均值不等式八法.doc
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运用均值不等式的八类拼凑方法
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。
例1 已知,求函数的最大值。
解:
。
当且仅当,即时,上式取“=”。
故。
评注:
通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。
例2求函数的最大值。
解:
。
因,
当且仅当,即时,上式取“=”。
故。
评注:
将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元,为“拼凑定和”创造条件。
例3已知,求函数的最大值。
解:
。
当且仅当,即时,上式取“=”。
故,又。
二、拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段,变为“和”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,配项凑定积,创造运用均值不等式的条件
例4设,求函数的最小值。
解:
。
当且仅当时,上式取“=”。
故。
评注:
有关分式的最值问题,若分子的次数高于分母的次数,则可考虑裂项,变为和的形式,然后“拼凑定积”,往往是十分方便的。
例5已知,求函数的最大值。
解:
,。
当且仅当时,上式取“=”。
故。
评注:
有关的最值问题,若分子的次数低于分母的次数,可考虑改变原式的结构,将分子化为常数,再设法将分母“拼凑定积”。
例6已知,求函数的最小值。
解:
因为,所以,令,则。
所以。
当且仅当,即时,上式取“=”。
故。
评注:
通过有理代换,化无理为有理,化三角为代数,从而化繁为简,化难为易,创造出运用均值不等式的环境。
三、拼凑常数降幂
例7若,求证:
。
分析:
基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能,它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁,能为解题提供信息,开辟捷径。
本题已知与要求证的条件是,为解题提供了信息,发现应拼凑项,巧妙降次,迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明:
。
当且仅当时,上述各式取“=”,
故原不等式得证。
评注:
本题借助取等号的条件,创造性地使用基本不等式,简洁明了。
例8若,求的最大值。
解:
。
当且仅当时,上述各式取“=”,故的最大值为7。
例9已知,求证:
。
证明:
,
,又,
。
当且仅当时,上述各式取“=”,故原不等式得证。
四、拼凑常数升幂
例10若,且,求证。
分析:
已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式,容易发现等号成立的条件是,故应拼凑,巧妙升次,迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明:
,
。
当且仅当时,上述各式取“=”,故原不等式得证。
例11若,求证:
。
证明:
。
又。
当且仅当时,上述各式取“=”,故原不等式得证。
五、约分配凑
通过“1”变换或添项进行拼凑,使分母能约去或分子能降次。
例12已知,求的最小值。
解:
。
当且仅当时,即,上式取“=”,故。
例13已知,求函数的最小值。
解:
因为,所以。
所以。
当且仅当时,即,上式取“=”,故。
例14若,求证。
分析:
注意结构特征:
要求证的不等式是关于的轮换对称式,当时,等式成立。
此时,
设,解得,所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添,经此一添,解题可见眉目。
证明:
。
。
当且仅当时,上述各式取“=”,故原不等式得证。
六、引入参数拼凑
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数,但利用“等”与“定”的条件,建立方程组,解地待定系数,可开辟解题捷径。
例15已知,且,求的最小值。
解:
设,故有。
。
当且仅当同时成立时上述不等式取“=”,
即,代入,解得,此时,故的最小值为36。
七、引入对偶式拼凑
根据已知不等式的结构,给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子,然后一起参与运算,创造运用均值不等式的条件。
例16设为互不相等的正整数,求证。
证明:
记,构造对偶式,
则,
当且仅当时,等号成立。
又因为为互不相等的正整数,
所以,因此。
评注:
本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
八、确立主元拼凑
在解答多元问题时,如果不分主次来研究,问题很难解决;如果根据具体条件和解题需要,确立主元,减少变元个数,恰当拼凑,可创造性地使用均值不等式。
例17在中,证明。
分析:
为轮换对称式,即的地位相同,因此可选一个变元为主元,将其它变元看作常量(固定),减少变元个数,化陌生为熟悉。
证明:
当时,原不等式显然成立。
当时,
。
当且仅当,即为正三角形时,原不等式等号成立。
综上所述,原不等式成立。
评注:
变形后选择A为主元,先把A看作常量,B、C看作变量,把B、C这两个变量集中到,然后利用的最大值为1将其整体消元,最后再回到A这个主元,变中求定。
综上可见,许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题,运用均值不等式等号成立条件,恰当拼凑,可创造性地使用均值不等式,轻松获解。
这种运用等号成立条件的拼凑方法,既开拓了学生的思路,又活跃了学生的思维,培养了学生的数学能力。
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