－[12×n＋2×4]

＝－2n2＋40n－98

＝－2（n－10）2＋102

∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．

≤－22

n·4n9－20＝12

当且仅当

49

n＝49，即n＝7时上式取等号．n

（2）年平均利润为

yn

－2n＋

4n9－20

n

所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．

【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：

（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案．